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2. 在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出一次函数$y=2x+2$，$y=2x-1$，$y=2x-2$的图象，说说你的发现。
(第2题)
(第2题)答案
解：
利用两点法绘制三个一次函数的图象：
1. 绘制$y=2x+2$的图象：
令$x=0$，得$y=2$；令$y=0$，得$x=-1$，过点$(-1,0)$、$(0,2)$画直线，即为$y=2x+2$的图象。
2. 绘制$y=2x-1$的图象：
令$x=0$，得$y=-1$；令$y=0$，得$x=\frac{1}{2}$，过点$(\frac{1}{2},0)$、$(0,-1)$画直线，即为$y=2x-1$的图象。
3. 绘制$y=2x-2$的图象：
令$x=0$，得$y=-2$；令$y=0$，得$x=1$，过点$(1,0)$、$(0,-2)$画直线，即为$y=2x-2$的图象。
发现：
三个一次函数的一次项系数都为2，图象是三条互相平行的直线；直线$y=2x-1$可由直线$y=2x+2$向下平移3个单位长度得到，直线$y=2x-2$可由直线$y=2x+2$向下平移4个单位长度得到。
结论：当一次函数的一次项系数$k$相同、常数项$b$不同时，对应的函数图象是互相平行的直线。
利用两点法绘制三个一次函数的图象：
1. 绘制$y=2x+2$的图象：
令$x=0$，得$y=2$；令$y=0$，得$x=-1$，过点$(-1,0)$、$(0,2)$画直线，即为$y=2x+2$的图象。
2. 绘制$y=2x-1$的图象：
令$x=0$，得$y=-1$；令$y=0$，得$x=\frac{1}{2}$，过点$(\frac{1}{2},0)$、$(0,-1)$画直线，即为$y=2x-1$的图象。
3. 绘制$y=2x-2$的图象：
令$x=0$，得$y=-2$；令$y=0$，得$x=1$，过点$(1,0)$、$(0,-2)$画直线，即为$y=2x-2$的图象。
发现：
三个一次函数的一次项系数都为2，图象是三条互相平行的直线；直线$y=2x-1$可由直线$y=2x+2$向下平移3个单位长度得到，直线$y=2x-2$可由直线$y=2x+2$向下平移4个单位长度得到。
结论：当一次函数的一次项系数$k$相同、常数项$b$不同时，对应的函数图象是互相平行的直线。
解析
【分析】
一次函数的图象是直线，因此可采用两点法绘制图象，通常选取直线与x轴（y=0）、y轴（x=0）的交点，计算更简便。先分别求出三个一次函数与两坐标轴的交点坐标，描点连线画出图象后，对比三个函数的一次项系数k、常数项b的异同，观察图象的位置关系，即可总结出对应的规律。
【解析】
我们使用两点法绘制三个一次函数的图象：
1. 绘制$y=2x+2$的图象：
令$x=0$，代入得$y=2$，得到点$(0,2)$；令$y=0$，代入得$0=2x+2$，解得$x=-1$，得到点$(-1,0)$。过点$(-1,0)$和$(0,2)$画直线，即为$y=2x+2$的图象。
2. 绘制$y=2x-1$的图象：
令$x=0$，代入得$y=-1$，得到点$(0,-1)$；令$y=0$，代入得$0=2x-1$，解得$x=\frac{1}{2}$，得到点$(\frac{1}{2},0)$。过点$(\frac{1}{2},0)$和$(0,-1)$画直线，即为$y=2x-1$的图象。
3. 绘制$y=2x-2$的图象：
令$x=0$，代入得$y=-2$，得到点$(0,-2)$；令$y=0$，代入得$0=2x-2$，解得$x=1$，得到点$(1,0)$。过点$(1,0)$和$(0,-2)$画直线，即为$y=2x-2$的图象。
观察图象可得：三个函数的一次项系数均为2，图象是三条互相平行的直线；直线$y=2x-1$可由$y=2x+2$向下平移3个单位长度得到，直线$y=2x-2$可由$y=2x+2$向下平移4个单位长度得到。
综上可得出结论：当一次函数的一次项系数$k$相同、常数项$b$不同时，对应的函数图象是互相平行的直线。
【答案】
三个一次函数的图象是互相平行的直线；当一次函数的一次项系数$k$相同、常数项$b$不同时，对应的函数图象互相平行，不同图象可通过上下平移得到。
【知识点】
一次函数图象画法；一次函数的性质；一次函数平移规律
【点评】
本题考查一次函数图象的绘制及性质探究，通过动手画图总结参数对一次函数图象的影响，帮助理解一次函数中k、b的意义，是对一次函数基础性质的巩固练习。
【难度系数】
0.8
一次函数的图象是直线，因此可采用两点法绘制图象，通常选取直线与x轴（y=0）、y轴（x=0）的交点，计算更简便。先分别求出三个一次函数与两坐标轴的交点坐标，描点连线画出图象后，对比三个函数的一次项系数k、常数项b的异同，观察图象的位置关系，即可总结出对应的规律。
【解析】
我们使用两点法绘制三个一次函数的图象：
1. 绘制$y=2x+2$的图象：
令$x=0$，代入得$y=2$，得到点$(0,2)$；令$y=0$，代入得$0=2x+2$，解得$x=-1$，得到点$(-1,0)$。过点$(-1,0)$和$(0,2)$画直线，即为$y=2x+2$的图象。
2. 绘制$y=2x-1$的图象：
令$x=0$，代入得$y=-1$，得到点$(0,-1)$；令$y=0$，代入得$0=2x-1$，解得$x=\frac{1}{2}$，得到点$(\frac{1}{2},0)$。过点$(\frac{1}{2},0)$和$(0,-1)$画直线，即为$y=2x-1$的图象。
