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10.下列运用等式的性质变形,错误的是（
A.若$a=b$,则$a - c = b - c$
B.若$ac=bc$,则$a=b$
C.若$\frac{a}{c - 1}=\frac{b}{c - 1}$,则$a=b$
D.若$a=b$,则$\frac{a}{c^2 + 1}=\frac{b}{c^2 + 1}$
B
）A.若$a=b$,则$a - c = b - c$
B.若$ac=bc$,则$a=b$
C.若$\frac{a}{c - 1}=\frac{b}{c - 1}$,则$a=b$
D.若$a=b$,则$\frac{a}{c^2 + 1}=\frac{b}{c^2 + 1}$
答案
10.B
解析
【分析】
解题时首先要牢记等式的两条基本性质，特别注意等式两边同时除以一个数时，这个数必须不为0，否则变形无效。接下来我们逐一对照等式性质分析每个选项的变形是否正确，最终选出错误的选项。
【解析】
我们根据等式的性质逐个判断：
选项A：根据等式性质1，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。若$a=b$，两边同时减$c$，可得$a - c = b - c$，变形正确，不符合题意。
选项B：根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立。若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a$、$b$是否相等，等式都成立，此时不能直接两边除以$c$得到$a=b$，变形错误，符合题意。
选项C：$\frac{a}{c - 1}=\frac{b}{c - 1}$成立的前提是分母$c-1≠0$，根据等式性质2，两边同时乘不为0的$c-1$，可得$a=b$，变形正确，不符合题意。
选项D：因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1$，一定不为0，根据等式性质2，若$a=b$，两边同时除以不为0的$c^2+1$，可得$\frac{a}{c^2 + 1}=\frac{b}{c^2 + 1}$，变形正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题重点考查等式性质的应用，易错点是忽略等式两边除以的数必须不为0的前提条件，做这类题时要格外注意除数是否可能为0。
【难度系数】
0.8
解题时首先要牢记等式的两条基本性质，特别注意等式两边同时除以一个数时，这个数必须不为0，否则变形无效。接下来我们逐一对照等式性质分析每个选项的变形是否正确，最终选出错误的选项。
【解析】
我们根据等式的性质逐个判断：
选项A：根据等式性质1，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。若$a=b$，两边同时减$c$，可得$a - c = b - c$，变形正确，不符合题意。
选项B：根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立。若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a$、$b$是否相等，等式都成立，此时不能直接两边除以$c$得到$a=b$，变形错误，符合题意。
选项C：$\frac{a}{c - 1}=\frac{b}{c - 1}$成立的前提是分母$c-1≠0$，根据等式性质2，两边同时乘不为0的$c-1$，可得$a=b$，变形正确，不符合题意。
选项D：因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1$，一定不为0，根据等式性质2，若$a=b$，两边同时除以不为0的$c^2+1$，可得$\frac{a}{c^2 + 1}=\frac{b}{c^2 + 1}$，变形正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题重点考查等式性质的应用，易错点是忽略等式两边除以的数必须不为0的前提条件，做这类题时要格外注意除数是否可能为0。
【难度系数】
0.8
11.(新背景)设■,▲,●分别表示三种不同的物体,如图,前两架天平保持平衡,如果要使第三架天平也平衡,那么以下方案不正确的是 (
A
)答案
11.A
解析
【分析】
首先我们可以将三种物体的质量设为未知数，根据天平平衡时左右两侧质量相等的特点，结合前两架天平的平衡关系列出等式，再利用等式的性质推导三种物体质量之间的换算关系，最后计算第三架天平左侧的总质量，逐一对比选项，找出总质量不相等的即为不正确的方案。
【解析】
设■的质量为$x$，▲的质量为$y$，●的质量为$z$。
由天平（1）平衡可得：$x + y = 2z$ ①
由天平（2）平衡可得：$y + z = x$ ②
将②代入①，得：$y + z + y = 2z$，整理得$2y = z$，即$z=2y$。
把$z=2y$代入②，得：$y + 2y = x$，即$x=3y$。
第三架天平左侧总质量为$x + z = 3y + 2y = 5y$。
逐一分析选项：
A选项：总质量为$4y$，与左侧总质量不相等，天平不能平衡，方案错误；
B选项：总质量为$5y$，与左侧总质量相等，天平能平衡，方案正确；
C选项：总质量为$2z + y = 2×2y + y = 5y$，与左侧总质量相等，天平能平衡，方案正确；
