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11.如图,一副三角尺(直角顶点重合)摆放在桌面上.若$∠ AOD = 160°$,则$∠ BOC$等于（
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
（第11题图）
（变式题图）
A
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
（第11题图）
（变式题图）
答案
11.A
解析
【分析】
首先明确三角尺的两个直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°。已知∠AOD的度数，要求∠BOC，可先通过∠AOD与∠AOB的差求出∠BOD的度数，再用∠COD减去∠BOD即可得到∠BOC的度数；也可直接利用两个直角的和等于∠AOD与∠BOC的和的关系计算。
【解析】
解：由三角尺的特征可知，∠AOB=∠COD=90°。
方法1：先计算∠BOD的度数：
∠BOD = ∠AOD - ∠AOB = 160° - 90° = 70°
再计算∠BOC的度数：
∠BOC = ∠COD - ∠BOD = 90° - 70° = 20°
方法2：观察角的组成可得：∠AOB + ∠COD = ∠AOD + ∠BOC
代入数值得：90° + 90° = 160° + ∠BOC
解得∠BOC = 180° - 160° = 20°
【答案】
A
【知识点】
角的和差运算，直角的特征
【点评】
本题是角的运算的常规题型，解题的关键是准确识别图形中各角之间的数量关系，结合直角的固定度数进行计算，熟练掌握角的和差关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
首先明确三角尺的两个直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°。已知∠AOD的度数，要求∠BOC，可先通过∠AOD与∠AOB的差求出∠BOD的度数，再用∠COD减去∠BOD即可得到∠BOC的度数；也可直接利用两个直角的和等于∠AOD与∠BOC的和的关系计算。
【解析】
解：由三角尺的特征可知，∠AOB=∠COD=90°。
方法1：先计算∠BOD的度数：
∠BOD = ∠AOD - ∠AOB = 160° - 90° = 70°
再计算∠BOC的度数：
∠BOC = ∠COD - ∠BOD = 90° - 70° = 20°
方法2：观察角的组成可得：∠AOB + ∠COD = ∠AOD + ∠BOC
代入数值得：90° + 90° = 160° + ∠BOC
解得∠BOC = 180° - 160° = 20°
【答案】
A
【知识点】
角的和差运算，直角的特征
【点评】
本题是角的运算的常规题型，解题的关键是准确识别图形中各角之间的数量关系，结合直角的固定度数进行计算，熟练掌握角的和差关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
【变式】如图，$∠ AOB=∠ COD=90°$，$OE$平分$∠ BOD$.若$∠ AOD:∠ BOC=5:1$，则$∠ COE$的度数为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
【变式】A
解析
【分析】
首先，我们可以利用周角为360°的性质，结合已知的两个直角，先求出∠AOD与∠BOC的度数和。再根据二者的比例关系，分别算出两个角的度数。接着求出∠BOD的度数，利用角平分线的性质得到∠BOE的度数，最后通过角的和差关系计算出∠COE的度数即可。
【解析】
解：
∵ 周角为$360°$，$∠ AOB=∠ COD=90°$
∴ $∠ AOD + ∠ BOC = 360° - ∠ AOB - ∠ COD = 360° - 90° - 90° = 180°$
∵ $∠ AOD:∠ BOC=5:1$，设$∠ BOC=x$，则$∠ AOD=5x$
∴ $x+5x=180°$，解得$x=30°$
即$∠ BOC=30°$，$∠ AOD=150°$
∴ $∠ BOD=360° - ∠ AOD - ∠ AOB=360° -150° -90°=120°$
∵ $OE$平分$∠ BOD$
∴ $∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×120°=60°$
∴ $∠ COE=∠ BOE - ∠ BOC=60° - 30°=30°$
【答案】
A
【知识点】
角的和差计算；角平分线的定义；比例的应用
【点评】
本题解题的核心是理清各个角之间的位置与数量关系，结合周角性质、比例关系和角平分线的定义逐步推导即可得到结果，需要注意不要混淆角的位置关系。
【难度系数】
0.7
首先，我们可以利用周角为360°的性质，结合已知的两个直角，先求出∠AOD与∠BOC的度数和。再根据二者的比例关系，分别算出两个角的度数。接着求出∠BOD的度数，利用角平分线的性质得到∠BOE的度数，最后通过角的和差关系计算出∠COE的度数即可。
【解析】
解：
∵ 周角为$360°$，$∠ AOB=∠ COD=90°$
∴ $∠ AOD + ∠ BOC = 360° - ∠ AOB - ∠ COD = 360° - 90° - 90° = 180°$
∵ $∠ AOD:∠ BOC=5:1$，设$∠ BOC=x$，则$∠ AOD=5x$
∴ $x+5x=180°$，解得$x=30°$
即$∠ BOC=30°$，$∠ AOD=150°$
∴ $∠ BOD=360° - ∠ AOD - ∠ AOB=360° -150° -90°=120°$
∵ $OE$平分$∠ BOD$
∴ $∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×120°=60°$
∴ $∠ COE=∠ BOE - ∠ BOC=60° - 30°=30°$
【答案】
A
【知识点】
角的和差计算；角平分线的定义；比例的应用
【点评】
本题解题的核心是理清各个角之间的位置与数量关系，结合周角性质、比例关系和角平分线的定义逐步推导即可得到结果，需要注意不要混淆角的位置关系。
【难度系数】
0.7
12. 如图，已知OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，∠EOF=65°，则∠AOC的度数为
$130°$
。答案
12.$130°$
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角分成两个相等的小角，原角的度数是小角的2倍。观察图形可知，∠AOC由∠AOB和∠BOC两部分组成，结合OE平分∠AOB、OF平分∠BOC的条件，可先把∠AOB、∠BOC分别用对应小角的2倍表示，再观察到已知的∠EOF正好是两个小角的和，整体代入即可求出∠AOC的度数。
