1. 学科特色 分类讨论思想「★★☆」如图,已知点A是反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象与一次函数$y=2x-1$的图象在第一象限的交点,点P是x轴上一点,当△OAP为等腰三角形时,点P的坐标为

答案：$(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$或$(2,0)$或$(1,0)$
解析：联立,得$\begin{cases} y=\dfrac{1}{x},\\ y=2x-1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x_1=-\dfrac{1}{2},\\ y_1=-2, \end{cases}\begin{cases} x_2=1,\\ y_2=1, \end{cases}$
∵ 点A在第一象限,
∴ 点A的坐标为$(1,1)$,$\therefore OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,$OA$与$x$轴所夹锐角为$45°$,
∵ $△ OAP$为等腰三角形,
∴ 分情况讨论:
①当$OA$为腰时,由$OP=OA=\sqrt{2}$可得,点$P$的坐标为$(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$,由$AP=OA=\sqrt{2}$可得,点$P$的坐标为$(2,0)$.②当$OA$为底边时,由$OP=AP$可得,点$P$的坐标为$(1,0)$.综上,点$P$的坐标为$(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$或$(2,0)$或$(1,0)$.

2. 学科特色 分类讨论思想 「2025四川遂宁中考，★☆」如图，一次函数$y=mx+n$（$m$，$n$为常数，$m≠0$）的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$）的图象交于$A(-2,-2)$，$B(a,1)$两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
(2)结合图形,请直接写出不等式$\dfrac{k}{x}-x＜0$的解集.
(3)点$P(0,b)$是$y$轴上的一点,若$△ ABP$是以$AB$为直角边的直角三角形,求$b$的值.

(1)
∵ $A(-2,-2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象上,
∴ $k=(-2)×(-2)=4$,
∴ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{4}{x}$.
∵ $B(a,1)$在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象上,
∴ $1=\dfrac{4}{a}$,
∴ $a=4$,
∴ $B(4,1)$,
把$(-2,-2)$,$(4,1)$代入$y=mx+n$,得$\begin{cases} -2m+n=-2,\\ 4m+n=1, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\dfrac{1}{2},\\ n=-1, \end{cases}$
∴ 一次函数的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x-1$.
(2)$-2＜x＜0$或$x＞2$.
详解:如图,设直线$y=x$与反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象相交于点$C,D$,

解方程组$\begin{cases} y=x,\\ y=\dfrac{4}{x}, \end{cases}$得$\begin{cases} x=2,\\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-2,\\ y=-2, \end{cases}$
∴ $C(2,2)$,$D(-2,-2)$,
由图象可知,当$-2＜x＜0$或$x＞2$时,双曲线$y=\dfrac{4}{x}$位于直线$y=x$下方,
∴ 不等式$\dfrac{k}{x}-x＜0$的解集为$-2＜x＜0$或$x＞2$.
(3)
∵ $A(-2,-2)$,$B(4,1)$,$P(0,b)$,
∴ $AB^2=(4+2)^2+(1+2)^2=45$,$AP^2=(-2-0)^2+(-2-b)^2=b^2+4b+8$,$BP^2=(4-0)^2+(1-b)^2=b^2-2b+17$,
已知$△ ABP$是以$AB$为直角边的直角三角形,分情况讨论:
当$∠ BAP=90°$时,$AB^2+AP^2=BP^2$,
∴ $45+b^2+4b+8=b^2-2b+17$,解得$b=-6$.
当$∠ ABP=90°$时,$AB^2+BP^2=AP^2$,
∴ $45+b^2-2b+17=b^2+4b+8$,解得$b=9$.
综上,$b$的值为$-6$或$9$.