D选项：总质量为$z + 3y = 2y + 3y = 5y$，与左侧总质量相等，天平能平衡，方案正确。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质，等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活情境，考查利用等式性质进行等量代换的能力，解题的核心是先推导出不同物体质量的数量关系，再通过计算对比得出结论，需要注意审题，明确题目要求选出“不正确”的方案。
【难度系数】
0.7
首先我们可以将三种物体的质量设为未知数，根据天平平衡时左右两侧质量相等的特点，结合前两架天平的平衡关系列出等式，再利用等式的性质推导三种物体质量之间的换算关系，最后计算第三架天平左侧的总质量，逐一对比选项，找出总质量不相等的即为不正确的方案。
【解析】
设■的质量为$x$，▲的质量为$y$，●的质量为$z$。
由天平（1）平衡可得：$x + y = 2z$ ①
由天平（2）平衡可得：$y + z = x$ ②
将②代入①，得：$y + z + y = 2z$，整理得$2y = z$，即$z=2y$。
把$z=2y$代入②，得：$y + 2y = x$，即$x=3y$。
第三架天平左侧总质量为$x + z = 3y + 2y = 5y$。
逐一分析选项：
A选项：总质量为$4y$，与左侧总质量不相等，天平不能平衡，方案错误；
B选项：总质量为$5y$，与左侧总质量相等，天平能平衡，方案正确；
C选项：总质量为$2z + y = 2×2y + y = 5y$，与左侧总质量相等，天平能平衡，方案正确；
D选项：总质量为$z + 3y = 2y + 3y = 5y$，与左侧总质量相等，天平能平衡，方案正确。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质，等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活情境，考查利用等式性质进行等量代换的能力，解题的核心是先推导出不同物体质量的数量关系，再通过计算对比得出结论，需要注意审题，明确题目要求选出“不正确”的方案。
【难度系数】
0.7
12.(1)若$a-7=9-b$,则$a+b=$
(2)若$2a-1=3$,$3b+2=8$,则$2a+3b=$
16
;(2)若$2a-1=3$,$3b+2=8$,则$2a+3b=$
10
.答案
(1)16 (2)10
解析
【分析】
(1) 求解a+b时，可根据等式的性质对已知等式$a-7=9-b$变形，将含a、b的项移到等式左侧，常数项移到右侧，直接得出a+b的结果。
(2) 求解$2a+3b$时，观察已知两个等式分别包含2a和3b，可先利用等式的性质分别求出2a、3b的值，再整体相加得到结果，无需单独计算a、b的具体数值，可简化计算。
【解析】
(1) 对等式$a-7=9-b$，根据等式的性质1，等式两边同时加$b+7$：
左边：$a-7 + b +7 = a+b$
右边：$9 - b + b +7 = 16$
因此$a+b=16$。
(2) 先处理等式$2a-1=3$，根据等式的性质1，两边同时加1得：
$2a=3+1=4$
再处理等式$3b+2=8$，根据等式的性质1，两边同时减2得：
$3b=8-2=6$
将上述两个结果相加得：$2a+3b=4+6=10$。
【答案】
(1)16；(2)10
【知识点】
等式的性质；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题考查等式性质的基础应用，解题时注意观察所求代数式和已知等式的关联，合理运用整体代入的思路可以简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
(1) 求解a+b时，可根据等式的性质对已知等式$a-7=9-b$变形，将含a、b的项移到等式左侧，常数项移到右侧，直接得出a+b的结果。
(2) 求解$2a+3b$时，观察已知两个等式分别包含2a和3b，可先利用等式的性质分别求出2a、3b的值，再整体相加得到结果，无需单独计算a、b的具体数值，可简化计算。
【解析】
(1) 对等式$a-7=9-b$，根据等式的性质1，等式两边同时加$b+7$：
左边：$a-7 + b +7 = a+b$
右边：$9 - b + b +7 = 16$
因此$a+b=16$。
(2) 先处理等式$2a-1=3$，根据等式的性质1，两边同时加1得：
$2a=3+1=4$
再处理等式$3b+2=8$，根据等式的性质1，两边同时减2得：
$3b=8-2=6$
将上述两个结果相加得：$2a+3b=4+6=10$。
【答案】
(1)16；(2)10
【知识点】
等式的性质；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题考查等式性质的基础应用，解题时注意观察所求代数式和已知等式的关联，合理运用整体代入的思路可以简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
13.利用等式的性质解下列方程：
(1)$-3x+7=1$；
(2)$-\frac{y}{2}-3=9$。
(1)$-3x+7=1$；
(2)$-\frac{y}{2}-3=9$。
答案
(1)解:两边同减7,得$-3x+7-7=1-7$,化简得$-3x=-6$,两边同除以$-3$,得$x=2$.
