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6 [2025 河北邢台期中,中]如图甲所示,用水龙头往重为10 N的置于水平地面的容器中注水直到容器装满(容器上下两部分均是规则柱形),已知水龙头每秒注水$100cm^{3}$,水对容器底部的压强与时间的关系如图乙所示,忽略容器壁的厚度,求:($\rho_{水}=1.0×10^{3}kg/m^{3}$,g取10 N/kg)
(1)第42秒时,水的深度;
(2)容器的底面积;
(3)第40秒时,容器对水平地面的压强。
(1)第42秒时,水的深度;
(2)容器的底面积;
(3)第40秒时,容器对水平地面的压强。
答案
6.【解】(1)由图乙可知，第42秒时水对容器底部的
压强$p_{1}=1500\ \mathrm{Pa}$，根据$p=\rho gh$可得第42秒时
水的深度 $h_{1}=\frac{p_{1}}{\rho_{水}g}=\frac{1500\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=$
$0.15\ \mathrm{m}$。(2)由图乙可知，第36秒时，容器下部
较粗的部分装满水，第36秒时水的体积$V=$
$100\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}×36\ \mathrm{s}=3600\ \mathrm{cm}^{3}$；第36秒时水的深
度 $h_{2}=\frac{p_{2}}{\rho_{水}g}=\frac{900\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=$
$0.09\ \mathrm{m}=9\ \mathrm{cm}$，容器底面积$S=\frac{V}{h_{2}}=\frac{3600\ \mathrm{cm}^{3}}{9\ \mathrm{cm}}=$
$400\ \mathrm{cm}^{2}$。(3)第40秒时水的体积 $V'=$
$100\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}×40\ \mathrm{s}=4000\ \mathrm{cm}^{3}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}$，第40
秒时水的质量$m=\rho_{水}V'=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×4×$
$10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}=4\ \mathrm{kg}$，第40秒时水的重力$G=mg=$
$4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=40\ \mathrm{N}$，第40秒时容器对水平
地面的压力$F=G+G_{容}=40\ \mathrm{N}+10\ \mathrm{N}=50\ \mathrm{N}$，则
容器对水平地面的压强 $p=\frac{F}{S}=\frac{50\ \mathrm{N}}{4×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=$
$1250\ \mathrm{Pa}$。
压强$p_{1}=1500\ \mathrm{Pa}$，根据$p=\rho gh$可得第42秒时
水的深度 $h_{1}=\frac{p_{1}}{\rho_{水}g}=\frac{1500\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=$
$0.15\ \mathrm{m}$。(2)由图乙可知，第36秒时，容器下部
较粗的部分装满水，第36秒时水的体积$V=$
$100\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}×36\ \mathrm{s}=3600\ \mathrm{cm}^{3}$；第36秒时水的深
度 $h_{2}=\frac{p_{2}}{\rho_{水}g}=\frac{900\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=$
$0.09\ \mathrm{m}=9\ \mathrm{cm}$，容器底面积$S=\frac{V}{h_{2}}=\frac{3600\ \mathrm{cm}^{3}}{9\ \mathrm{cm}}=$
$400\ \mathrm{cm}^{2}$。(3)第40秒时水的体积 $V'=$
$100\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}×40\ \mathrm{s}=4000\ \mathrm{cm}^{3}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}$，第40
秒时水的质量$m=\rho_{水}V'=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×4×$
$10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}=4\ \mathrm{kg}$，第40秒时水的重力$G=mg=$
$4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=40\ \mathrm{N}$，第40秒时容器对水平
地面的压力$F=G+G_{容}=40\ \mathrm{N}+10\ \mathrm{N}=50\ \mathrm{N}$，则
