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5. 在一次男子长跑比赛中，抽得12名选手所用的时间如下(单位:min):
136,140,129,180,124,154,146,145,158,175,165,148.
(1) 样本数据(12名选手的成绩)的中位数是多少?
(2) 一名选手的成绩是142 min,他的成绩如何?
136,140,129,180,124,154,146,145,158,175,165,148.
(1) 样本数据(12名选手的成绩)的中位数是多少?
(2) 一名选手的成绩是142 min,他的成绩如何?
答案
(1) 147
(2) 他的成绩比一半以上选手好,属于较好水平
(2) 他的成绩比一半以上选手好,属于较好水平
解析
【分析】
(1) 求中位数需遵循固定规则：首先把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数；若为奇数，中位数是最中间的数。因此解题时先对12个成绩排序，再找到中间两个数求平均数即可得到中位数。
(2) 中位数可以反映一组数据的中等水平，长跑比赛用时越短成绩越好，将该选手的成绩和中位数对比，就能判断其成绩所处的水平。
【解析】
(1) 先将12名选手的成绩按从小到大的顺序排列：
124，129，136，140，145，146，148，154，158，165，175，180
数据共12个（偶数个），取第6个和第7个数据的平均数作为中位数：
中位数=(146+148)÷2=147
(2) 由(1)可知样本中位数为147min，说明有一半以上选手的用时≥147min，该选手成绩为142min，小于147min，且长跑用时越短成绩越好，因此他的成绩比一半以上选手好，属于较好水平。
【答案】
(1) 147
(2) 他的成绩比一半以上选手好,属于较好水平
【知识点】
中位数的计算；中位数的意义
【点评】
本题考查中位数的相关应用，解题关键是正确对数据排序，再结合数据个数的奇偶性计算中位数，结合实际场景理解中位数的含义即可快速解题，注意不要出现排序错误、混淆比赛成绩优劣的判断标准这类问题。
【难度系数】
0.75
(1) 求中位数需遵循固定规则：首先把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数；若为奇数，中位数是最中间的数。因此解题时先对12个成绩排序，再找到中间两个数求平均数即可得到中位数。
(2) 中位数可以反映一组数据的中等水平，长跑比赛用时越短成绩越好，将该选手的成绩和中位数对比，就能判断其成绩所处的水平。
【解析】
(1) 先将12名选手的成绩按从小到大的顺序排列：
124，129，136，140，145，146，148，154，158，165，175，180
数据共12个（偶数个），取第6个和第7个数据的平均数作为中位数：
中位数=(146+148)÷2=147
(2) 由(1)可知样本中位数为147min，说明有一半以上选手的用时≥147min，该选手成绩为142min，小于147min，且长跑用时越短成绩越好，因此他的成绩比一半以上选手好，属于较好水平。
【答案】
(1) 147
(2) 他的成绩比一半以上选手好,属于较好水平
【知识点】
中位数的计算；中位数的意义
【点评】
本题考查中位数的相关应用，解题关键是正确对数据排序，再结合数据个数的奇偶性计算中位数，结合实际场景理解中位数的含义即可快速解题，注意不要出现排序错误、混淆比赛成绩优劣的判断标准这类问题。
【难度系数】
0.75
6. 小明调查了学校九年级(1)班10名同学上学所花的时间，数据如下(单位:min):
30,60,40,10,30,30,30,10,20,20.
(1) 计算这10名同学上学所花时间的平均数和方差.
(2) 用简单随机抽样方法，分别抽取样本容量为5的两个样本，并计算这两个样本的平均数和方差，它们的结果一致吗？与总体的结果一致吗？
30,60,40,10,30,30,30,10,20,20.
(1) 计算这10名同学上学所花时间的平均数和方差.
(2) 用简单随机抽样方法，分别抽取样本容量为5的两个样本，并计算这两个样本的平均数和方差，它们的结果一致吗？与总体的结果一致吗？
答案
(1) 28;196
(2) 第一个样本:随机抽样得到容量为5的样本,如:60,10,30,30,20,他的平均数$\overline{x_1}=30$(分),方差$s_1^2=280$.
第二个样本:同样抽取容量为5的样本,如:40,30,30,10,20,它的平均数$\overline{x_2}=26$(分),方差$s_2^2=104$.它们结果不一致,与总体的结果也不一致,但三者的平均数比较接近,方差波动较大
(2) 第一个样本:随机抽样得到容量为5的样本,如:60,10,30,30,20,他的平均数$\overline{x_1}=30$(分),方差$s_1^2=280$.