(2)解:两边同加3,得$-\frac{y}{2}-3+3=9+3$,化简得$-\frac{y}{2}=12$,两边同乘以$-2$,得$y=-24$.
(2)解:两边同加3,得$-\frac{y}{2}-3+3=9+3$,化简得$-\frac{y}{2}=12$,两边同乘以$-2$,得$y=-24$.
解析
【分析】
解方程的核心是利用等式的性质逐步把方程变形为“未知数=常数”的形式。对于（1），首先要消去方程左侧的常数项7，根据等式的性质1，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，因此两边同时减7得到仅含未知数项的等式，再根据等式的性质2，两边同时除以未知数的系数-3，就能求出x的值；对于（2），先消去左侧的常数项-3，根据等式性质1两边同时加3，再根据等式性质2两边同时乘-2，即可求出y的值，变形过程要注意符号不要出错。
【解析】
(1)解:两边同减7,得$-3x+7-7=1-7$,化简得$-3x=-6$,两边同除以$-3$,得$x=2$.
(2)解:两边同加3,得$-\frac{y}{2}-3+3=9+3$,化简得$-\frac{y}{2}=12$,两边同乘以$-2$,得$y=-24$.
【答案】
(1)$x=2$；(2)$y=-24$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对等式性质的理解和运用，解题时需注意每一步变形都要保证等式两边同时做相同的运算，计算时留意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
解方程的核心是利用等式的性质逐步把方程变形为“未知数=常数”的形式。对于（1），首先要消去方程左侧的常数项7，根据等式的性质1，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，因此两边同时减7得到仅含未知数项的等式，再根据等式的性质2，两边同时除以未知数的系数-3，就能求出x的值；对于（2），先消去左侧的常数项-3，根据等式性质1两边同时加3，再根据等式性质2两边同时乘-2，即可求出y的值，变形过程要注意符号不要出错。
【解析】
(1)解:两边同减7,得$-3x+7-7=1-7$,化简得$-3x=-6$,两边同除以$-3$,得$x=2$.
(2)解:两边同加3,得$-\frac{y}{2}-3+3=9+3$,化简得$-\frac{y}{2}=12$,两边同乘以$-2$,得$y=-24$.
【答案】
(1)$x=2$；(2)$y=-24$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对等式性质的理解和运用，解题时需注意每一步变形都要保证等式两边同时做相同的运算，计算时留意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
14.(注重过程学习)阅读理解题:
下面是小明将等式$x-4=3x-4$变形的过程.
解:$x-4=3x-4$,
$x-4+4=3x-4+4$, ………(第一步)
$x=3x$, …………………………(第二步)
$1=3$. …………………………(第三步)
任务:
(1)小明第一步的依据是
(2)小明在第
(3)请你给出正确的解法.
下面是小明将等式$x-4=3x-4$变形的过程.
解:$x-4=3x-4$,
$x-4+4=3x-4+4$, ………(第一步)
$x=3x$, …………………………(第二步)
$1=3$. …………………………(第三步)
任务:
(1)小明第一步的依据是
等式的性质1
;(2)小明在第
三
步出错,错误的原因是两边同除以$x$,$x$有可能是0
;(3)请你给出正确的解法.
答案
(1)等式的性质1
(2)三 两边同除以$x$,$x$有可能是0
(3)解:两边加4,得$x-4+4=3x-4+4$,即$x=3x$.两边减$3x$,得$x-3x=3x-3x$,即$-2x=0$. 两边除以$-2$,得$x=0$.
(2)三 两边同除以$x$,$x$有可能是0
(3)解:两边加4,得$x-4+4=3x-4+4$,即$x=3x$.两边减$3x$,得$x-3x=3x-3x$,即$-2x=0$. 两边除以$-2$,得$x=0$.
解析
【分析】
这道题围绕等式的性质及解方程的规范步骤出题，解题思路如下：
1. 第一问：观察到第一步是等式两边同时加4，对应等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）等式仍成立的规则，也就是等式的性质1。
2. 第二问：逐步骤核对变形是否符合等式性质：前两步两边同时加4的操作符合规则，得到x=3x后，第三步直接两边除以x，此时要注意等式性质2要求除以的数不能为0，x可能为0，因此第三步出错。
3. 第三问：正确解方程需遵循移项、合并同类项、系数化为1的步骤，不能直接除以未知数，避免漏解或逻辑错误。
【解析】
(1) 第一步操作是等式两边同时加4，依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
(2) 三步变形中，前两步均符合等式性质，第三步将x=3x两边同时除以x，忽略了等式性质2中除数不能为0的要求，x有可能为0，因此第三步出错。
(3) 正确解法：
对等式$x-4=3x-4$，
两边加4，得$x-4+4=3x-4+4$，化简得$x=3x$；
两边减$3x$，得$x-3x=3x-3x$，合并同类项得$-2x=0$；
两边除以$-2$，得$x=0$。
【答案】
(1)等式的性质1
(2)三 两边同除以$x$,$x$有可能是0
(3)解:两边加4,得$x-4+4=3x-4+4$,即$x=3x$.两边减$3x$,得$x-3x=3x-3x$,即$-2x=0$. 两边除以$-2$,得$x=0$.