容器对水平地面的压强 $p=\frac{F}{S}=\frac{50\ \mathrm{N}}{4×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=$
$1250\ \mathrm{Pa}$。
解析
【分析】
这道题是结合注水图像的压强综合计算题，解题思路可以分三步梳理：
1. 第一问求42秒时的水的深度，直接从图乙读出该时刻水对容器底的压强，利用液体压强公式$p=\rho gh$变形$h=p/(\rho_{水}g)$，代入已知数值就能直接算出深度。
2. 第二问求容器底面积，首先观察图像：0~36s压强上升更平缓，说明此时水注入容器下部的较粗柱形部分，36s时下部刚好被注满。先根据每秒注水量算出36s内注入水的总体积，再用36s对应的压强算出此时水的深度（也就是下部粗柱体的高度），因为下部是规则柱形，体积$V=S_{底}h$，代入数值就能求出容器的底面积。
3. 第三问求40秒时容器对地面的压强，先算出40s内注入水的总体积，结合密度公式算出水的质量和重力，水平地面上容器对地面的总压力等于水的重力加上容器自身的重力，最后用固体压强公式$p=F/S$代入底面积就能算出对应的压强。
【解析】
(1) 由图乙可知，第42s时水对容器底部的压强$p_1=1500\ \mathrm{Pa}$，根据液体压强公式$p=\rho gh$，变形得到水的深度：
$h_1=\frac{p_1}{\rho_{水}g}=\frac{1500\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=0.15\ \mathrm{m}$
(2) 由图乙可知，第36s时容器下部较粗的柱形部分刚好注满水：
36s内注入水的总体积：$V_{水1}=100\ \mathrm{cm^3/s}×36\ \mathrm{s}=3600\ \mathrm{cm^3}$
第36s时水的压强$p_2=900\ \mathrm{Pa}$，对应水的深度：
$h_2=\frac{p_2}{\rho_{水}g}=\frac{900\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=0.09\ \mathrm{m}=9\ \mathrm{cm}$
下部是规则柱形，容器底面积$S=\frac{V_{水1}}{h_2}=\frac{3600\ \mathrm{cm^3}}{9\ \mathrm{cm}}=400\ \mathrm{cm^2}$
(3) 第40s时，注入水的总体积：
$V_{水2}=100\ \mathrm{cm^3/s}×40\ \mathrm{s}=4000\ \mathrm{cm^3}=4×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$
水的质量：$m=\rho_{水}V_{水2}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×4×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=4\ \mathrm{kg}$
水的重力：$G_{水}=mg=4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=40\ \mathrm{N}$
水平地面上容器对地面的总压力：$F=G_{水}+G_{容}=40\ \mathrm{N}+10\ \mathrm{N}=50\ \mathrm{N}$
容器底面积$S=400\ \mathrm{cm^2}=4×10^{-2}\ \mathrm{m^2}$，因此容器对地面的压强：
$p=\frac{F}{S}=\frac{50\ \mathrm{N}}{4×10^{-2}\ \mathrm{m^2}}=1250\ \mathrm{Pa}$
【答案】
(1) $0.15\ \mathrm{m}$；(2) $400\ \mathrm{cm^2}$；(3) $1250\ \mathrm{Pa}$
【知识点】
液体压强计算，固体压强计算，密度公式应用
【点评】
本题属于柱形容器注水的压强综合题，核心考点是区分液体压强和固体压强的不同计算逻辑，需要从p-t图像的斜率变化判断出36s是容器下部粗部分注满的节点，避免直接用总深度除以总时间求平均的错误思路，整体难度适中，能很好地考察学生对两类压强计算的掌握程度。
【难度系数】
0.6
这道题是结合注水图像的压强综合计算题，解题思路可以分三步梳理：
1. 第一问求42秒时的水的深度，直接从图乙读出该时刻水对容器底的压强，利用液体压强公式$p=\rho gh$变形$h=p/(\rho_{水}g)$，代入已知数值就能直接算出深度。
2. 第二问求容器底面积，首先观察图像：0~36s压强上升更平缓，说明此时水注入容器下部的较粗柱形部分，36s时下部刚好被注满。先根据每秒注水量算出36s内注入水的总体积，再用36s对应的压强算出此时水的深度（也就是下部粗柱体的高度），因为下部是规则柱形，体积$V=S_{底}h$，代入数值就能求出容器的底面积。
3. 第三问求40秒时容器对地面的压强，先算出40s内注入水的总体积，结合密度公式算出水的质量和重力，水平地面上容器对地面的总压力等于水的重力加上容器自身的重力，最后用固体压强公式$p=F/S$代入底面积就能算出对应的压强。
【解析】
(1) 由图乙可知，第42s时水对容器底部的压强$p_1=1500\ \mathrm{Pa}$，根据液体压强公式$p=\rho gh$，变形得到水的深度：
$h_1=\frac{p_1}{\rho_{水}g}=\frac{1500\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=0.15\ \mathrm{m}$