3. 绘制$y=2x-2$的图象：
令$x=0$，代入得$y=-2$，得到点$(0,-2)$；令$y=0$，代入得$0=2x-2$，解得$x=1$，得到点$(1,0)$。过点$(1,0)$和$(0,-2)$画直线，即为$y=2x-2$的图象。
观察图象可得：三个函数的一次项系数均为2，图象是三条互相平行的直线；直线$y=2x-1$可由$y=2x+2$向下平移3个单位长度得到，直线$y=2x-2$可由$y=2x+2$向下平移4个单位长度得到。
综上可得出结论：当一次函数的一次项系数$k$相同、常数项$b$不同时，对应的函数图象是互相平行的直线。
【答案】
三个一次函数的图象是互相平行的直线；当一次函数的一次项系数$k$相同、常数项$b$不同时，对应的函数图象互相平行，不同图象可通过上下平移得到。
【知识点】
一次函数图象画法；一次函数的性质；一次函数平移规律
【点评】
本题考查一次函数图象的绘制及性质探究，通过动手画图总结参数对一次函数图象的影响，帮助理解一次函数中k、b的意义，是对一次函数基础性质的巩固练习。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线$l$过$(3,1)$和$(-1,5)$两点，且分别与$x$轴，$y$轴交于$A$，$B$两点.
（1）求直线$l$对应的函数表达式；
（2）若点$C$在$x$轴上，且$△ BOC$的面积为$10$，求点$C$的坐标.
（1）求直线$l$对应的函数表达式；
（2）若点$C$在$x$轴上，且$△ BOC$的面积为$10$，求点$C$的坐标.
答案
(1) 直线l的函数表达式为y=-x+4
(2) C(5,0)或(-5,0)
(2) C(5,0)或(-5,0)
解析
【分析】
（1）求一次函数表达式可使用待定系数法，已知直线经过两个确定的点，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠ 0)$，再将两点坐标代入得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$和$b$的值就能得到函数表达式。
（2）先求直线与$y$轴交点$B$的坐标，得到线段$OB$的长度；$△ BOC$中，$OB$为高，$x$轴上的线段$OC$为底，结合已知的三角形面积列方程求出$OC$的长度，注意点$C$可在$x$轴正半轴也可在负半轴，因此有两个解。
【解析】
（1）设直线$l$对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠ 0)$，
将点$(3,1)$和$(-1,5)$代入表达式，可得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 1\\-k + b = 5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$4k=-4$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$-k + b = 5$，得$1+b=5$，解得$b=4$，
因此直线$l$的函数表达式为$y=-x+4$。
（2）对于$y=-x+4$，令$x=0$，得$y=4$，因此点$B$的坐标为$(0,4)$，即$OB=4$。
设点$C$的坐标为$(c,0)$，则$OC=|c|$，
由$△ BOC$的面积为10，得$\frac{1}{2}× OB × OC = 10$，
代入$OB=4$，得$\frac{1}{2}×4×|c|=10$，
化简得$2|c|=10$，解得$|c|=5$，
因此$c=5$或$c=-5$，即点$C$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+4}$
(2) $\boldsymbol{(5,0)}$或$\boldsymbol{(-5,0)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，第一问是待定系数法的常规考查，计算难度较低；第二问需要注意点在坐标轴上的位置有两种可能，要考虑绝对值的情况避免漏解，掌握一次函数基础性质和分类讨论思想即可正确求解。
【难度系数】
0.8
（1）求一次函数表达式可使用待定系数法，已知直线经过两个确定的点，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠ 0)$，再将两点坐标代入得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$和$b$的值就能得到函数表达式。
（2）先求直线与$y$轴交点$B$的坐标，得到线段$OB$的长度；$△ BOC$中，$OB$为高，$x$轴上的线段$OC$为底，结合已知的三角形面积列方程求出$OC$的长度，注意点$C$可在$x$轴正半轴也可在负半轴，因此有两个解。
【解析】
（1）设直线$l$对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠ 0)$，
将点$(3,1)$和$(-1,5)$代入表达式，可得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 1\\-k + b = 5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$4k=-4$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$-k + b = 5$，得$1+b=5$，解得$b=4$，