【知识点】
等式的性质，一元一次方程解法，等式变形注意事项
【点评】
本题通过错题辨析的形式考查等式性质的应用，重点提醒大家运用等式性质2对等式变形时，必须确保除以的数不为0，解含未知数的等式时不能随意除以未知数项，要按照规范步骤运算，避免逻辑错误。
【难度系数】
0.75
这道题围绕等式的性质及解方程的规范步骤出题，解题思路如下：
1. 第一问：观察到第一步是等式两边同时加4，对应等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）等式仍成立的规则，也就是等式的性质1。
2. 第二问：逐步骤核对变形是否符合等式性质：前两步两边同时加4的操作符合规则，得到x=3x后，第三步直接两边除以x，此时要注意等式性质2要求除以的数不能为0，x可能为0，因此第三步出错。
3. 第三问：正确解方程需遵循移项、合并同类项、系数化为1的步骤，不能直接除以未知数，避免漏解或逻辑错误。
【解析】
(1) 第一步操作是等式两边同时加4，依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
(2) 三步变形中，前两步均符合等式性质，第三步将x=3x两边同时除以x，忽略了等式性质2中除数不能为0的要求，x有可能为0，因此第三步出错。
(3) 正确解法：
对等式$x-4=3x-4$，
两边加4，得$x-4+4=3x-4+4$，化简得$x=3x$；
两边减$3x$，得$x-3x=3x-3x$，合并同类项得$-2x=0$；
两边除以$-2$，得$x=0$。
【答案】
(1)等式的性质1
(2)三 两边同除以$x$,$x$有可能是0
(3)解:两边加4,得$x-4+4=3x-4+4$,即$x=3x$.两边减$3x$,得$x-3x=3x-3x$,即$-2x=0$. 两边除以$-2$,得$x=0$.
【知识点】
等式的性质，一元一次方程解法，等式变形注意事项
【点评】
本题通过错题辨析的形式考查等式性质的应用，重点提醒大家运用等式性质2对等式变形时，必须确保除以的数不为0，解含未知数的等式时不能随意除以未知数项，要按照规范步骤运算，避免逻辑错误。
【难度系数】
0.75
15.已知$\frac{3}{4}m -1=\frac{3}{4}n$，试用等式的性质比较m与n的大小.
答案
解:在等式的两边乘4,得$3m-4=3n$. 在$3m-4=3n$的两边加4,得$3m=3n+4$,在$3m=3n+4$的两边减$3n$,得$3m-3n=4$,即$3(m-n)=4$. 在$3(m-n)=4$的两边除以3,得$m-n=\frac{4}{3}$. 因为$\frac{4}{3}＞0$,即$m-n＞0$,所以$m＞n$.