(2) 由图乙可知，第36s时容器下部较粗的柱形部分刚好注满水：
36s内注入水的总体积：$V_{水1}=100\ \mathrm{cm^3/s}×36\ \mathrm{s}=3600\ \mathrm{cm^3}$
第36s时水的压强$p_2=900\ \mathrm{Pa}$，对应水的深度：
$h_2=\frac{p_2}{\rho_{水}g}=\frac{900\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=0.09\ \mathrm{m}=9\ \mathrm{cm}$
下部是规则柱形，容器底面积$S=\frac{V_{水1}}{h_2}=\frac{3600\ \mathrm{cm^3}}{9\ \mathrm{cm}}=400\ \mathrm{cm^2}$
(3) 第40s时，注入水的总体积：
$V_{水2}=100\ \mathrm{cm^3/s}×40\ \mathrm{s}=4000\ \mathrm{cm^3}=4×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$
水的质量：$m=\rho_{水}V_{水2}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×4×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=4\ \mathrm{kg}$
水的重力：$G_{水}=mg=4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=40\ \mathrm{N}$
水平地面上容器对地面的总压力：$F=G_{水}+G_{容}=40\ \mathrm{N}+10\ \mathrm{N}=50\ \mathrm{N}$
容器底面积$S=400\ \mathrm{cm^2}=4×10^{-2}\ \mathrm{m^2}$，因此容器对地面的压强：
$p=\frac{F}{S}=\frac{50\ \mathrm{N}}{4×10^{-2}\ \mathrm{m^2}}=1250\ \mathrm{Pa}$
【答案】
(1) $0.15\ \mathrm{m}$；(2) $400\ \mathrm{cm^2}$；(3) $1250\ \mathrm{Pa}$
【知识点】
液体压强计算，固体压强计算，密度公式应用
【点评】
本题属于柱形容器注水的压强综合题，核心考点是区分液体压强和固体压强的不同计算逻辑，需要从p-t图像的斜率变化判断出36s是容器下部粗部分注满的节点，避免直接用总深度除以总时间求平均的错误思路，整体难度适中，能很好地考察学生对两类压强计算的掌握程度。
【难度系数】
0.6
7 [偏难]如图所示,均匀圆柱体A和轻质薄壁柱形容器B置于水平地面上。容器B高0.25 m,底面积为$2×10^{-2}m^{2}$,其内部盛有4 kg的水。(g取10 N/kg)
(1)求水的体积$V_{水}$。
(2)求水对容器底部的压强$p_{水}$。
(3)若圆柱体A的底面积为$1×10^{-2}m^{2}$,高为0.3 m,现沿水平方向将其截取一定的高度$\Delta h$,并将截取部分放入容器B的水中。(已知A的密度大于水)
①若要使水对容器底部压强最大,求圆柱体A截取的高度$\Delta h$的最小值。
②若$\Delta h$为最小值时,圆柱体A剩余部分对地面的压强$p_{A}'$恰为水对容器底部压强$p_{水}'$的两倍,求A的密度$\rho_{A}$。
(1)求水的体积$V_{水}$。
(2)求水对容器底部的压强$p_{水}$。
(3)若圆柱体A的底面积为$1×10^{-2}m^{2}$,高为0.3 m,现沿水平方向将其截取一定的高度$\Delta h$,并将截取部分放入容器B的水中。(已知A的密度大于水)
①若要使水对容器底部压强最大,求圆柱体A截取的高度$\Delta h$的最小值。
②若$\Delta h$为最小值时,圆柱体A剩余部分对地面的压强$p_{A}'$恰为水对容器底部压强$p_{水}'$的两倍,求A的密度$\rho_{A}$。
答案
7.【解】(1)容器B中所盛水的体积 $V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=$
$\frac{4\ \mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}$。
(2)水对容器B底部的压强 $p_{水}=\frac{G_{水}}{S_{B}}=\frac{m_{水}g}{S_{B}}=$
$\frac{4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=2000\ \mathrm{Pa}$。
(3)①容器B中现有水的深度 $h_{水}=\frac{V_{水}}{S_{B}}=$
$\frac{4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=0.2\ \mathrm{m}$，圆柱体A截取部分放入容
器B的水中后，容器B中水面会升高，当容器
B中水面和容器口刚好相平时，容器B中水
的深度达到最大值，根据液体压强公式$p=\rho_{液}gh$
可知，此时水对容器底部压强达到最大值，圆柱体
A截取的高度 $\Delta h$ 为最小值，圆柱体A截取部分排
开水的体积和截取部分体积相等，即$V_{排}=V_{截}$，由
此式可得 $(h_{B}-h_{水})S_{B}=\Delta h_{小}S_{A}$，则 $\Delta h_{小}=$
$\frac{(h_{B}-h_{水})S_{B}}{S_{A}}=\frac{(0.25\ \mathrm{m}-0.2\ \mathrm{m})×2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}{1×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=$