因此直线$l$的函数表达式为$y=-x+4$。
（2）对于$y=-x+4$，令$x=0$，得$y=4$，因此点$B$的坐标为$(0,4)$，即$OB=4$。
设点$C$的坐标为$(c,0)$，则$OC=|c|$，
由$△ BOC$的面积为10，得$\frac{1}{2}× OB × OC = 10$，
代入$OB=4$，得$\frac{1}{2}×4×|c|=10$，
化简得$2|c|=10$，解得$|c|=5$，
因此$c=5$或$c=-5$，即点$C$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+4}$
(2) $\boldsymbol{(5,0)}$或$\boldsymbol{(-5,0)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，第一问是待定系数法的常规考查，计算难度较低；第二问需要注意点在坐标轴上的位置有两种可能，要考虑绝对值的情况避免漏解，掌握一次函数基础性质和分类讨论思想即可正确求解。
【难度系数】
0.8
1. 拖拉机开始工作时，油箱中有4 L油，如果该拖拉机每小时耗油0.5 L，那么油箱中剩余油量y L与工作时间t h之间的函数关系的图象是 （
D
）答案
D
解析
【分析】
解题时先根据“剩余油量=原有油量-耗油量”列出函数关系式，再结合实际意义确定自变量t的取值范围：工作时间t不能为负数，剩余油量y也不能为负数，由此算出t的范围是0≤t≤8，对应函数图像是连接初始点(0,4)和油用尽的点(8,0)的线段，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
第一步：列函数关系式
由题意可知，剩余油量等于初始油量减去消耗的油量，每小时耗油0.5L，工作t小时耗油量为0.5t L，因此：
$y = 4 - 0.5t$
第二步：确定自变量的取值范围
工作时间不可能为负，因此$t≥0$；剩余油量不能小于0，因此$4-0.5t≥0$，解得$t≤8$。
综上，$t$的取值范围是$0≤ t≤8$。
第三步：判断函数图像
当$t=0$时，$y=4$，即图像过点$(0,4)$；当$t=8$时，$y=0$，即图像过点$(8,0)$。
因此函数图像是连接$(0,4)$和$(8,0)$的线段，只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的实际应用；一次函数的图像；自变量取值范围
【点评】
本题是一次函数的实际应用类题目，解题的关键是结合实际场景确定函数的取值范围，避免忽略实际限制将线段错认为直线而选错。
【难度系数】
0.8
解题时先根据“剩余油量=原有油量-耗油量”列出函数关系式，再结合实际意义确定自变量t的取值范围：工作时间t不能为负数，剩余油量y也不能为负数，由此算出t的范围是0≤t≤8，对应函数图像是连接初始点(0,4)和油用尽的点(8,0)的线段，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
第一步：列函数关系式
由题意可知，剩余油量等于初始油量减去消耗的油量，每小时耗油0.5L，工作t小时耗油量为0.5t L，因此：
$y = 4 - 0.5t$
第二步：确定自变量的取值范围
工作时间不可能为负，因此$t≥0$；剩余油量不能小于0，因此$4-0.5t≥0$，解得$t≤8$。
综上，$t$的取值范围是$0≤ t≤8$。
第三步：判断函数图像
当$t=0$时，$y=4$，即图像过点$(0,4)$；当$t=8$时，$y=0$，即图像过点$(8,0)$。
因此函数图像是连接$(0,4)$和$(8,0)$的线段，只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的实际应用；一次函数的图像；自变量取值范围
【点评】
本题是一次函数的实际应用类题目，解题的关键是结合实际场景确定函数的取值范围，避免忽略实际限制将线段错认为直线而选错。
【难度系数】
0.8
2. 一次函数$y=-2x+4$的图象与$x$轴的交点坐标是________，与$y$轴的交点坐标是________，图象与坐标轴所围成的三角形面积是________。
答案
(2,0),(0,4),4
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：①求一次函数与x轴的交点坐标：x轴上所有点的纵坐标都为0，因此我们令函数式中y=0，解出对应的x值，即可得到x轴交点坐标；②求一次函数与y轴的交点坐标：y轴上所有点的横坐标都为0，因此令函数式中x=0，解出对应的y值，即可得到y轴交点坐标；③求围成的三角形面积：一次函数与两条坐标轴的交点和坐标原点构成直角三角形，两条直角边的长度分别是x轴交点的横坐标绝对值、y轴交点的纵坐标绝对值，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求与x轴的交点坐标：
令$y=0$，代入$y=-2x+4$得：
$0=-2x+4$
解得$x=2$
因此与x轴的交点坐标为$(2,0)$。
2. 求与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入$y=-2x+4$得：
$y=-2×0+4=4$
因此与y轴的交点坐标为$(0,4)$。
