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素材1:如图1中有一座拱桥,如图2是其抛物线形桥拱的示意图,某时测得水面宽20m,拱顶离水面5m,据调查,该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高.
素材2:为迎佳节,拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼,如图3,为了安全,灯笼底部距离水面不小于1m;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼,且挂满后成轴对称分布。
根据以上素材,如何设计拱桥景观灯的悬挂方案呢?
任务1:确定桥拱形状.在图2中建立合适的直角坐标系.求抛物线的函数表达式.
任务2:探究悬挂范围.在你所建立的坐标系中,仅在安全的条件下,确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
任务3:拟定设计方案.给出一种符合所有悬挂条件的方案的灯笼数量,并根据你所建立的坐标系.求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
素材2:为迎佳节,拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼,如图3,为了安全,灯笼底部距离水面不小于1m;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼,且挂满后成轴对称分布。
根据以上素材,如何设计拱桥景观灯的悬挂方案呢?
任务1:确定桥拱形状.在图2中建立合适的直角坐标系.求抛物线的函数表达式.
任务2:探究悬挂范围.在你所建立的坐标系中,仅在安全的条件下,确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
任务3:拟定设计方案.给出一种符合所有悬挂条件的方案的灯笼数量,并根据你所建立的坐标系.求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
答案
任务1:以拱顶为原点,建立如图1所示的直角坐标系,则顶点为(0,0),且过点B(10,-5)
设抛物线的解析式为 y=ax²,把点 B(10,-5)代入得 100a=-5,
∴a=-1/20,
∴抛物线的函数表达式为 y=-1/20 x²
任务2:
∵该河段水位再涨1.8m达到最高,灯笼底部距离水面不小于1m,灯笼长0.4m,
∴当悬挂点的纵坐标 y≥-5+1.8+1+0.4=-1.8,即悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8m,
当 y=-1.8 时,-1/20 x²=-1.8,
∴x=±6,
∴悬挂点的横坐标的取值范围是-6≤x≤6
任务3:方案一:如图2(坐标轴的横轴),从顶点处开始悬挂灯笼,
∵-6≤x≤6,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m,
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时,1.6×4＞6,若顶点一侧悬挂3盏灯笼时,1.6×3＜6,
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼,
∵灯笼挂满后成轴对称分布,
∴共可挂7盏灯笼,
∴最左边一盏灯笼的横坐标为:-1.6×3=-4.8
方案二:如图3,
∵当顶点一侧悬挂5盏灯笼时,0.8+1.6×(5-1)＞6,当顶点一侧悬挂4盏灯笼时,0.8+1.6×(4-1)＜6,
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼,
∵灯笼挂满后成轴对称分布,
∴共可挂8盏灯笼,
∴最左边一盏灯笼的横坐标为-0.8-1.6×3=-5.6
解析
【分析】
1. 求解抛物线解析式：选择拱顶为原点建立平面直角坐标系，此时抛物线顶点为(0,0)，可设最简顶点式$y=ax^2$，结合已知水面宽20m、拱顶离水面5m的条件，得到抛物线上点的坐标代入即可求出参数$a$，得到解析式。
2. 确定悬挂范围：先结合最高水位高度、灯笼底部离水面的距离要求、灯笼自身长度，计算出悬挂点纵坐标的最小值；再将该纵坐标代入抛物线解析式，求出对应的横坐标边界，即可得到横坐标的取值范围。
3. 拟定悬挂方案：结合横坐标范围、1.6m的水平间距、轴对称分布的要求，分“顶点处悬挂灯笼”和“顶点处不悬挂灯笼”两种情况讨论，分别计算单侧可悬挂的数量，即可得到总数量和最左侧灯笼的横坐标。
【解析】
任务1：求抛物线函数表达式
以拱顶为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上建立直角坐标系，此时抛物线顶点为$(0,0)$，因此设抛物线解析式为$y=ax^2$。
已知水面宽20m，拱顶离水面5m，因此水面右侧端点B的坐标为$(10,-5)$，将其代入解析式得：
$10^2 · a = -5$，即$100a=-5$，解得$a=-\frac{1}{20}$。
因此抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{20}x^2}$。
任务2：确定悬挂点的坐标范围
由题意可知：原水面纵坐标为$-5$，水位上涨1.8m后最高水位纵坐标为$-5+1.8=-3.2$；要求灯笼底部距离最高水面不小于1m，因此灯笼底部纵坐标最低为$-3.2+1=-2.2$；灯笼长40cm即0.4m，悬挂点为灯笼顶端，因此悬挂点纵坐标的最小值为$-2.2+0.4=-1.8$，即悬挂点纵坐标满足$y≥-1.8$。