$0.1\ \mathrm{m}$，即圆柱体A截取的高度 $\Delta h$ 的最小值
为0.1 m。②水平截去0.1 m的高度之后，圆
柱体A剩余部分对地面的压强 $p_{A}'=2p_{水}'=$
$2\rho_{水}gh_{B}$，A为均匀圆柱体，则 $p_{A}'=\rho_{A}g(h_{A}-$
$\Delta h_{小})$，联立可得 $\rho_{A}=\frac{2\rho_{水}h_{B}}{h_{A}-\Delta h_{小}}=$
$\frac{2×1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×0.25\ \mathrm{m}}{0.3\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m}}=2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
$\frac{4\ \mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}$。
(2)水对容器B底部的压强 $p_{水}=\frac{G_{水}}{S_{B}}=\frac{m_{水}g}{S_{B}}=$
$\frac{4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=2000\ \mathrm{Pa}$。
(3)①容器B中现有水的深度 $h_{水}=\frac{V_{水}}{S_{B}}=$
$\frac{4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=0.2\ \mathrm{m}$，圆柱体A截取部分放入容
器B的水中后，容器B中水面会升高，当容器
B中水面和容器口刚好相平时，容器B中水
的深度达到最大值，根据液体压强公式$p=\rho_{液}gh$
可知，此时水对容器底部压强达到最大值，圆柱体
A截取的高度 $\Delta h$ 为最小值，圆柱体A截取部分排
开水的体积和截取部分体积相等，即$V_{排}=V_{截}$，由
此式可得 $(h_{B}-h_{水})S_{B}=\Delta h_{小}S_{A}$，则 $\Delta h_{小}=$
$\frac{(h_{B}-h_{水})S_{B}}{S_{A}}=\frac{(0.25\ \mathrm{m}-0.2\ \mathrm{m})×2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}{1×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=$
$0.1\ \mathrm{m}$，即圆柱体A截取的高度 $\Delta h$ 的最小值
为0.1 m。②水平截去0.1 m的高度之后，圆
柱体A剩余部分对地面的压强 $p_{A}'=2p_{水}'=$
$2\rho_{水}gh_{B}$，A为均匀圆柱体，则 $p_{A}'=\rho_{A}g(h_{A}-$
$\Delta h_{小})$，联立可得 $\rho_{A}=\frac{2\rho_{水}h_{B}}{h_{A}-\Delta h_{小}}=$
$\frac{2×1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×0.25\ \mathrm{m}}{0.3\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m}}=2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
解析
【分析】
我们一步步梳理解题思路：
1. 第(1)问已知水的质量，直接调用密度定义式ρ=m/V的变形公式V=m/ρ，代入水的密度即可求出水的体积，属于基础计算。
2. 第(2)问因为容器是轻质薄壁柱形容器，水对容器底部的压力大小等于水自身的重力，再结合压强定义式p=F/S，代入水的重力和容器底面积就能算出压强，也可以先算水深再用液体压强公式计算，结果一致。
3. 第(3)问①首先先算出容器内原本水的深度，已知容器总高度是0.25m，水的最大深度只能到容器口，此时根据p=ρgh，水的深度最大，水对容器底的压强也就最大。题目已知A的密度大于水，所以截取的A部分放入水中会沉底，排开水的体积等于截取部分A的体积。要让截取的Δh最小，刚好让放入的A排开的水把容器剩余的空间填满，水面刚好和容器口齐平，没有水溢出，此时就能得到Δh的最小值。
4. 第(3)问②均匀圆柱体对水平地面的压强可以用推导式p=ρgh计算，题目给出剩余A的压强是容器底水的压强的2倍，把两个压强的表达式代入，就可以联立方程解出A的密度。
【解析】
(1) 已知水的质量$m_水=4\ \mathrm{kg}$，水的密度$\rho_水=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形得水的体积：
$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{4\ \mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}$
(2) 柱形容器内水对容器底部的压力等于水的重力：
$F=G_{水}=m_{水}g=4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=40\ \mathrm{N}$
已知容器底面积$S_B=2×10^{-2}\ \mathrm{m^2}$，由压强定义式得水对容器底部的压强：