解析
【分析】
要比较m与n的大小，可通过作差法判断m-n的正负性，因此我们可以利用等式的性质对已知等式逐步变形，最终得到m-n的取值，进而判断二者的大小关系。解题时先消去等式中的分母，再通过移项将含m、n的项放在等式同侧，常数项放在另一侧，整理得到m-n的结果后，根据结果的正负即可判断大小。
【解析】
在等式的两边乘4，得$3m-4=3n$。
在$3m-4=3n$的两边加4，得$3m=3n+4$。
在$3m=3n+4$的两边减$3n$，得$3m-3n=4$，即$3(m-n)=4$。
在$3(m-n)=4$的两边除以3，得$m-n=\frac{4}{3}$。
因为$\frac{4}{3}＞0$，即$m-n＞0$，所以$m＞n$。
【答案】
$m＞n$
【知识点】
等式的性质，作差法比较大小
【点评】
本题重点考查等式性质的灵活运用，解题时需要根据比较大小的目标对等式进行合理变形，通过得到两个未知数的差值判断大小，熟练掌握等式的性质、正确进行等式变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较m与n的大小，可通过作差法判断m-n的正负性，因此我们可以利用等式的性质对已知等式逐步变形，最终得到m-n的取值，进而判断二者的大小关系。解题时先消去等式中的分母，再通过移项将含m、n的项放在等式同侧，常数项放在另一侧，整理得到m-n的结果后，根据结果的正负即可判断大小。
【解析】
在等式的两边乘4，得$3m-4=3n$。
在$3m-4=3n$的两边加4，得$3m=3n+4$。
在$3m=3n+4$的两边减$3n$，得$3m-3n=4$，即$3(m-n)=4$。
在$3(m-n)=4$的两边除以3，得$m-n=\frac{4}{3}$。
因为$\frac{4}{3}＞0$，即$m-n＞0$，所以$m＞n$。
【答案】
$m＞n$
【知识点】
等式的性质，作差法比较大小
【点评】
本题重点考查等式性质的灵活运用，解题时需要根据比较大小的目标对等式进行合理变形，通过得到两个未知数的差值判断大小，熟练掌握等式的性质、正确进行等式变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
16.(核心素养·推理能力)能不能由$(a+3)x = b-1$得到等式$x=\frac{b-1}{a+3}$，为什么？反之，能不能由$x=\frac{b-1}{a+3}$得到$(a+3)x = b-1$，为什么？
答案
解:当$a=-3$时,从$(a+3)x=b-1$不能得到$x=\frac{b-1}{a+3}$,因为0不能为除数,而从$x=\frac{b-1}{a+3}$可以得到等式$(a+3)x=b-1$,这是根据等式的性质2,且从$x=\frac{b-1}{a+3}$可知$a+3≠0$.
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握等式的性质2的限制条件：等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0，否则除法运算无意义。对于第一个变形，要从$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$，需要两边同时除以$a+3$，因此要先判断$a+3$是否可能为0；对于第二个变形，$x=\frac{b-1}{a+3}$是已经成立的式子，说明它的分母必然不为0，再结合等式的性质2判断变形是否成立即可。
【解析】
1. 判断能否由$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$：
当$a=-3$时，$a+3=0$，而0不能作为除数，因此不能在等式两边同时除以$a+3$，此时无法得到$x=\frac{b-1}{a+3}$；仅当$a≠ -3$时，才能通过两边除以$a+3$得到该式。
2. 判断能否由$x=\frac{b-1}{a+3}$得到$(a+3)x = b-1$：
$x=\frac{b-1}{a+3}$成立的前提是分母$a+3≠ 0$，根据等式的性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，因此两边同时乘$a+3$即可得到$(a+3)x = b-1$。
【答案】
当$a=-3$时,从$(a+3)x=b-1$不能得到$x=\frac{b-1}{a+3}$,因为0不能为除数,而从$x=\frac{b-1}{a+3}$可以得到等式$(a+3)x = b-1$,这是根据等式的性质2,且从$x=\frac{b-1}{a+3}$可知$a+3≠0$.
【知识点】
1. 等式的性质
2. 0不能作除数
【点评】
本题主要考查等式性质的应用，易错点是忽略等式两边作除法运算时，除数不能为0的限制条件，需要特别注意隐含的取值限制。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是掌握等式的性质2的限制条件：等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0，否则除法运算无意义。对于第一个变形，要从$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$，需要两边同时除以$a+3$，因此要先判断$a+3$是否可能为0；对于第二个变形，$x=\frac{b-1}{a+3}$是已经成立的式子，说明它的分母必然不为0，再结合等式的性质2判断变形是否成立即可。
【解析】
1. 判断能否由$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$：
当$a=-3$时，$a+3=0$，而0不能作为除数，因此不能在等式两边同时除以$a+3$，此时无法得到$x=\frac{b-1}{a+3}$；仅当$a≠ -3$时，才能通过两边除以$a+3$得到该式。
2. 判断能否由$x=\frac{b-1}{a+3}$得到$(a+3)x = b-1$：
$x=\frac{b-1}{a+3}$成立的前提是分母$a+3≠ 0$，根据等式的性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，因此两边同时乘$a+3$即可得到$(a+3)x = b-1$。
【答案】
当$a=-3$时,从$(a+3)x=b-1$不能得到$x=\frac{b-1}{a+3}$,因为0不能为除数,而从$x=\frac{b-1}{a+3}$可以得到等式$(a+3)x = b-1$,这是根据等式的性质2,且从$x=\frac{b-1}{a+3}$可知$a+3≠0$.
【知识点】
1. 等式的性质
2. 0不能作除数
【点评】
本题主要考查等式性质的应用，易错点是忽略等式两边作除法运算时，除数不能为0的限制条件，需要特别注意隐含的取值限制。
【难度系数】
0.7