将$y=-1.8$代入抛物线解析式得：$-\frac{1}{20}x^2=-1.8$，解得$x=\pm6$，因此悬挂点横坐标的取值范围为$\boldsymbol{-6≤ x≤6}$。
任务3：拟定悬挂方案
方案一：顶点处悬挂灯笼（对称轴上挂1盏）
已知相邻灯笼水平间距为1.6m，且需轴对称分布：
若顶点单侧悬挂4盏灯笼，最外侧灯笼横坐标为$1.6×4=6.4＞6$，超出范围；若单侧悬挂3盏，最外侧横坐标为$1.6×3=4.8＜6$，符合要求。
因此单侧最多可挂3盏，加上顶点处的1盏，总数量为$3×2+1=7$盏。
最左侧灯笼的横坐标为$-1.6×3=-4.8$。
方案二：顶点处不悬挂灯笼
此时对称轴两侧第一盏灯笼距离对称轴的距离为$1.6÷2=0.8m$：
若单侧悬挂5盏灯笼，最外侧横坐标为$0.8+1.6×(5-1)=7.2＞6$，超出范围；若单侧悬挂4盏，最外侧横坐标为$0.8+1.6×(4-1)=5.6＜6$，符合要求。
因此单侧最多可挂4盏，总数量为$4×2=8$盏。
最左侧灯笼的横坐标为$-0.8-1.6×3=-5.6$。
【答案】
任务1
以拱顶为原点建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{20}x^2}$
任务2
悬挂点纵坐标的最小值为$\boldsymbol{-1.8m}$，横坐标的取值范围是$\boldsymbol{-6≤ x≤6}$
任务3
方案一：共挂7盏灯笼，最左边一盏的横坐标为$\boldsymbol{-4.8}$
方案二：共挂8盏灯笼，最左边一盏的横坐标为$\boldsymbol{-5.6}$
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数实际应用；轴对称性质
【点评】
本题以拱桥挂灯笼的生活场景为载体，将二次函数知识和实际需求结合，需要学生先通过建立合适的坐标系求解函数解析式，再结合题目给出的安全、间距、对称等条件逐步推导，很好地考查了将实际问题转化为数学问题的建模能力和分析计算能力。
【难度系数】
0.6
1. 求解抛物线解析式：选择拱顶为原点建立平面直角坐标系，此时抛物线顶点为(0,0)，可设最简顶点式$y=ax^2$，结合已知水面宽20m、拱顶离水面5m的条件，得到抛物线上点的坐标代入即可求出参数$a$，得到解析式。
2. 确定悬挂范围：先结合最高水位高度、灯笼底部离水面的距离要求、灯笼自身长度，计算出悬挂点纵坐标的最小值；再将该纵坐标代入抛物线解析式，求出对应的横坐标边界，即可得到横坐标的取值范围。
3. 拟定悬挂方案：结合横坐标范围、1.6m的水平间距、轴对称分布的要求，分“顶点处悬挂灯笼”和“顶点处不悬挂灯笼”两种情况讨论，分别计算单侧可悬挂的数量，即可得到总数量和最左侧灯笼的横坐标。
【解析】
任务1：求抛物线函数表达式
以拱顶为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上建立直角坐标系，此时抛物线顶点为$(0,0)$，因此设抛物线解析式为$y=ax^2$。
已知水面宽20m，拱顶离水面5m，因此水面右侧端点B的坐标为$(10,-5)$，将其代入解析式得：
$10^2 · a = -5$，即$100a=-5$，解得$a=-\frac{1}{20}$。
因此抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{20}x^2}$。
任务2：确定悬挂点的坐标范围
由题意可知：原水面纵坐标为$-5$，水位上涨1.8m后最高水位纵坐标为$-5+1.8=-3.2$；要求灯笼底部距离最高水面不小于1m，因此灯笼底部纵坐标最低为$-3.2+1=-2.2$；灯笼长40cm即0.4m，悬挂点为灯笼顶端，因此悬挂点纵坐标的最小值为$-2.2+0.4=-1.8$，即悬挂点纵坐标满足$y≥-1.8$。
将$y=-1.8$代入抛物线解析式得：$-\frac{1}{20}x^2=-1.8$，解得$x=\pm6$，因此悬挂点横坐标的取值范围为$\boldsymbol{-6≤ x≤6}$。
任务3：拟定悬挂方案
方案一：顶点处悬挂灯笼（对称轴上挂1盏）
已知相邻灯笼水平间距为1.6m，且需轴对称分布：
若顶点单侧悬挂4盏灯笼，最外侧灯笼横坐标为$1.6×4=6.4＞6$，超出范围；若单侧悬挂3盏，最外侧横坐标为$1.6×3=4.8＜6$，符合要求。
因此单侧最多可挂3盏，加上顶点处的1盏，总数量为$3×2+1=7$盏。
最左侧灯笼的横坐标为$-1.6×3=-4.8$。
方案二：顶点处不悬挂灯笼
此时对称轴两侧第一盏灯笼距离对称轴的距离为$1.6÷2=0.8m$：
若单侧悬挂5盏灯笼，最外侧横坐标为$0.8+1.6×(5-1)=7.2＞6$，超出范围；若单侧悬挂4盏，最外侧横坐标为$0.8+1.6×(4-1)=5.6＜6$，符合要求。
因此单侧最多可挂4盏，总数量为$4×2=8$盏。
最左侧灯笼的横坐标为$-0.8-1.6×3=-5.6$。
【答案】
任务1
以拱顶为原点建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{20}x^2}$
任务2
悬挂点纵坐标的最小值为$\boldsymbol{-1.8m}$，横坐标的取值范围是$\boldsymbol{-6≤ x≤6}$
任务3
方案一：共挂7盏灯笼，最左边一盏的横坐标为$\boldsymbol{-4.8}$
方案二：共挂8盏灯笼，最左边一盏的横坐标为$\boldsymbol{-5.6}$
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数实际应用；轴对称性质
【点评】
本题以拱桥挂灯笼的生活场景为载体，将二次函数知识和实际需求结合，需要学生先通过建立合适的坐标系求解函数解析式，再结合题目给出的安全、间距、对称等条件逐步推导，很好地考查了将实际问题转化为数学问题的建模能力和分析计算能力。
【难度系数】
0.6