【解析】
∵ OE平分∠AOB（已知），
∴ ∠AOB = 2∠BOE（角平分线的定义）。
∵ OF平分∠BOC（已知），
∴ ∠BOC = 2∠BOF（角平分线的定义）。
又
∵ ∠EOF = ∠BOE + ∠BOF = 65°（角的和的定义），
∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 2∠BOE + 2∠BOF = 2(∠BOE + ∠BOF) = 2×65° = 130°。
【答案】
$130°$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角的运算基础题，解题核心是利用整体思想，将待求角转化为已知角的2倍计算，掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角分成两个相等的小角，原角的度数是小角的2倍。观察图形可知，∠AOC由∠AOB和∠BOC两部分组成，结合OE平分∠AOB、OF平分∠BOC的条件，可先把∠AOB、∠BOC分别用对应小角的2倍表示，再观察到已知的∠EOF正好是两个小角的和，整体代入即可求出∠AOC的度数。
【解析】
∵ OE平分∠AOB（已知），
∴ ∠AOB = 2∠BOE（角平分线的定义）。
∵ OF平分∠BOC（已知），
∴ ∠BOC = 2∠BOF（角平分线的定义）。
又
∵ ∠EOF = ∠BOE + ∠BOF = 65°（角的和的定义），
∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 2∠BOE + 2∠BOF = 2(∠BOE + ∠BOF) = 2×65° = 130°。
【答案】
$130°$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角的运算基础题，解题核心是利用整体思想，将待求角转化为已知角的2倍计算，掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13.如图，点A,O,B在同一条直线上，OC平分$∠ AOB$，$∠ COD=34°$.
(1)求$∠ BOD$的度数；
(2)若OE平分$∠ BOD$，求$∠ AOE$的度数.
(1)求$∠ BOD$的度数；
(2)若OE平分$∠ BOD$，求$∠ AOE$的度数.
答案
13.解:(1)因为点 A,O,B 在同一条直线上,所以$∠AOB=180°$.因为 OC 平分$∠AOB$,所以$∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=90°$.又因为$∠COD=34°$,所以$∠BOD=∠BOC-∠COD=90°-34°=56°$;(2)因为$∠BOD=56°$,OE 平分$∠BOD$,所以$∠BOE=\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}×56°=28°$,所以$∠AOE=180°-∠BOE=180°-28°=152°$.
解析
【分析】
对于(1)，首先根据点A、O、B共线可确定∠AOB是180°的平角，再结合OC平分∠AOB的条件，先求出∠BOC的度数，最后用∠BOC减去已知的∠COD，就能得到∠BOD的度数。对于(2)，先利用OE平分∠BOD的条件求出∠BOE的度数，再根据∠AOE和∠BOE组成平角，用180°减去∠BOE即可求出∠AOE的度数。
【解析】
(1)
∵ 点A，O，B在同一条直线上，
∴ $∠ AOB=180°$，
∵ OC平分$∠ AOB$，
∴ $∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$，
又
∵ $∠ COD=34°$，
∴ $∠ BOD=∠ BOC-∠ COD=90°-34°=56°$。
(2)
∵ OE平分$∠ BOD$，$∠ BOD=56°$，
∴ $∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×56°=28°$，
∵ $∠ AOE+∠ BOE=∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOE=180°-∠ BOE=180°-28°=152°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{56°}$；(2) $\boldsymbol{152°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角的运算基础题型，解题核心是熟练掌握角平分线的性质，结合平角的特征通过角的和差关系计算对应角度，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
对于(1)，首先根据点A、O、B共线可确定∠AOB是180°的平角，再结合OC平分∠AOB的条件，先求出∠BOC的度数，最后用∠BOC减去已知的∠COD，就能得到∠BOD的度数。对于(2)，先利用OE平分∠BOD的条件求出∠BOE的度数，再根据∠AOE和∠BOE组成平角，用180°减去∠BOE即可求出∠AOE的度数。
【解析】
(1)
∵ 点A，O，B在同一条直线上，
∴ $∠ AOB=180°$，
∵ OC平分$∠ AOB$，
∴ $∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$，
又
∵ $∠ COD=34°$，
∴ $∠ BOD=∠ BOC-∠ COD=90°-34°=56°$。
(2)
∵ OE平分$∠ BOD$，$∠ BOD=56°$，
∴ $∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×56°=28°$，
∵ $∠ AOE+∠ BOE=∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOE=180°-∠ BOE=180°-28°=152°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{56°}$；(2) $\boldsymbol{152°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角的运算基础题型，解题核心是熟练掌握角平分线的性质，结合平角的特征通过角的和差关系计算对应角度，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
14.已知点O是直线AB上的一点，∠COE=90°,OF是∠AOE的平分线.
