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1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是(
A.$2x - y = 1$
B.$x + 3xy + 2y^2 = 5$
C.$\frac{x^2 -1}{2} = \frac{x}{2}$
D.$x^2 + \frac{2}{x} = 2$
C
).A.$2x - y = 1$
B.$x + 3xy + 2y^2 = 5$
C.$\frac{x^2 -1}{2} = \frac{x}{2}$
D.$x^2 + \frac{2}{x} = 2$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数（即“一元”）；②未知数的最高次数是2（即“二次”）；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时按照这三个条件逐个排查选项即可：先判断是否为整式方程，排除分式方程；再看未知数个数，排除多元方程；最后验证未知数最高次数是否为2，就能快速锁定正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，我们逐一分析选项：
A. 方程$2x-y=1$含有$x$、$y$两个未知数，属于二元一次方程，不符合“一元”的要求，排除；
B. 方程$x + 3xy + 2y^2 = 5$含有$x$、$y$两个未知数，属于二元二次方程，不符合“一元”的要求，排除；
C. 方程$\frac{x^2 -1}{2} = \frac{x}{2}$两边同乘2整理可得$x^2 - x - 1 = 0$，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；
D. 方程$x^2 + \frac{2}{x} = 2$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.整式方程的识别 3.分式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确牢记一元二次方程的三个判定要点，尤其要注意“整式方程”这个前提，避免因忽略分母含未知数的情况错选D选项。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数（即“一元”）；②未知数的最高次数是2（即“二次”）；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时按照这三个条件逐个排查选项即可：先判断是否为整式方程，排除分式方程；再看未知数个数，排除多元方程；最后验证未知数最高次数是否为2，就能快速锁定正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，我们逐一分析选项：
A. 方程$2x-y=1$含有$x$、$y$两个未知数，属于二元一次方程，不符合“一元”的要求，排除；
B. 方程$x + 3xy + 2y^2 = 5$含有$x$、$y$两个未知数，属于二元二次方程，不符合“一元”的要求，排除；
C. 方程$\frac{x^2 -1}{2} = \frac{x}{2}$两边同乘2整理可得$x^2 - x - 1 = 0$，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；
D. 方程$x^2 + \frac{2}{x} = 2$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.整式方程的识别 3.分式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确牢记一元二次方程的三个判定要点，尤其要注意“整式方程”这个前提，避免因忽略分母含未知数的情况错选D选项。
【难度系数】
0.8
2.将方程$(x-1)(x+3)=12$化为$ax^2+bx+c=0$的形式后，$a,b,c$的值为（
A.$1,-2,-15$
B.$-1,-2,-15$
C.$1,2,-15$
D.$-1,2,-15$
C
）.A.$1,-2,-15$
B.$-1,-2,-15$
C.$1,2,-15$
D.$-1,2,-15$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确目标是将给定方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$。解题思路分为三步：第一步利用多项式乘多项式的法则展开方程左侧的乘积；第二步将等号右侧的常数项移到等号左侧，注意移项要变号；第三步合并同类项得到标准形式，再对应匹配$a、b、c$的数值即可选出正确选项。
【解析】
第一步：展开方程左侧的多项式：
$(x-1)(x+3)=x^2+3x - x - 3=x^2+2x-3$
第二步：整理原方程，将右侧的12移到左侧：
$x^2+2x-3=12$
移项得：$x^2+2x-3-12=0$
第三步：合并同类项得到一般形式：
$x^2+2x-15=0$
对比$ax^2+bx+c=0$，可得$a=1，b=2，c=-15$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；多项式乘多项式；移项合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础变形题，主要考查学生对一元二次方程一般形式的理解和整式运算的掌握程度，解题时注意多项式展开的运算准确性和移项的符号变化，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确目标是将给定方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$。解题思路分为三步：第一步利用多项式乘多项式的法则展开方程左侧的乘积；第二步将等号右侧的常数项移到等号左侧，注意移项要变号；第三步合并同类项得到标准形式，再对应匹配$a、b、c$的数值即可选出正确选项。
【解析】
第一步：展开方程左侧的多项式：
$(x-1)(x+3)=x^2+3x - x - 3=x^2+2x-3$