3. 计算围成的三角形面积：
图象与坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长分别为2、4，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$S=\frac{1}{2}×2×4=4$
【答案】
$(2,0),(0,4),4$
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数与坐标轴交点求法，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题型，解题核心是掌握坐标轴上点的坐标特征，通过代入法求交点坐标，再结合几何图形的面积公式求解，是巩固一次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分三步思考：①求一次函数与x轴的交点坐标：x轴上所有点的纵坐标都为0，因此我们令函数式中y=0，解出对应的x值，即可得到x轴交点坐标；②求一次函数与y轴的交点坐标：y轴上所有点的横坐标都为0，因此令函数式中x=0，解出对应的y值，即可得到y轴交点坐标；③求围成的三角形面积：一次函数与两条坐标轴的交点和坐标原点构成直角三角形，两条直角边的长度分别是x轴交点的横坐标绝对值、y轴交点的纵坐标绝对值，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求与x轴的交点坐标：
令$y=0$，代入$y=-2x+4$得：
$0=-2x+4$
解得$x=2$
因此与x轴的交点坐标为$(2,0)$。
2. 求与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入$y=-2x+4$得：
$y=-2×0+4=4$
因此与y轴的交点坐标为$(0,4)$。
3. 计算围成的三角形面积：
图象与坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长分别为2、4，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$S=\frac{1}{2}×2×4=4$
【答案】
$(2,0),(0,4),4$
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数与坐标轴交点求法，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题型，解题核心是掌握坐标轴上点的坐标特征，通过代入法求交点坐标，再结合几何图形的面积公式求解，是巩固一次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
3. 将一次函数$y=-x+2$的图象向下平移
7
个单位长度后，恰好经过点$(-3,-2)$。答案
7
解析
【分析】
解决本题首先要明确一次函数上下平移的规律：平移时斜率k不变，常数项b遵循“上加下减”的规则（向上平移加，向下平移减）。我们可以先设向下平移的单位长度为a，写出平移后的函数解析式，再根据“函数图象经过某点，则该点坐标满足函数解析式”的性质，将点坐标代入解析式，建立关于a的一元一次方程，求解即可得到答案。
【解析】
设将一次函数$y=-x+2$的图象向下平移$a$个单位长度（$a＞0$）。
根据一次函数平移“上加下减”的规律，平移后的函数解析式为：
$y=-x+2 -a$
已知平移后的图象经过点$(-3,-2)$，将$x=-3$，$y=-2$代入上述解析式得：
$-2 = -(-3) + 2 - a$
化简计算：
$-2 = 3 + 2 - a$
$-2 = 5 - a$
移项解得：$a = 5 + 2 = 7$
【答案】
7
【知识点】
1. 一次函数图象平移规律
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数的平移性质和点与函数图象的对应关系，解题的关键是熟练掌握一次函数平移的口诀“左加右减，上加下减”，代入点坐标计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确一次函数上下平移的规律：平移时斜率k不变，常数项b遵循“上加下减”的规则（向上平移加，向下平移减）。我们可以先设向下平移的单位长度为a，写出平移后的函数解析式，再根据“函数图象经过某点，则该点坐标满足函数解析式”的性质，将点坐标代入解析式，建立关于a的一元一次方程，求解即可得到答案。
【解析】
设将一次函数$y=-x+2$的图象向下平移$a$个单位长度（$a＞0$）。
根据一次函数平移“上加下减”的规律，平移后的函数解析式为：
$y=-x+2 -a$
已知平移后的图象经过点$(-3,-2)$，将$x=-3$，$y=-2$代入上述解析式得：
$-2 = -(-3) + 2 - a$
化简计算：
$-2 = 3 + 2 - a$
$-2 = 5 - a$
移项解得：$a = 5 + 2 = 7$
【答案】
7
【知识点】
1. 一次函数图象平移规律
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数的平移性质和点与函数图象的对应关系，解题的关键是熟练掌握一次函数平移的口诀“左加右减，上加下减”，代入点坐标计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