(1)当点C,E,F在直线AB的同侧(如图①).
①若∠COF=25°,求∠BOE的度数；
②若∠COF=α°,则∠BOE的度数为
(2)当点C与点E,F分别在直线AB的两侧(如图②)时,(1)中第②问的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由.
(1)当点C,E,F在直线AB的同侧(如图①).
①若∠COF=25°,求∠BOE的度数；
②若∠COF=α°,则∠BOE的度数为
$2α°$
；(2)当点C与点E,F分别在直线AB的两侧(如图②)时,(1)中第②问的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由.
答案
14.解:(1)①因为$∠COE=90°,∠COF=25°$,所以$∠EOF=∠COE-∠COF=90°-25°=65°$.因为 OF 是$∠AOE$的平分线,所以$∠AOE=2∠EOF=2×65°=130°$.所以$∠BOE=180°-∠AOE=180°-130°=50°$;②$2α°$ (2)(1)中第②问的结论仍然成立.理由如下:因为$∠COE=90°$,所以$∠EOF=∠COE-∠COF=90°-∠COF$.因为 OF 是$∠AOE$的平分线,所以$∠AOE=2∠EOF=2(90°-∠COF)$.所以$∠BOE=180°-∠AOE=180°-2(90°-∠COF)=2∠COF$.
解析
【分析】
解题思路可分步骤梳理：
1. 解决(1)①时，先利用∠COE是直角，结合已知的∠COF，用减法求出∠EOF的度数；再根据OF是∠AOE的角平分线，得到∠AOE=2∠EOF，求出∠AOE；最后利用AB是直线，∠AOB是180°平角，用180°减去∠AOE即可得到∠BOE的度数。
2. 解决(1)②时，把①中的25°替换成α°，沿用①的推导逻辑，就能直接得到∠BOE和α的数量关系。
3. 解决(2)时，虽然点的位置变了，但∠COE=90°、OF平分∠AOE、∠AOB=180°这几个核心条件不变，沿用前面的推导步骤，化简后看∠BOE是否仍等于2∠COF，即可判断结论是否成立。
【解析】
(1)① 已知$∠ COE=90°$，$∠ COF=25°$，
则$∠ EOF = ∠ COE - ∠ COF = 90° - 25° = 65°$，
∵OF是$∠ AOE$的平分线，
∴$∠ AOE = 2∠ EOF = 2×65° = 130°$，
又
∵点O在直线AB上，$∠ AOB=180°$，
∴$∠ BOE = 180° - ∠ AOE = 180° - 130° = 50°$。
② 若$∠ COF=α°$，同理可得：
$∠ EOF=90°-α°$，$∠ AOE=2(90°-α°)=180°-2α°$，
∴$∠ BOE=180°-(180°-2α°)=2α°$。
(2) (1)中第②问的结论仍然成立，理由如下：
∵$∠ COE=90°$，
∴$∠ EOF = ∠ COE - ∠ COF = 90° - ∠ COF$，
∵OF是$∠ AOE$的平分线，
∴$∠ AOE = 2∠ EOF = 2(90° - ∠ COF)$，
又
∵$∠ AOB=180°$，
∴$∠ BOE = 180° - ∠ AOE = 180° - 2(90° - ∠ COF) = 2∠ COF$，
即$∠ BOE=2α°$，结论成立。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{50°}$；②$\boldsymbol{2α°}$；
(2)结论仍然成立，$∠ BOE=2α°$。
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角度和差计算
【点评】
本题属于角的计算的常规题型，核心是抓住不变的已知条件（直角、角平分线、平角），理清各角之间的数量关系，通过逐步推导即可得到结论，通过本题可掌握“以不变应万变”的几何解题思路，即图形位置变化时，先判断核心条件是否改变，再沿用逻辑推导即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可分步骤梳理：
1. 解决(1)①时，先利用∠COE是直角，结合已知的∠COF，用减法求出∠EOF的度数；再根据OF是∠AOE的角平分线，得到∠AOE=2∠EOF，求出∠AOE；最后利用AB是直线，∠AOB是180°平角，用180°减去∠AOE即可得到∠BOE的度数。
2. 解决(1)②时，把①中的25°替换成α°，沿用①的推导逻辑，就能直接得到∠BOE和α的数量关系。
3. 解决(2)时，虽然点的位置变了，但∠COE=90°、OF平分∠AOE、∠AOB=180°这几个核心条件不变，沿用前面的推导步骤，化简后看∠BOE是否仍等于2∠COF，即可判断结论是否成立。
【解析】
(1)① 已知$∠ COE=90°$，$∠ COF=25°$，
则$∠ EOF = ∠ COE - ∠ COF = 90° - 25° = 65°$，
∵OF是$∠ AOE$的平分线，
∴$∠ AOE = 2∠ EOF = 2×65° = 130°$，
又
∵点O在直线AB上，$∠ AOB=180°$，
∴$∠ BOE = 180° - ∠ AOE = 180° - 130° = 50°$。