第二步：整理原方程，将右侧的12移到左侧：
$x^2+2x-3=12$
移项得：$x^2+2x-3-12=0$
第三步：合并同类项得到一般形式：
$x^2+2x-15=0$
对比$ax^2+bx+c=0$，可得$a=1，b=2，c=-15$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；多项式乘多项式；移项合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础变形题，主要考查学生对一元二次方程一般形式的理解和整式运算的掌握程度，解题时注意多项式展开的运算准确性和移项的符号变化，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
3.在下列一元二次方程中,有一个根是2的方程是(
A.$x^2 + 2x - 4 = 0$
B.$2x^2 - x - 2 = 0$
C.$x^2 + x - 6 = 0$
D.$2x^2 - x + 2 = 0$
C
).A.$x^2 + 2x - 4 = 0$
B.$2x^2 - x - 2 = 0$
C.$x^2 + x - 6 = 0$
D.$2x^2 - x + 2 = 0$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断2是哪个一元二次方程的根，依据一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此解题时可直接将x=2依次代入四个选项的方程，计算方程左边的结果，判断是否等于右边的0，相等的即为符合要求的选项。
【解析】
我们采用代入验证法逐一判断：
A选项：把x=2代入方程左边，得$2^2 + 2×2 - 4 = 4 + 4 - 4 = 4$，左边≠右边，故2不是该方程的根；
B选项：把x=2代入方程左边，得$2×2^2 - 2 - 2 = 8 - 2 - 2 = 4$，左边≠右边，故2不是该方程的根；
C选项：把x=2代入方程左边，得$2^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$，左边=右边，故2是该方程的根；
D选项：把x=2代入方程左边，得$2×2^2 - 2 + 2 = 8$，左边≠右边，故2不是该方程的根。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.代入法检验方程的解
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，使用代入验证法求解效率最高，也可通过求解各一元二次方程的根来判断，两种方法都能得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要判断2是哪个一元二次方程的根，依据一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此解题时可直接将x=2依次代入四个选项的方程，计算方程左边的结果，判断是否等于右边的0，相等的即为符合要求的选项。
【解析】
我们采用代入验证法逐一判断：
A选项：把x=2代入方程左边，得$2^2 + 2×2 - 4 = 4 + 4 - 4 = 4$，左边≠右边，故2不是该方程的根；
B选项：把x=2代入方程左边，得$2×2^2 - 2 - 2 = 8 - 2 - 2 = 4$，左边≠右边，故2不是该方程的根；
C选项：把x=2代入方程左边，得$2^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$，左边=右边，故2是该方程的根；
D选项：把x=2代入方程左边，得$2×2^2 - 2 + 2 = 8$，左边≠右边，故2不是该方程的根。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.代入法检验方程的解
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，使用代入验证法求解效率最高，也可通过求解各一元二次方程的根来判断，两种方法都能得出正确结果。
【难度系数】
0.9
4.下列各数是方程$x^2 + 3x -10=0$的根的是(
A.2和5
B.-5和3
C.5和3
D.-5和2
D
).A.2和5
B.-5和3
C.5和3
D.-5和2
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判断，有两种常见解题思路：第一种是利用根的定义，将选项中的数值代入方程，若左边计算结果等于0，则该数是方程的根，反之不是；第二种是直接求解给定的一元二次方程，得到根后匹配选项即可。本题中方程左边的二次三项式容易因式分解，优先选择解方程的方法更高效。
【解析】
用因式分解法解方程$x^2 + 3x -10=0$：
对左边十字相乘分解因式，可得$(x+5)(x-2)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，得：
$x+5=0$ 或 $x-2=0$
分别解得$x_1=-5$，$x_2=2$
因此方程的根为-5和2，对应选项D。
也可通过代入法验证：将-5和2分别代入方程左边，计算结果均等于0，符合根的定义，其余选项的数值代入均不满足等式。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础题型，解题方法灵活，既可以直接解方程得到答案，也可以通过代入检验排除错误选项，重点考察对一元二次方程基础概念和解法的掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的判断，有两种常见解题思路：第一种是利用根的定义，将选项中的数值代入方程，若左边计算结果等于0，则该数是方程的根，反之不是；第二种是直接求解给定的一元二次方程，得到根后匹配选项即可。本题中方程左边的二次三项式容易因式分解，优先选择解方程的方法更高效。
【解析】
用因式分解法解方程$x^2 + 3x -10=0$：
对左边十字相乘分解因式，可得$(x+5)(x-2)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，得：
$x+5=0$ 或 $x-2=0$