$p_{水}=\frac{F}{S_{B}}=\frac{40\ \mathrm{N}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=2000\ \mathrm{Pa}$
(3) ① 首先计算容器内原有水的深度：
$h_{水}=\frac{V_{水}}{S_{B}}=\frac{4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=0.2\ \mathrm{m}$
容器B的高度$h_B=0.25\ \mathrm{m}$，因此水面最多可上升的高度为$\Delta h_升=h_B - h_水=0.25\ \mathrm{m} - 0.2\ \mathrm{m}=0.05\ \mathrm{m}$，此时水的深度达到最大值，水对容器底部压强最大。
由于$\rho_A＞\rho_水$，截取的A部分沉底，排开水的体积等于截取部分的体积，即$V_排=V_截$，因此有：
$S_{B}·\Delta h_{升}=S_{A}·\Delta h_{小}$
代入数据解得$\Delta h$的最小值：
$\Delta h_{小}=\frac{S_{B}·\Delta h_{升}}{S_{A}}=\frac{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}×0.05\ \mathrm{m}}{1×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=0.1\ \mathrm{m}$
② 当$\Delta h$取最小值时，水的深度等于容器高度$h_B$，此时水对容器底部的压强：
$p_{水}'=\rho_{水}gh_{B}$
均匀圆柱体A剩余部分的高度为$h_A - \Delta h_小$，其对水平地面的压强为：
$p_{A}'=\rho_{A}g(h_{A}-\Delta h_{小})$
由题意知$p_A'=2p_水'$，代入两式得：
$\rho_{A}g(h_{A}-\Delta h_{小})=2\rho_{水}gh_{B}$
约去g，代入$h_A=0.3\ \mathrm{m}$，$\Delta h_小=0.1\ \mathrm{m}$，$h_B=0.25\ \mathrm{m}$，$\rho_水=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$：
$\rho_{A}=\frac{2\rho_{水}h_{B}}{h_{A}-\Delta h_{小}}=\frac{2×1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×0.25\ \mathrm{m}}{0.3\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m}}=2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$
【答案】
(1) $V_{水}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}$
(2) $p_{水}=2000\ \mathrm{Pa}$
(3) ① 圆柱体A截取的高度$\Delta h$的最小值为$0.1\ \mathrm{m}$；② A的密度为$2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$
【知识点】
密度公式应用
液体压强计算
均匀柱体压强
【点评】
本题是压强与密度的综合计算题，前两问属于基础考点，第三问侧重临界状态分析，需要学生准确理解“水对容器底部压强最大”对应的物理场景是水面刚好与容器口齐平，结合A密度大于水的条件判断截取部分沉底，排开体积等于自身体积，后续利用均匀柱体压强的推导式联立求解密度，整体对学生的综合分析能力有一定要求，容易出错的点是忽略A沉底的条件、无法找到$\Delta h$最小的临界状态。
【难度系数】
0.4
我们一步步梳理解题思路：
1. 第(1)问已知水的质量，直接调用密度定义式ρ=m/V的变形公式V=m/ρ，代入水的密度即可求出水的体积，属于基础计算。
2. 第(2)问因为容器是轻质薄壁柱形容器，水对容器底部的压力大小等于水自身的重力，再结合压强定义式p=F/S，代入水的重力和容器底面积就能算出压强，也可以先算水深再用液体压强公式计算，结果一致。
3. 第(3)问①首先先算出容器内原本水的深度，已知容器总高度是0.25m，水的最大深度只能到容器口，此时根据p=ρgh，水的深度最大，水对容器底的压强也就最大。题目已知A的密度大于水，所以截取的A部分放入水中会沉底，排开水的体积等于截取部分A的体积。要让截取的Δh最小，刚好让放入的A排开的水把容器剩余的空间填满，水面刚好和容器口齐平，没有水溢出，此时就能得到Δh的最小值。
4. 第(3)问②均匀圆柱体对水平地面的压强可以用推导式p=ρgh计算，题目给出剩余A的压强是容器底水的压强的2倍，把两个压强的表达式代入，就可以联立方程解出A的密度。
【解析】
(1) 已知水的质量$m_水=4\ \mathrm{kg}$，水的密度$\rho_水=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形得水的体积：
$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{4\ \mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}$
(2) 柱形容器内水对容器底部的压力等于水的重力：
$F=G_{水}=m_{水}g=4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=40\ \mathrm{N}$
