1. 教材P81例7变式 [2026天津和平区期末] 如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E；②以点C为圆心，OD的长为半径画弧，交CB于点F；③以点F为圆心，DE的长为半径画弧，交前弧于点P(点P与点D在OB同侧)；④作射线CP。仅根据作图过程判断，下列结论不一定正确的是 ()

A.∠AOE = ∠PCF
B.OA//CP
C.DE = OE
D.△DOE≌△PCF

第1题图 第2题图

依题意知,在△DOE 和△PCF 中,OD = CP,DE = PF,OE = CF,则△DOE ≌ △PCF(SSS),
∴ ∠AOE = ∠PCF,
∴ OA//CP,故选项 A,B,D 结论正确. 不能推出 DE = OE 成立,故选项 C 结论错误.

2. [2026周口期末]如图,点B,C,E在同一条直线上,AB=AD,AC=AE,BC=DE.若∠3=52°,∠1=30°,则∠2的度数为.

在△ABC 和△ADE 中,AB = AD,AC = AE,BC = DE,
∴ △ABC≌△ADE(SSS),
∴ ∠2 = ∠BAC,∠ABC = ∠1 = 30°.
∵ ∠3 = ∠ABC + ∠BAC(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∴ 52° = 30° + ∠2,
∴ ∠2 = 22°.

3. 教材 P114 复习题 T3 变式 [2026 无锡惠山区模拟] 如图，点 A,D,B,E 在同一条直线上，$AD = BE,AC = DF,BC = EF.$
(1)求证：$△ ABC ≌ △ DEF$.
(2)若$∠ A = 55°,∠ E = 45°$,求$∠ F$的度数.

(1)证明:
∵ AD = BE,
∴ AD + DB = BE + DB,即 AB = DE(等式的基本性质1).在△ABC 和△DEF 中,AC = DF(已知),BC = EF(已知),AB = DE(已证),
∴ △ABC≌△DEF(SSS)("平移模型").
(2)解:
∵ △ABC≌△DEF,∠A = 55°,
∴ ∠FDE = ∠A = 55°(全等三角形的对应角相等).
∵ ∠E = 45°(已知),
∴ ∠F = 180° - ∠FDE - ∠E = 80°(三角形的内角和为180°).

4. 在上学的路上,淘淘发现路边的一根电线杆两侧对称地拉着钢绳(即两侧钢绳的长度相等,如图1),他很快明白了其中的道理. 淘淘来到学校,看到学校的旗杆两侧并没有拉钢绳,于是提出问题:学校的旗杆是否垂直于地面? 如图2,淘淘找来两根5 m长的绳子,一端系在旗杆上的同一位置A处,另一端分别固定在地面的两个木桩B,C上(两个木桩和旗杆在同一平面内,绳子打结处的长度忽略不计,绳子均是拉直状态).
(1)在图1中,电线杆的两侧对称地拉着钢绳,目的是防止电线杆倾倒,这样做的依据是.
(2)如图2,需要测量哪些线段的长度?当测量出的线段满足什么条件时,旗杆垂直于地面?并说明理由.

(1)三角形具有稳定性
(2)需要测量线段 BD 和 CD 的长度.
当 BD = CD 时,旗杆是垂直于地面的. 理由如下:
根据题意,得 AB = AC.
在△ADB 和△ADC 中,
AD = AD(公共边),AB = AC(已知),BD = CD(已知),
∴ △ADB≌△ADC(SSS),
∴ ∠ADB = ∠ADC(全等三角形的对应角相等).
由题意知,点 B,D,C 共线,
∴ ∠ADB + ∠ADC = 180°,
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°,
∴ AD⊥BC(垂直的定义).