8. 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,$AB = 5$,$AO = 4$,求BD的长.

【解析】：
因为四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，所以$AC\perp BD$，$BO = DO$。
在$Rt\triangle ABO$中，$AB = 5$，$AO = 4$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$BO=\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
因为$BD = 2BO$，所以$BD=2×3 = 6$。
【答案】：$6$

9. 某班去商店为体育比赛优胜者买奖品,书包每个定价30元,文具盒每个定价5元,商店实行两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折优惠.若该班需买8个书包,文具盒x个$(x\geqslant 8)$,付款为y元.
(1)分别求出两种方案中y与x间的关系式.
(2)若购买文具盒30个,应选哪种方案？付多少钱？
(3)比较购买同样多的文具盒时选哪种方案更优惠？

【解析】：
(1)
方案①：
已知买一个书包赠送一个文具盒，该班需买$8$个书包，每个书包定价$30$元，所以买书包花费$30×8 = 240$元。
因为买$8$个书包送$8$个文具盒，而一共买$x$个文具盒$(x\geqslant8)$，那么需要单独购买的文具盒个数为$(x - 8)$个，每个文具盒定价$5$元，所以买文具盒花费$5(x - 8)$元。
则付款$y_1=240 + 5(x - 8)=240+5x-40=5x + 200$（$x\geqslant8$）。
方案②：
买$8$个书包，每个书包定价$30$元，所以书包总价为$30×8 = 240$元；买$x$个文具盒，每个文具盒定价$5$元，所以文具盒总价为$5x$元。
那么购买书包和文具盒的总价为$(240 + 5x)$元，又因为按总价的九折优惠，所以付款$y_2=(240 + 5x)×0.9=216+4.5x$（$x\geqslant8$）。
(2)
当$x = 30$时：
方案①：把$x = 30$代入$y_1=5x + 200$，可得$y_1=5×30 + 200=150 + 200 = 350$元。
方案②：把$x = 30$代入$y_2=4.5x + 216$，可得$y_2=4.5×30+216=135 + 216 = 351$元。
因为$350\lt351$，所以应选方案①，付$350$元。
(3)
分三种情况讨论：
当$y_1=y_2$时，即$5x + 200=4.5x + 216$，
移项可得$5x-4.5x=216 - 200$，
$0.5x=16$，
解得$x = 32$。
当$y_1\gt y_2$时，即$5x + 200\gt4.5x + 216$，
移项可得$5x-4.5x\gt216 - 200$，
$0.5x\gt16$，
解得$x\gt32$。
当$y_1\lt y_2$时，即$5x + 200\lt4.5x + 216$，
移项可得$5x-4.5x\lt216 - 200$，
$0.5x\lt16$，
解得$x\lt32$。
又因为$x\geqslant8$，所以当$8\leqslant x\lt32$时，选方案①更优惠；当$x = 32$时，两种方案一样优惠；当$x\gt32$时，选方案②更优惠。
【答案】：
(1)$y_1 = 5x + 200(x\geqslant8)$；$y_2 = 4.5x + 216(x\geqslant8)$
(2)方案①；$350$元
(3)当$8\leqslant x\lt32$时，选方案①更优惠；当$x = 32$时，两种方案一样优惠；当$x\gt32$时，选方案②更优惠