8. (2025·嘉兴期末)如图,将$△ ABC$沿$DE$折叠,$BD$的对应边$B'D$恰好经过顶点$A$,$△ AEB'≌△ DCA$,设$∠ B=α$,$∠ C=β$,则下列等式成立的是（）

A.$α+β=90°$
B.$3α+2β=180°$
C.$2α=β$
D.$3α=2β$

8. B 解析:$\because △ AEB' ≌ △ DCA,\therefore ∠ B'=∠ DAC,∠ B'EA=$$∠ C=β$,由翻折得,$∠ B'=∠ B=α$,$\therefore ∠ BAD=∠ B'+$$∠ AEB'=α+β$,而$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$,$\therefore α+α+β+α+β=$$180°$,$\therefore 3α+2β=180°$,故选 B.

9. (2026·西宁期中)一个三角形的三条边的长分别是5,8,10,另一个三角形的三条边的长分别是$5,4x+2,2y-2$,若这两个三角形全等,则$x+y$的值是.

9. 7.5 或 7 解析:$\because$一个三角形的三条边的长分别是 5,8,10,另一个三角形的三条边的长分别是 5,$4x+2$,$2y-2$,这两个三角形全等,$\therefore 4x+2=8$,$2y-2=10$或$4x+2=10$,$2y-2=8$,解得$x=1.5$,$y=6$或$x=2$,$y=5$,$\therefore x+y=7.5$或 7.
易错提醒 遇到没有一一对应的全等关系时,需要注意分类讨论.注意以下两种表述方式:
①若$△ ABC ≌ △ DEF$,则全等对应关系唯一,不用分类讨论;
②若$△ ABC$与以点$D$,$E$,$F$为顶点的三角形全等,则全等对应关系不唯一,需要分类讨论.

10. (1) 如图①所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则$∠ ABC=$$°$.

(2)(2026·嘉兴校级月考)三个全等三角形按如图②所示的形式摆放,则$∠ 1+∠ 2+∠ 3$的度数是.

10. (1)30 解析:如图①,$\because$六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,$\therefore BD=AC$,$BC=AF$,$\therefore CD=CF$,同理可证小六边形其他的边也相等,即里面的小六边形也是正六边形,$\therefore ∠ 1=\frac{1}{6} × (6-2) × 180°=120°$,$\therefore ∠ 2=180°-$$120°=60°$,$\therefore ∠ ABC=30°.$

(2)$180°$ 解析:如图②所示,由图形可得$∠ 1+∠ 4+∠ 5+$$∠ 8+∠ 6+∠ 2+∠ 3+∠ 9+∠ 7=540°$.$\because$三个三角形是全等三角形,$\therefore ∠ 4+∠ 9+∠ 6=180°$.又$\because ∠ 5+∠ 7+∠ 8=180°$,$\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ 3+180°+180°=540°$,$\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ 3=$$180°.$

11. 教材P13习题T1变式 (2025·吉林模拟)如图所示,在$7×6$的正方形网格中,选取14个格点,以其中三个格点为顶点画出$△ ABC$,请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形,且分别满足下列条件:
(1)图①中所画的三角形与$△ ABC$全等且成轴对称.
(2)图②中所画的三角形与$△ ABC$全等且成中心对称.
(3)图③中所画的三角形与$△ ABC$的面积相等,但不全等.

11. (1)如图,所画的三角形与$△ ABC$全等且成轴对称,画出一种即可.

(2)如图,所画的三角形与$△ ABC$全等且成中心对称.

(3)如图,所画的三角形与$△ ABC$的面积相等,但不全等,答案不唯一.

12. (2026·邯郸期末) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, AC=6, BC=8$. 点 $P$ 从点 $A$ 出发, 沿折线 $AC-CB$ 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 $B$ 运动, 点 $Q$ 从点 $B$ 出发, 沿折线 $BC-CA$ 以每秒 3 个单位长度的速度向终点 $A$ 运动, $P, Q$ 两点同时出发. 分别过 $P, Q$ 两点作 $PE ⊥ l$ 于 $E$, $QF ⊥ l$ 于 $F$. 设点 $P$ 的运动时间为 $t$(秒).
(1) 当 $P, Q$ 两点相遇时, 求 $t$ 的值;
(2) 在整个运动过程中, 求 $CP$ 的长(用含 $t$ 的代数式表示);
(3) 当 $△ PEC$ 与 $△ QFC$ 全等时, 求所有满足条件的 $CQ$ 的长.

12. (1)由题意得$t+3t=6+8$,解得$t=\frac{7}{2}$,$\therefore$当$P$,$Q$两点相遇时,$t$的值为$\frac{7}{2}$.
(2)由题意可知$CP=\begin{cases} 6-t(0 ≤ t ≤ 6), \\ t-6(6＜t ≤ 14). \end{cases}$
(3)$\because PE ⊥ l$,$QF ⊥ l$,$\therefore △ PEC$和$△ QFC$均是直角三角形,且它们的斜边分别为$CP$,$CQ$.又$\because △ PEC$和$△ QFC$全等,$\therefore CP=CQ$.易得当$0 ≤ t ≤ \frac{8}{3}$时,点$Q$在$BC$上;当$\frac{8}{3}＜$$t ≤ \frac{14}{3}$时,点$Q$在$AC$上;当$0 ≤ t ≤ 6$时,点$P$在$AC$上;当$6＜t ≤ 14$时,点$P$在$BC$上.
①如图①,当$0 ≤ t＜\frac{8}{3}$时,点$P$在$AC$上,点$Q$在$BC$上,则$CP=$$6-t$,$CQ=8-3t$,$\therefore 6-t=8-3t$,解得$t=1$;

②当$t=\frac{8}{3}$时,点$C$,$Q$重合,$△ QFC$不存在;
③如图②,当$\frac{8}{3}＜t＜\frac{14}{3}$时,点$P$,$Q$都在$AC$上,由$CP=CQ$可知点$P$,$Q$重合,又$CP=6-t$,$CQ=3t-8$,$\therefore 6-t=3t-8$,解得$t=3.5$;
④当$\frac{14}{3} ≤ t＜6$时,点$Q$与点$A$重合,点$P$在$AC$上,易知此时$△ PEC$和$△ QFC$不全等;
⑤当$t=6$时,点$P$与点$C$重合,$△ PEC$不存在;
⑥如图③,当$6＜t＜14$时,点$Q$与点$A$重合,点$P$在$BC$上,且$CQ=AC=6$,$CP=t-6$,$\therefore t-6=6$,解得$t=12$;
⑦当$t=14$时,点$P$,$Q$分别与点$B$,$A$重合,易知$△ PEC$和$△ QFC$不全等.综上所述,当点$P$的运动时间为 1 s 或3.5 s 或 12 s 时,$△ PEC$和$△ QFC$全等,此时$CQ$的长分别为 5,2.5,6.