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2.【综合探究】探索等腰三角形中相等的线段.
【问题情境】
数学活动课上,老师提出了一个问题:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?同学们就这个问题展开探究.
【问题初探】
(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形,如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别为E,F.经过合作,该小组的同学得出的结论是$DE=DF$.并且展示了他们的证法如下:
证明:如图①,
$\because DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
$\therefore ∠ DEB=∠ DFC=90°$.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C$(依据1).
$\because D$是$BC$的中点,
$\therefore BD=CD$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\{\begin{array}{l}∠ DEB=∠ DFC,\\∠ B=∠ C,\\BD=CD,\end{array} $
$\therefore △ BDE≌△ CDF$(依据2).
$\therefore DE=DF$.
①请写出依据1和依据2的内容:
依据1:
依据2:
②请你利用图②写出一种不同于希望小组的同学们的证法.
【问题再探】
(2)未来小组的同学们经过探究又有新的发现,如果在等腰三角形$ABC$中,作腰$AB$上的高$CG$,如图③,则$CG$与$DE$有确定的数量关系.请你直接写出这个数量关系为
【类比探究】
(3)奋斗小组的同学认真研究过后,发现了以下两个正确结论:①在图④中,若$DE$,$DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的中线,那么$DE=DF$仍然成立;②在图⑤中,若$DE$,$DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的角平分线,那么$DE=DF$仍然成立.请你选择其中一个结论,写出证明过程.
【问题情境】
数学活动课上,老师提出了一个问题:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?同学们就这个问题展开探究.
【问题初探】
(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形,如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别为E,F.经过合作,该小组的同学得出的结论是$DE=DF$.并且展示了他们的证法如下:
证明:如图①,
$\because DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
$\therefore ∠ DEB=∠ DFC=90°$.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C$(依据1).
$\because D$是$BC$的中点,
$\therefore BD=CD$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\{\begin{array}{l}∠ DEB=∠ DFC,\\∠ B=∠ C,\\BD=CD,\end{array} $
$\therefore △ BDE≌△ CDF$(依据2).
$\therefore DE=DF$.
①请写出依据1和依据2的内容:
依据1:
等边对等角(答案不唯一)
.依据2:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(答案不唯一)
.②请你利用图②写出一种不同于希望小组的同学们的证法.
【问题再探】
(2)未来小组的同学们经过探究又有新的发现,如果在等腰三角形$ABC$中,作腰$AB$上的高$CG$,如图③,则$CG$与$DE$有确定的数量关系.请你直接写出这个数量关系为
$CG=2DE$
.【类比探究】
(3)奋斗小组的同学认真研究过后,发现了以下两个正确结论:①在图④中,若$DE$,$DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的中线,那么$DE=DF$仍然成立;②在图⑤中,若$DE$,$DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的角平分线,那么$DE=DF$仍然成立.请你选择其中一个结论,写出证明过程.
答案
2. (1)①等边对等角(答案不唯一) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(答案不唯一) ②证明略
(2)$CG=2DE$
(3)证明略
(2)$CG=2DE$
(3)证明略