已知容器底面积$S_B=2×10^{-2}\ \mathrm{m^2}$，由压强定义式得水对容器底部的压强：
$p_{水}=\frac{F}{S_{B}}=\frac{40\ \mathrm{N}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=2000\ \mathrm{Pa}$
(3) ① 首先计算容器内原有水的深度：
$h_{水}=\frac{V_{水}}{S_{B}}=\frac{4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=0.2\ \mathrm{m}$
容器B的高度$h_B=0.25\ \mathrm{m}$，因此水面最多可上升的高度为$\Delta h_升=h_B - h_水=0.25\ \mathrm{m} - 0.2\ \mathrm{m}=0.05\ \mathrm{m}$，此时水的深度达到最大值，水对容器底部压强最大。
由于$\rho_A＞\rho_水$，截取的A部分沉底，排开水的体积等于截取部分的体积，即$V_排=V_截$，因此有：
$S_{B}·\Delta h_{升}=S_{A}·\Delta h_{小}$
代入数据解得$\Delta h$的最小值：
$\Delta h_{小}=\frac{S_{B}·\Delta h_{升}}{S_{A}}=\frac{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}×0.05\ \mathrm{m}}{1×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=0.1\ \mathrm{m}$
② 当$\Delta h$取最小值时，水的深度等于容器高度$h_B$，此时水对容器底部的压强：
$p_{水}'=\rho_{水}gh_{B}$
均匀圆柱体A剩余部分的高度为$h_A - \Delta h_小$，其对水平地面的压强为：
$p_{A}'=\rho_{A}g(h_{A}-\Delta h_{小})$
由题意知$p_A'=2p_水'$，代入两式得：
$\rho_{A}g(h_{A}-\Delta h_{小})=2\rho_{水}gh_{B}$
约去g，代入$h_A=0.3\ \mathrm{m}$，$\Delta h_小=0.1\ \mathrm{m}$，$h_B=0.25\ \mathrm{m}$，$\rho_水=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$：
$\rho_{A}=\frac{2\rho_{水}h_{B}}{h_{A}-\Delta h_{小}}=\frac{2×1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×0.25\ \mathrm{m}}{0.3\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m}}=2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$
【答案】
(1) $V_{水}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}$
(2) $p_{水}=2000\ \mathrm{Pa}$
(3) ① 圆柱体A截取的高度$\Delta h$的最小值为$0.1\ \mathrm{m}$；② A的密度为$2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$
【知识点】
密度公式应用
液体压强计算
均匀柱体压强
【点评】
本题是压强与密度的综合计算题，前两问属于基础考点，第三问侧重临界状态分析，需要学生准确理解“水对容器底部压强最大”对应的物理场景是水面刚好与容器口齐平，结合A密度大于水的条件判断截取部分沉底，排开体积等于自身体积，后续利用均匀柱体压强的推导式联立求解密度，整体对学生的综合分析能力有一定要求，容易出错的点是忽略A沉底的条件、无法找到$\Delta h$最小的临界状态。
【难度系数】
0.4
8 [2025 广东广州模拟,难]如图所示,薄壁轻质圆柱形容器甲和圆柱体乙置于水平地面上,甲中盛有水。甲高为3h,乙与甲内水等高,均为2h。(g取10 N/kg)
(1)若甲内水深0.2 m,求水对容器底部的压强$p_{水}$。
(2)若乙所受重力为20 N,底面积为$2×10^{-2}m^{2}$,求圆柱体乙对水平地面的压强$p_{乙}$。
(3)现将乙浸没在甲容器内的水中后,水不溢出,甲对地面的压强恰为原来的4倍,求乙密度的最小值$\rho_{乙}$。
(1)若甲内水深0.2 m,求水对容器底部的压强$p_{水}$。
(2)若乙所受重力为20 N,底面积为$2×10^{-2}m^{2}$,求圆柱体乙对水平地面的压强$p_{乙}$。
(3)现将乙浸没在甲容器内的水中后,水不溢出,甲对地面的压强恰为原来的4倍,求乙密度的最小值$\rho_{乙}$。
答案
8.【解】(1)水对容器底部的压强 $p_{水}=\rho_{水}gh_{水}=$
$1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.2\ \mathrm{m}=2000\ \mathrm{Pa}$。
(2)圆柱体乙置于水平地面上，圆柱体对地面
的压力$F=G_{乙}=20\ \mathrm{N}$，圆柱体乙对地面的压强
$p_{乙}=\frac{F}{S}=\frac{20\ \mathrm{N}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=1000\ \mathrm{Pa}$。