第二个样本:同样抽取容量为5的样本,如:40,30,30,10,20,它的平均数$\overline{x_2}=26$(分),方差$s_2^2=104$.它们结果不一致,与总体的结果也不一致,但三者的平均数比较接近,方差波动较大
解析
【分析】
(1) 求解平均数和方差需先回忆对应公式：平均数为所有数据之和除以数据总个数；方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数。先计算10个数据的总和除以10得到平均数，再代入方差公式计算即可。(2) 简单随机抽样即从10个数据中随机抽取5个作为样本，分别计算两个不同样本的平均数和方差，由于抽样具有随机性，不同样本的统计量通常存在差异，和总体的统计量也可能有偏差，对比结果即可得出结论。
【解析】
(1) 计算平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{10}×(30+60+40+10+30+30+30+10+20+20)=\frac{280}{10}=28(\mathrm{min})$
计算方差：
$s^2=\frac{1}{10}×[(30-28)^2×4+(60-28)^2+(40-28)^2+(10-28)^2×2+(20-28)^2×2]$
$=\frac{1}{10}×(16+1024+144+648+128)=\frac{1960}{10}=196$
(2) 抽取第一个容量为5的样本：60,10,30,30,20
其平均数：$\overline{x_1}=\frac{1}{5}×(60+10+30+30+20)=\frac{150}{5}=30(\mathrm{min})$
方差：$s_1^2=\frac{1}{5}×[(60-30)^2+(10-30)^2+(30-30)^2×2+(20-30)^2]=\frac{1}{5}×(900+400+0+100)=280$
抽取第二个容量为5的样本：40,30,30,10,20
其平均数：$\overline{x_2}=\frac{1}{5}×(40+30+30+10+20)=\frac{130}{5}=26(\mathrm{min})$
方差：$s_2^2=\frac{1}{5}×[(40-26)^2+(30-26)^2×2+(10-26)^2+(20-26)^2]=\frac{1}{5}×(196+32+256+36)=104$
对比可得：两个样本的平均数和方差结果不一致，与总体的结果也不一致，三者的平均数比较接近，方差波动较大。
【答案】
(1) 平均数为28min，方差为196；
(2) 两个样本结果不一致，与总体的结果也不一致，三者平均数比较接近，方差波动较大（样本举例不唯一，合理即可）
【知识点】
平均数计算，方差计算，简单随机抽样
【点评】
本题侧重考察统计基础运算和抽样的特性，计算时需熟记平均数、方差的公式，仔细计算避免出错，同时能通过实例理解抽样的随机性，体会样本统计量和总体统计量的关系。
【难度系数】
0.75
(1) 求解平均数和方差需先回忆对应公式：平均数为所有数据之和除以数据总个数；方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数。先计算10个数据的总和除以10得到平均数，再代入方差公式计算即可。(2) 简单随机抽样即从10个数据中随机抽取5个作为样本，分别计算两个不同样本的平均数和方差，由于抽样具有随机性，不同样本的统计量通常存在差异，和总体的统计量也可能有偏差，对比结果即可得出结论。
【解析】
(1) 计算平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{10}×(30+60+40+10+30+30+30+10+20+20)=\frac{280}{10}=28(\mathrm{min})$
计算方差：
$s^2=\frac{1}{10}×[(30-28)^2×4+(60-28)^2+(40-28)^2+(10-28)^2×2+(20-28)^2×2]$
$=\frac{1}{10}×(16+1024+144+648+128)=\frac{1960}{10}=196$
(2) 抽取第一个容量为5的样本：60,10,30,30,20
其平均数：$\overline{x_1}=\frac{1}{5}×(60+10+30+30+20)=\frac{150}{5}=30(\mathrm{min})$
方差：$s_1^2=\frac{1}{5}×[(60-30)^2+(10-30)^2+(30-30)^2×2+(20-30)^2]=\frac{1}{5}×(900+400+0+100)=280$
抽取第二个容量为5的样本：40,30,30,10,20
其平均数：$\overline{x_2}=\frac{1}{5}×(40+30+30+10+20)=\frac{130}{5}=26(\mathrm{min})$
方差：$s_2^2=\frac{1}{5}×[(40-26)^2+(30-26)^2×2+(10-26)^2+(20-26)^2]=\frac{1}{5}×(196+32+256+36)=104$
对比可得：两个样本的平均数和方差结果不一致，与总体的结果也不一致，三者的平均数比较接近，方差波动较大。
【答案】
(1) 平均数为28min，方差为196；
(2) 两个样本结果不一致，与总体的结果也不一致，三者平均数比较接近，方差波动较大（样本举例不唯一，合理即可）
【知识点】
平均数计算，方差计算，简单随机抽样
【点评】
本题侧重考察统计基础运算和抽样的特性，计算时需熟记平均数、方差的公式，仔细计算避免出错，同时能通过实例理解抽样的随机性，体会样本统计量和总体统计量的关系。
【难度系数】
0.75
7. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶10次，每次打靶的成绩如下(单位:环)：
甲:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7；
乙:7,9,6,8,2,7,8,4,9,10.
分别画出两组数据的箱线图，并从三个不同角度评价甲、乙两人的打靶成绩.
甲:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7；
乙:7,9,6,8,2,7,8,4,9,10.
分别画出两组数据的箱线图，并从三个不同角度评价甲、乙两人的打靶成绩.
