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3.「2025 四川成都天府新区三模，★★☆」如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=-\frac{1}{2}x+2$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于点$A,B$,与$y$轴交于点$C$,点$A$的横坐标为$-2$.
(1)求$k$的值.
(2)设点$N$在第二象限的反比例函数图象上,点$P$在$x$轴上,已知点$M(0,5)$,连接$AM,NM,AN,AP,MP$,若$△ NMA ≌ △ PMA$,求点$N$的坐标.
(1)求$k$的值.
(2)设点$N$在第二象限的反比例函数图象上,点$P$在$x$轴上,已知点$M(0,5)$,连接$AM,NM,AN,AP,MP$,若$△ NMA ≌ △ PMA$,求点$N$的坐标.
答案
(1)
∵ 点$A$的横坐标为$-2$,且点$A$在直线$y=-\dfrac{1}{2}x+2$上,
∴ 点$A$的纵坐标为$-\dfrac{1}{2}×(-2)+2=3$,
∴ $A(-2,3)$,
∵ 点$A$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,
∴ $k=-2×3=-6$.
(2)如图,延长$MA$交$x$轴于点$Q$,连接$QN$,过点$A$作$AE// x$轴,与$y$轴交于点$E$,
∵ $A(-2,3)$,$M(0,5)$,$AE// x$轴,
∴ $AE=ME=2$,
∴ $∠ MAE=∠ AME=45°$.
∵ $AE// x$轴,
∴ $∠ MQO=∠ MAE=45°$,
∵ $△ NMA≌△ PMA$,
∴ $AN=AP$,$∠ MAN=∠ MAP$.
∵ $∠ MAN+∠ QAN=∠ MAP+∠ QAP=180°$,
∴ $∠ QAN=∠ QAP$.
又
∵ $AQ=AQ$,
∴ $△ AQN≌△ AQP(\mathrm{SAS})$,
∴ $QN=QP$,$∠ AQN=∠ AQP=45°$,
∴ $∠ NQP=∠ AQN+∠ AQP=90°$,
∴ $QN⊥ x$轴.
∵ $∠ MQO=∠ QMO=45°$,
∴ $OQ=OM=5$,
∴ $Q(-5,0)$,
∴ $N(-5,\dfrac{6}{5})$.
4.「2026河北石家庄栾城期中，★★☆」如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的直角边OB在y轴上，AB⊥y轴，AB=2，OA=$\sqrt{13}$，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＜0,x＜0$）的图象经过线段AB的中点C，与AO交于点D.
(1)求点A的坐标.
(2)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的解析式及点D的坐标.
(3)在坐标平面上是否存在一点E，使得以D,O,B,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求点A的坐标.
(2)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的解析式及点D的坐标.
(3)在坐标平面上是否存在一点E，使得以D,O,B,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
(1)
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,$AO=\sqrt{13}$,$AB=2$,
∴ $BO=\sqrt{AO^2-AB^2}=\sqrt{(\sqrt{13}\ )^2-2^2}=3$,
∴ 点$A$的坐标为$(-2,3)$.
(2)
∵ $C$是$AB$的中点,$AB⊥ y$轴,
∴ 点$C$的坐标为$(-1,3)$,
∵ 点$C$在反比例函数的图象上,
∴ $3=\dfrac{k}{-1}$,解得$k=-3$,
∴ 反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{3}{x}$,
设直线$OA$的解析式$y=ax(a≠0)$,
将$(-2,3)$代入,得$-2a=3$,解得$a=-\dfrac{3}{2}$,
∴ 直线$OA$的解析式为$y=-\dfrac{3}{2}x$,
联立,得$\begin{cases} y=-\dfrac{3}{x},\\ y=-\dfrac{3}{2}x, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=\sqrt{2},\\ y=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \end{cases}$或$\begin{cases} x=-\sqrt{2},\\ y=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}. \end{cases}$
∵ 点$D$在第二象限内,
∴ 点$D$的坐标为$(-\sqrt{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$.
(3)存在,点$E$的坐标为$(-\sqrt{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-3)$或$(\sqrt{2},3-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$或$(-\sqrt{2},3+\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$.
详解:设点$E$的坐标为$(m,n)$,由(1)知$OB=3$,
∴ $B(0,3)$,
①若$OD,BE$为对角线,则$-\sqrt{2}+0=0+m$,$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+0=3+n$,解得$m=-\sqrt{2}$,$n=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-3$,$\therefore E(-\sqrt{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-3)$.
②若$OB,DE$为对角线,则$0=-\sqrt{2}+m$,$3=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+n$,解得$m=\sqrt{2}$,$n=3-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$,$\therefore E(\sqrt{2},3-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$.
③若$OE,BD$为对角线,则$m = -\sqrt{2}$,$n = 3 + \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore E(-\sqrt{2},3+\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$.
综上所述,点$E$的坐标为$(-\sqrt{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-3)$或$(\sqrt{2},3-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$或$(-\sqrt{2},3+\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,$AO=\sqrt{13}$,$AB=2$,
∴ $BO=\sqrt{AO^2-AB^2}=\sqrt{(\sqrt{13}\ )^2-2^2}=3$,
∴ 点$A$的坐标为$(-2,3)$.
(2)
∵ $C$是$AB$的中点,$AB⊥ y$轴,
∴ 点$C$的坐标为$(-1,3)$,
∵ 点$C$在反比例函数的图象上,
∴ $3=\dfrac{k}{-1}$,解得$k=-3$,
∴ 反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{3}{x}$,
设直线$OA$的解析式$y=ax(a≠0)$,
将$(-2,3)$代入,得$-2a=3$,解得$a=-\dfrac{3}{2}$,
∴ 直线$OA$的解析式为$y=-\dfrac{3}{2}x$,
联立,得$\begin{cases} y=-\dfrac{3}{x},\\ y=-\dfrac{3}{2}x, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=\sqrt{2},\\ y=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \end{cases}$或$\begin{cases} x=-\sqrt{2},\\ y=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}. \end{cases}$
∵ 点$D$在第二象限内,
∴ 点$D$的坐标为$(-\sqrt{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$.
(3)存在,点$E$的坐标为$(-\sqrt{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-3)$或$(\sqrt{2},3-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$或$(-\sqrt{2},3+\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$.
详解:设点$E$的坐标为$(m,n)$,由(1)知$OB=3$,
∴ $B(0,3)$,
①若$OD,BE$为对角线,则$-\sqrt{2}+0=0+m$,$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+0=3+n$,解得$m=-\sqrt{2}$,$n=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-3$,$\therefore E(-\sqrt{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-3)$.
②若$OB,DE$为对角线,则$0=-\sqrt{2}+m$,$3=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+n$,解得$m=\sqrt{2}$,$n=3-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$,$\therefore E(\sqrt{2},3-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$.
③若$OE,BD$为对角线,则$m = -\sqrt{2}$,$n = 3 + \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore E(-\sqrt{2},3+\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$.
综上所述,点$E$的坐标为$(-\sqrt{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-3)$或$(\sqrt{2},3-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$或$(-\sqrt{2},3+\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$.