(3)轻质圆柱形容器甲的重力不计，则甲对地
面的压力$F_{甲}=G_{水}$，甲对地面原来的压强$p_{甲}=$
$\frac{F_{甲}}{S_{甲}}=\frac{G_{水}}{S_{甲}}$，将乙浸没在甲容器内的水中后，甲
对地面的压强$p_{甲}'=4p_{甲}$，此时甲对地面的压力
$F_{甲}'=G_{水}+G_{乙}$，受力面积$S_{甲}$不变，则$G_{水}+G_{乙}=$
$4G_{水}$，$G_{乙}=3G_{水}$，$m_{乙}g=3m_{水}g=3\rho_{水}V_{水}g$，$m_{乙}=$
$3\rho_{水}V_{水}$，由题意和图示可知，原来水深为
2h，容器高度为3h。由 $\rho=\frac{m}{V}$ 可知，m不变
时，V越大，$\rho$越小，乙浸没之后水面上升的高
度最多为h，根据$V=Sh$可知乙排开水的体积
最多为原来水的体积的$\frac{1}{2}$，即乙排开水的最
大体积 $V_{乙最大}=\frac{1}{2}V_{水}$，乙密度的最小值 $\rho_{乙}=$
$\frac{m_{乙}}{V_{乙最大}}=\frac{3\rho_{水}V_{水}}{\frac{1}{2}V_{水}}=6\rho_{水}=6×1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}=$
$6.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
$1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.2\ \mathrm{m}=2000\ \mathrm{Pa}$。
(2)圆柱体乙置于水平地面上，圆柱体对地面
的压力$F=G_{乙}=20\ \mathrm{N}$，圆柱体乙对地面的压强
$p_{乙}=\frac{F}{S}=\frac{20\ \mathrm{N}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m}^{2}}=1000\ \mathrm{Pa}$。
(3)轻质圆柱形容器甲的重力不计，则甲对地
面的压力$F_{甲}=G_{水}$，甲对地面原来的压强$p_{甲}=$
$\frac{F_{甲}}{S_{甲}}=\frac{G_{水}}{S_{甲}}$，将乙浸没在甲容器内的水中后，甲
对地面的压强$p_{甲}'=4p_{甲}$，此时甲对地面的压力
$F_{甲}'=G_{水}+G_{乙}$，受力面积$S_{甲}$不变，则$G_{水}+G_{乙}=$
$4G_{水}$，$G_{乙}=3G_{水}$，$m_{乙}g=3m_{水}g=3\rho_{水}V_{水}g$，$m_{乙}=$
$3\rho_{水}V_{水}$，由题意和图示可知，原来水深为
2h，容器高度为3h。由 $\rho=\frac{m}{V}$ 可知，m不变
时，V越大，$\rho$越小，乙浸没之后水面上升的高
度最多为h，根据$V=Sh$可知乙排开水的体积
最多为原来水的体积的$\frac{1}{2}$，即乙排开水的最
大体积 $V_{乙最大}=\frac{1}{2}V_{水}$，乙密度的最小值 $\rho_{乙}=$
$\frac{m_{乙}}{V_{乙最大}}=\frac{3\rho_{水}V_{水}}{\frac{1}{2}V_{水}}=6\rho_{水}=6×1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}=$
$6.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
解析
【分析】
这道题分三个小问逐步求解，解题思路如下：
1. 第一问是液体压强的基础计算，已知水的深度，直接代入液体压强公式p=ρgh即可算出结果，不需要额外推导。
2. 第二问是水平面上的固体压强计算，圆柱体放在水平地面上，对地面的压力等于自身重力，再代入固体压强定义式p=F/S就能得到乙对地面的压强。
3. 第三问求乙的最小密度，首先从“甲对地面的压强恰为原来的4倍”这个条件入手：因为容器是轻质的，容器重力不计，压强的受力面积始终是甲的底面积，压强变为4倍说明总压力变为原来的4倍，由此可以推导出乙的重力是原有水重力的3倍，得到乙的质量表达式。接下来根据密度公式ρ=m/V，当乙的质量确定时，要让乙的密度最小，就需要乙的体积尽可能大；同时乙浸没在水中且水不溢出，容器总高度为3h，原有水深为2h，水面最多只能上升h，由此得到乙排开水的最大体积，也就是乙的最大体积，最后代入密度公式就能算出乙的最小密度。
【解析】
(1) 已知水深$h_{水}=0.2\ \mathrm{m}$，代入液体压强公式：
$p_{水}=\rho_{水}gh_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.2\ \mathrm{m}=2000\ \mathrm{Pa}$
(2) 圆柱体乙置于水平地面上，对地面的压力等于自身重力：
$F=G_{乙}=20\ \mathrm{N}$
代入固体压强公式：
$p_{乙}=\frac{F}{S_{乙}}=\frac{20\ \mathrm{N}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m^2}}=1000\ \mathrm{Pa}$
(3) 因为容器甲是轻质薄壁容器，容器重力不计：
原来甲对地面的压力等于水的重力，即$F_{甲}=G_{水}$，原来的压强$p_{甲}=\frac{G_{水}}{S_{甲}}$；
放入乙浸没后，甲对地面的压强$p_{甲}'=4p_{甲}$，受力面积$S_{甲}$不变，因此此时总压力$F_{甲}'=4G_{水}$，而总压力等于水和乙的总重力，即$G_{水}+G_{乙}=4G_{水}$，推导得$G_{乙}=3G_{水}$，也就是$m_{乙}g=3\rho_{水}V_{水}g$，约去g得$m_{乙}=3\rho_{水}V_{水}$。