答案
箱线图略,下列角度供参考,甲、乙两人的这10次打靶成绩的平均数均是7环,说明甲、乙两人实力相当;甲、乙两人的这10次打靶成绩的方差分别是1.2和5.4,甲打靶成绩的方差低于乙打靶成绩的方差,说明甲的打靶成绩比较稳定;甲、乙两人的这10次打靶成绩中,命中8环以上分别为1次和3次,说明乙更有可能取得好成绩
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：第一步是绘制箱线图，首先需要将两组数据分别从小到大排序，找到每组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这五个特征数，再根据这五个数绘制箱线图即可。第二步是评价打靶成绩，通常可以从三个常用维度入手：①用平均数判断两人的整体实力水平；②用方差判断两人成绩的稳定性；③统计高分段的命中次数判断两人取得优异成绩的潜力，我们只需要分别计算对应的统计量，再对比分析即可得出结论。
【解析】
1. 箱线图绘制：
将甲的成绩从小到大排序为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9；将乙的成绩从小到大排序为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10。分别确定两组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值后即可绘制箱线图，此处图形省略。
2. 成绩评价：
①计算平均数：
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{9+5+7+8+7+6+8+6+7+7}{10}=7$（环）
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{7+9+6+8+2+7+8+4+9+10}{10}=7$（环）
两人平均成绩相同，说明整体实力相当。
②计算方差：
甲的方差：$s^2_甲=\frac{1}{10}[(9-7)^2+(5-7)^2+4×(7-7)^2+2×(8-7)^2+2×(6-7)^2]=1.2$
乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{10}[2×(7-7)^2+2×(9-7)^2+(6-7)^2+2×(8-7)^2+(2-7)^2+(4-7)^2+(10-7)^2]=5.4$
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲的打靶成绩更稳定。
③统计8环以上（不含8环）命中次数：
甲命中8环以上的次数为1次，乙命中8环以上的次数为3次，说明乙更有可能取得好成绩。
【答案】
箱线图略，评价如下：①甲、乙两人的这10次打靶成绩的平均数均是7环，说明甲、乙两人实力相当；②甲、乙两人的这10次打靶成绩的方差分别是1.2和5.4，甲打靶成绩的方差低于乙打靶成绩的方差，说明甲的打靶成绩比较稳定；③甲、乙两人的这10次打靶成绩中，命中8环以上分别为1次和3次，说明乙更有可能取得好成绩。
【知识点】
平均数的应用；方差的应用；统计数据分析
【点评】
本题结合生活中的打靶场景，考查学生对常用统计量的计算能力和运用统计数据解决实际问题的能力，需要学生准确理解平均数、方差等统计量的实际意义，能结合具体场景做出合理分析。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分两步思考：第一步是绘制箱线图，首先需要将两组数据分别从小到大排序，找到每组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这五个特征数，再根据这五个数绘制箱线图即可。第二步是评价打靶成绩，通常可以从三个常用维度入手：①用平均数判断两人的整体实力水平；②用方差判断两人成绩的稳定性；③统计高分段的命中次数判断两人取得优异成绩的潜力，我们只需要分别计算对应的统计量，再对比分析即可得出结论。
【解析】
1. 箱线图绘制：
将甲的成绩从小到大排序为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9；将乙的成绩从小到大排序为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10。分别确定两组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值后即可绘制箱线图，此处图形省略。
2. 成绩评价：
①计算平均数：
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{9+5+7+8+7+6+8+6+7+7}{10}=7$（环）
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{7+9+6+8+2+7+8+4+9+10}{10}=7$（环）
两人平均成绩相同，说明整体实力相当。
②计算方差：
甲的方差：$s^2_甲=\frac{1}{10}[(9-7)^2+(5-7)^2+4×(7-7)^2+2×(8-7)^2+2×(6-7)^2]=1.2$
乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{10}[2×(7-7)^2+2×(9-7)^2+(6-7)^2+2×(8-7)^2+(2-7)^2+(4-7)^2+(10-7)^2]=5.4$
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲的打靶成绩更稳定。
③统计8环以上（不含8环）命中次数：
甲命中8环以上的次数为1次，乙命中8环以上的次数为3次，说明乙更有可能取得好成绩。
【答案】
箱线图略，评价如下：①甲、乙两人的这10次打靶成绩的平均数均是7环，说明甲、乙两人实力相当；②甲、乙两人的这10次打靶成绩的方差分别是1.2和5.4，甲打靶成绩的方差低于乙打靶成绩的方差，说明甲的打靶成绩比较稳定；③甲、乙两人的这10次打靶成绩中，命中8环以上分别为1次和3次，说明乙更有可能取得好成绩。
【知识点】
平均数的应用；方差的应用；统计数据分析
【点评】
本题结合生活中的打靶场景，考查学生对常用统计量的计算能力和运用统计数据解决实际问题的能力，需要学生准确理解平均数、方差等统计量的实际意义，能结合具体场景做出合理分析。
【难度系数】
0.7