分别解得$x_1=-5$，$x_2=2$
因此方程的根为-5和2，对应选项D。
也可通过代入法验证：将-5和2分别代入方程左边，计算结果均等于0，符合根的定义，其余选项的数值代入均不满足等式。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础题型，解题方法灵活，既可以直接解方程得到答案，也可以通过代入检验排除错误选项，重点考察对一元二次方程基础概念和解法的掌握。
【难度系数】
0.9
5.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为$600\ \mathrm{m}^2$的矩形绿地，并且长比宽多10 m.设绿地的宽为$x\ \mathrm{m}$，根据题意，可列方程为(
A.$x(x+10)=600$
B.$x(x-10)=600$
C.$10(x+10)=600$
D.$2[x+(x+10)]=600$
A
).A.$x(x+10)=600$
B.$x(x-10)=600$
C.$10(x+10)=600$
D.$2[x+(x+10)]=600$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心等量关系为矩形面积=长×宽，第一步根据“长比宽多10 m”和设出的宽$x\ \mathrm{m}$，表示出矩形的长；第二步将长、宽以及已知的面积代入矩形面积公式，即可列出对应方程，再匹配选项得到答案。
【解析】
解：已知设绿地的宽为$x\ \mathrm{m}$，
∵长比宽多10 m，
∴绿地的长为$(x+10)\ \mathrm{m}$，
矩形面积公式为：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知绿地面积为$600\ \mathrm{m}^2$，
代入公式可得：$x(x+10)=600$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的式子表示出矩形的长，再结合对应公式列方程即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目核心等量关系为矩形面积=长×宽，第一步根据“长比宽多10 m”和设出的宽$x\ \mathrm{m}$，表示出矩形的长；第二步将长、宽以及已知的面积代入矩形面积公式，即可列出对应方程，再匹配选项得到答案。
【解析】
解：已知设绿地的宽为$x\ \mathrm{m}$，
∵长比宽多10 m，
∴绿地的长为$(x+10)\ \mathrm{m}$，
矩形面积公式为：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知绿地面积为$600\ \mathrm{m}^2$，
代入公式可得：$x(x+10)=600$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的式子表示出矩形的长，再结合对应公式列方程即可。
【难度系数】
0.9
6.将方程$3(x-1)^2 +10x -1=0$化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________。
答案
6.3,4,2
解析
【分析】
要确定一元二次方程的各项系数，首先需要将给定方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先利用完全平方公式展开含平方的项，再去括号、合并同类项整理为一般形式，最后对应提取各系数即可。
【解析】
先展开完全平方项，再合并同类项整理方程：
$\begin{aligned}3(x-1)^2 +10x -1&=0\\3(x^2 - 2x +1) +10x -1&=0\\3x^2 -6x +3 +10x -1&=0\\3x^2 + 4x + 2&=0\end{aligned}$
对照一元二次方程的一般形式，可得二次项系数为3，一次项系数为4，常数项为2。
【答案】
3，4，2
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.整式的化简运算
3.完全平方公式
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的理解，化简过程中只要注意去括号的符号规则、合并同类项时的系数计算，即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
要确定一元二次方程的各项系数，首先需要将给定方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先利用完全平方公式展开含平方的项，再去括号、合并同类项整理为一般形式，最后对应提取各系数即可。
【解析】
先展开完全平方项，再合并同类项整理方程：
$\begin{aligned}3(x-1)^2 +10x -1&=0\\3(x^2 - 2x +1) +10x -1&=0\\3x^2 -6x +3 +10x -1&=0\\3x^2 + 4x + 2&=0\end{aligned}$
对照一元二次方程的一般形式，可得二次项系数为3，一次项系数为4，常数项为2。
【答案】
3，4，2
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.整式的化简运算
3.完全平方公式
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的理解，化简过程中只要注意去括号的符号规则、合并同类项时的系数计算，即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
7.一元二次方程$2x^2 - (a + 1)x = x(x - 1) - 1$化成一般式后，若一次项系数为1，则a的值为
-1
。答案
7.-1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般式的形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A\ne0$），其中$B$是一次项系数。解题步骤可分为三步：第一步先将给定的方程去括号、移项、合并同类项，整理为一般式；第二步从整理后的一般式中找出一次项系数的表达式；第三步根据题目给出的“一次项系数为1”的条件，列关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值，计算时要注意符号不要出错。