要得到乙的最小密度，由$\rho=\frac{m}{V}$可知，在$m_{乙}$固定时，$V_{乙}$越大，$\rho_{乙}$越小；同时乙完全浸没在水中且水不溢出，容器总高为3h，原有水深为2h，水面最多上升的高度为$\Delta h=3h-2h=h$，因此乙排开水的最大体积$V_{排最大}=S_{甲}·\Delta h=S_{甲}h$，而原有水的体积$V_{水}=S_{甲}·2h$，因此乙的最大体积$V_{乙最大}=V_{排最大}=\frac{1}{2}V_{水}$。
代入密度公式得乙的最小密度：
$\rho_{乙最小}=\frac{m_{乙}}{V_{乙最大}}=\frac{3\rho_{水}V_{水}}{\frac{1}{2}V_{水}}=6\rho_{水}=6×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=6.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【答案】
(1) $2000\ \mathrm{Pa}$
(2) $1000\ \mathrm{Pa}$
(3) $6.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【知识点】
液体压强计算
固体压强计算
密度公式应用
【点评】
本题前两问属于压强的基础应用，考察学生对基础压强公式的直接掌握能力，第三问是综合推导难点，需要学生理解“密度最小”对应的物理条件是质量一定时体积最大，同时结合水不溢出的边界限制找到乙的最大体积，对学生的逻辑推导能力要求较高，容易出错的点是无法关联水面上升的最大高度和乙的体积的关系。
【难度系数】
0.3
这道题分三个小问逐步求解，解题思路如下：
1. 第一问是液体压强的基础计算，已知水的深度，直接代入液体压强公式p=ρgh即可算出结果，不需要额外推导。
2. 第二问是水平面上的固体压强计算，圆柱体放在水平地面上，对地面的压力等于自身重力，再代入固体压强定义式p=F/S就能得到乙对地面的压强。
3. 第三问求乙的最小密度，首先从“甲对地面的压强恰为原来的4倍”这个条件入手：因为容器是轻质的，容器重力不计，压强的受力面积始终是甲的底面积，压强变为4倍说明总压力变为原来的4倍，由此可以推导出乙的重力是原有水重力的3倍，得到乙的质量表达式。接下来根据密度公式ρ=m/V，当乙的质量确定时，要让乙的密度最小，就需要乙的体积尽可能大；同时乙浸没在水中且水不溢出，容器总高度为3h，原有水深为2h，水面最多只能上升h，由此得到乙排开水的最大体积，也就是乙的最大体积，最后代入密度公式就能算出乙的最小密度。
【解析】
(1) 已知水深$h_{水}=0.2\ \mathrm{m}$，代入液体压强公式：
$p_{水}=\rho_{水}gh_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.2\ \mathrm{m}=2000\ \mathrm{Pa}$
(2) 圆柱体乙置于水平地面上，对地面的压力等于自身重力：
$F=G_{乙}=20\ \mathrm{N}$
代入固体压强公式：
$p_{乙}=\frac{F}{S_{乙}}=\frac{20\ \mathrm{N}}{2×10^{-2}\ \mathrm{m^2}}=1000\ \mathrm{Pa}$
(3) 因为容器甲是轻质薄壁容器，容器重力不计：
原来甲对地面的压力等于水的重力，即$F_{甲}=G_{水}$，原来的压强$p_{甲}=\frac{G_{水}}{S_{甲}}$；
放入乙浸没后，甲对地面的压强$p_{甲}'=4p_{甲}$，受力面积$S_{甲}$不变，因此此时总压力$F_{甲}'=4G_{水}$，而总压力等于水和乙的总重力，即$G_{水}+G_{乙}=4G_{水}$，推导得$G_{乙}=3G_{水}$，也就是$m_{乙}g=3\rho_{水}V_{水}g$，约去g得$m_{乙}=3\rho_{水}V_{水}$。
要得到乙的最小密度，由$\rho=\frac{m}{V}$可知，在$m_{乙}$固定时，$V_{乙}$越大，$\rho_{乙}$越小；同时乙完全浸没在水中且水不溢出，容器总高为3h，原有水深为2h，水面最多上升的高度为$\Delta h=3h-2h=h$，因此乙排开水的最大体积$V_{排最大}=S_{甲}·\Delta h=S_{甲}h$，而原有水的体积$V_{水}=S_{甲}·2h$，因此乙的最大体积$V_{乙最大}=V_{排最大}=\frac{1}{2}V_{水}$。
代入密度公式得乙的最小密度：
$\rho_{乙最小}=\frac{m_{乙}}{V_{乙最大}}=\frac{3\rho_{水}V_{水}}{\frac{1}{2}V_{水}}=6\rho_{水}=6×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=6.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【答案】
(1) $2000\ \mathrm{Pa}$
(2) $1000\ \mathrm{Pa}$
(3) $6.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【知识点】
液体压强计算
固体压强计算
密度公式应用
【点评】
本题前两问属于压强的基础应用，考察学生对基础压强公式的直接掌握能力，第三问是综合推导难点，需要学生理解“密度最小”对应的物理条件是质量一定时体积最大，同时结合水不溢出的边界限制找到乙的最大体积，对学生的逻辑推导能力要求较高，容易出错的点是无法关联水面上升的最大高度和乙的体积的关系。
【难度系数】
0.3