② 若$∠ COF=α°$，同理可得：
$∠ EOF=90°-α°$，$∠ AOE=2(90°-α°)=180°-2α°$，
∴$∠ BOE=180°-(180°-2α°)=2α°$。
(2) (1)中第②问的结论仍然成立，理由如下：
∵$∠ COE=90°$，
∴$∠ EOF = ∠ COE - ∠ COF = 90° - ∠ COF$，
∵OF是$∠ AOE$的平分线，
∴$∠ AOE = 2∠ EOF = 2(90° - ∠ COF)$，
又
∵$∠ AOB=180°$，
∴$∠ BOE = 180° - ∠ AOE = 180° - 2(90° - ∠ COF) = 2∠ COF$，
即$∠ BOE=2α°$，结论成立。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{50°}$；②$\boldsymbol{2α°}$；
(2)结论仍然成立，$∠ BOE=2α°$。
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角度和差计算
【点评】
本题属于角的计算的常规题型，核心是抓住不变的已知条件（直角、角平分线、平角），理清各角之间的数量关系，通过逐步推导即可得到结论，通过本题可掌握“以不变应万变”的几何解题思路，即图形位置变化时，先判断核心条件是否改变，再沿用逻辑推导即可。
【难度系数】
0.7
【拓展提问】如图，已知O是直线AB上一点，OC是一条射线，OD，OE分别为$∠ AOC$与$∠ BOC$的平分线，则$∠ DOE$的度数为
$90°$
答案
【拓展提问】$90°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先O在直线AB上，根据平角的定义可得∠AOB=180°，即∠AOC与∠BOC的和为180°；再结合OD、OE分别是两个角的平分线，利用角平分线的性质，可将∠DOE拆分为∠DOC和∠COE的和，把两个小角分别用对应的大角表示后，提取公因式即可将∠DOE转化为∠AOB的一半，代入计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵ O是直线AB上的点
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOC + ∠BOC = 180°
∵ OD平分∠AOC
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOC
∵ OE平分∠BOC
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC
∴ ∠DOE = ∠DOC + ∠COE
= $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOC
= $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC)
= $\frac{1}{2}$×180°
= 90°
【答案】
90°
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的典型基础题，解题过程中运用了整体思想，无需分别求出∠AOC和∠BOC的具体度数，直接将二者之和作为整体代入计算即可，能很好地考查学生对基础概念的掌握和简单的代数转化能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发，首先O在直线AB上，根据平角的定义可得∠AOB=180°，即∠AOC与∠BOC的和为180°；再结合OD、OE分别是两个角的平分线，利用角平分线的性质，可将∠DOE拆分为∠DOC和∠COE的和，把两个小角分别用对应的大角表示后，提取公因式即可将∠DOE转化为∠AOB的一半，代入计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵ O是直线AB上的点
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOC + ∠BOC = 180°
∵ OD平分∠AOC
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOC
∵ OE平分∠BOC
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC
∴ ∠DOE = ∠DOC + ∠COE
= $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOC
= $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC)
= $\frac{1}{2}$×180°
= 90°
【答案】
90°
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的典型基础题，解题过程中运用了整体思想，无需分别求出∠AOC和∠BOC的具体度数，直接将二者之和作为整体代入计算即可，能很好地考查学生对基础概念的掌握和简单的代数转化能力。
【难度系数】
0.8