【解析】
第一步：整理原方程为一般式
原方程：$2x^2 - (a + 1)x = x(x - 1) - 1$
先展开等号右侧的式子：$x(x-1)-1=x^2 - x - 1$
将右侧所有项移到等号左侧，合并同类项：
$2x^2 - (a+1)x - x^2 + x + 1 = 0$
二次项合并：$2x^2 - x^2 = x^2$
一次项合并：$-(a+1)x + x = (-a -1 + 1)x = -ax$
常数项为$1$，因此整理后的一般式为：$x^2 - ax + 1 = 0$
第二步：根据一次项系数列方程求解
题目要求一次项系数为1，该一般式的一次项系数为$-a$，因此列方程：
$-a = 1$
解得：$a = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程一般式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程一般式的理解，解题的关键是正确化简方程，尤其要注意去括号、移项过程中的符号问题，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般式的形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A\ne0$），其中$B$是一次项系数。解题步骤可分为三步：第一步先将给定的方程去括号、移项、合并同类项，整理为一般式；第二步从整理后的一般式中找出一次项系数的表达式；第三步根据题目给出的“一次项系数为1”的条件，列关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值，计算时要注意符号不要出错。
【解析】
第一步：整理原方程为一般式
原方程：$2x^2 - (a + 1)x = x(x - 1) - 1$
先展开等号右侧的式子：$x(x-1)-1=x^2 - x - 1$
将右侧所有项移到等号左侧，合并同类项：
$2x^2 - (a+1)x - x^2 + x + 1 = 0$
二次项合并：$2x^2 - x^2 = x^2$
一次项合并：$-(a+1)x + x = (-a -1 + 1)x = -ax$
常数项为$1$，因此整理后的一般式为：$x^2 - ax + 1 = 0$
第二步：根据一次项系数列方程求解
题目要求一次项系数为1，该一般式的一次项系数为$-a$，因此列方程：
$-a = 1$
解得：$a = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程一般式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程一般式的理解，解题的关键是正确化简方程，尤其要注意去括号、移项过程中的符号问题，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
8.若关于 $ x $ 的方程 $ kx^2 + 2x = 2x^2 + 1 $ 是一元二次方程，则实数 $ k $ 应满足的条件是
$k≠2$
答案
8.$k≠2$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程的判定条件：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程为一元二次方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），核心要求是二次项系数不为0。解题时先将原方程移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，再令二次项系数不等于0，即可求出k的取值范围。
【解析】
首先对原方程进行整理：
将方程$kx^2 + 2x = 2x^2 + 1$移项，把所有项移到等号左侧，得：
$kx^2 + 2x - 2x^2 - 1 = 0$
合并同类项，将含$x^2$的项合并，得：
$(k - 2)x^2 + 2x - 1 = 0$
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即：
$k - 2 ≠ 0$
解得：$k ≠ 2$
【答案】
$k≠2$
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题关键是先将原方程整理为一般形式，再根据二次项系数不为0列不等式求解，易错点是忽略整理步骤，直接认为原方程中$x^2$的系数为k，错误得到$k≠0$的结论。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程的判定条件：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程为一元二次方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），核心要求是二次项系数不为0。解题时先将原方程移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，再令二次项系数不等于0，即可求出k的取值范围。
【解析】
首先对原方程进行整理：
将方程$kx^2 + 2x = 2x^2 + 1$移项，把所有项移到等号左侧，得：
$kx^2 + 2x - 2x^2 - 1 = 0$
合并同类项，将含$x^2$的项合并，得：
$(k - 2)x^2 + 2x - 1 = 0$
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即：
$k - 2 ≠ 0$
解得：$k ≠ 2$
【答案】
$k≠2$
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题关键是先将原方程整理为一般形式，再根据二次项系数不为0列不等式求解，易错点是忽略整理步骤，直接认为原方程中$x^2$的系数为k，错误得到$k≠0$的结论。
【难度系数】
0.7
