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11.【综合与实践】若$(a-1)x^{|a|}+4=0$是关于$x$的一元一次方程。
(1)求$a$的值；
(2)请写出这个方程；
(3)解这个方程。
(1)求$a$的值；
(2)请写出这个方程；
(3)解这个方程。
答案
解:(1)根据一元一次方程的定义可知$a-1≠0,|a|=1$,解得$a=-1$。
(2)将$a=-1$代入方程得$-2x+4=0$。
(3)由$-2x+4=0$,解得$x=2$。
(2)将$a=-1$代入方程得$-2x+4=0$。
(3)由$-2x+4=0$,解得$x=2$。
解析
【分析】
本题围绕一元一次方程的定义展开求解，解题思路如下：首先明确一元一次方程的三个核心判断条件：①只含1个未知数；②未知数的最高次数为1；③未知数的系数不为0。
(1)求a的值时，结合上述条件可得x的次数$\vert a\vert=1$，且x的系数$a-1≠0$，联立两个限制条件即可求出a的取值；
(2)写对应方程只需将第(1)问求出的a值代入原式化简即可；
(3)解一元一次方程按照移项、系数化为1的基本步骤计算即可得到x的解。
【解析】
解：(1)根据一元一次方程的定义，可列条件：
$\begin{cases}a-1≠0\\|a|=1\end{cases}$
由$|a|=1$解得$a=\pm1$，结合$a-1≠0$即$a≠1$，最终得$a=-1$。
(2)将$a=-1$代入原方程$(a-1)x^{|a|}+4=0$，代入得：
$(-1-1)x^{|-1|}+4=0$，化简后得到方程：$-2x+4=0$。
(3)解方程$-2x+4=0$：
移项得：$-2x=-4$，
系数化为1得：$x=2$。
【答案】
(1)$a=-1$；(2)$-2x+4=0$；(3)$x=2$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的易错点是容易忽略一元一次方程中一次项系数不为0的隐含条件，导致求a的取值时出错，掌握一元一次方程的基本判断规则和求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题围绕一元一次方程的定义展开求解，解题思路如下：首先明确一元一次方程的三个核心判断条件：①只含1个未知数；②未知数的最高次数为1；③未知数的系数不为0。
(1)求a的值时，结合上述条件可得x的次数$\vert a\vert=1$，且x的系数$a-1≠0$，联立两个限制条件即可求出a的取值；
(2)写对应方程只需将第(1)问求出的a值代入原式化简即可；
(3)解一元一次方程按照移项、系数化为1的基本步骤计算即可得到x的解。
【解析】
解：(1)根据一元一次方程的定义，可列条件：
$\begin{cases}a-1≠0\\|a|=1\end{cases}$
由$|a|=1$解得$a=\pm1$，结合$a-1≠0$即$a≠1$，最终得$a=-1$。
(2)将$a=-1$代入原方程$(a-1)x^{|a|}+4=0$，代入得：
$(-1-1)x^{|-1|}+4=0$，化简后得到方程：$-2x+4=0$。
(3)解方程$-2x+4=0$：
移项得：$-2x=-4$，
系数化为1得：$x=2$。
【答案】
(1)$a=-1$；(2)$-2x+4=0$；(3)$x=2$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的易错点是容易忽略一元一次方程中一次项系数不为0的隐含条件，导致求a的取值时出错，掌握一元一次方程的基本判断规则和求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
12.【综合与实践】在解方程$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}(x - 94)=35$时，小明被难住。以下是小明、小丽、小飞同学的对话和解答过程，请你将其补充完整。
小明:你俩只要帮我讲讲解此方程第一步的想法、依据就可以了。
小丽:解此方程的第一步，我观察到含有括号，我认为应先
请利用小丽的想法写出完整的解答过程。
小飞:解此方程的第一步还可以这样想，我观察到此方程含分母，我认为应先
请利用小飞的想法写出完整的解答过程。
小明:你俩只要帮我讲讲解此方程第一步的想法、依据就可以了。
小丽:解此方程的第一步，我观察到含有括号，我认为应先
去括号
，依据是乘法对加法的分配律
，就可以考虑合并同类项了。请利用小丽的想法写出完整的解答过程。
小飞:解此方程的第一步还可以这样想，我观察到此方程含分母，我认为应先
去分母
，在方程两边都乘4
，依据是等式的基本性质
。请利用小飞的想法写出完整的解答过程。
答案
12. 解:去括号 乘法对加法的分配律
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(x-94)=35,\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}×94=35,\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}×94+35,\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}×94+35,x=78$。
去分母 乘4 等式的基本性质
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(x-94)=35,2x+(x-94)=4×35,2x + x - 94 = 140,3x = 234,x=78$。
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(x-94)=35,\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}×94=35,\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}×94+35,\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}×94+35,x=78$。
去分母 乘4 等式的基本性质
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(x-94)=35,2x+(x-94)=4×35,2x + x - 94 = 140,3x = 234,x=78$。
解析
【分析】
这是一道考查一元一次方程解法的基础题，有两种常规解题思路：第一种是优先处理括号，观察到方程含有括号，先利用乘法分配律去掉括号，再通过移项、合并同类项、系数化为1求解；第二种是优先处理分母，观察到方程含分母，先找到所有分母的最小公倍数，利用等式的基本性质在方程两边同乘最小公倍数消去分母，再后续计算求解，两种思路都是为了将复杂方程转化为$ax=b(a≠0)$的最简形式求解。
【解析】
小丽的解法：
第一步应先去括号，依据是乘法对加法的分配律。
完整解答过程：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}(x - 94)&=35\\\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}×94&=35\\\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x&=35 + \frac{94}{4}\\\frac{3}{4}x&=\frac{234}{4}\\x&=78\end{aligned}$
小飞的解法：
第一步应先去分母，在方程两边都乘4，依据是等式的基本性质（等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立）。
完整解答过程：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}(x - 94)&=35\\2x + (x - 94)&=4×35\\2x + x - 94&=140\\3x&=234\\x&=78\end{aligned}$
【答案】
去括号；乘法对加法的分配律；去分母；乘4；等式的基本性质；方程的解为$\boldsymbol{x=78}$
【知识点】
一元一次方程的解法；乘法分配律；等式的基本性质
【点评】
本题侧重考查一元一次方程解题步骤的算理依据，帮助学生理解每一步操作的原理，熟练掌握去括号、去分母的运算规则，是巩固一元一次方程解法的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道考查一元一次方程解法的基础题，有两种常规解题思路：第一种是优先处理括号，观察到方程含有括号，先利用乘法分配律去掉括号，再通过移项、合并同类项、系数化为1求解；第二种是优先处理分母，观察到方程含分母，先找到所有分母的最小公倍数，利用等式的基本性质在方程两边同乘最小公倍数消去分母，再后续计算求解，两种思路都是为了将复杂方程转化为$ax=b(a≠0)$的最简形式求解。
【解析】
小丽的解法：
第一步应先去括号，依据是乘法对加法的分配律。
完整解答过程：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}(x - 94)&=35\\\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}×94&=35\\\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x&=35 + \frac{94}{4}\\\frac{3}{4}x&=\frac{234}{4}\\x&=78\end{aligned}$
小飞的解法：
第一步应先去分母，在方程两边都乘4，依据是等式的基本性质（等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立）。
完整解答过程：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}(x - 94)&=35\\2x + (x - 94)&=4×35\\2x + x - 94&=140\\3x&=234\\x&=78\end{aligned}$
【答案】
去括号；乘法对加法的分配律；去分母；乘4；等式的基本性质；方程的解为$\boldsymbol{x=78}$
【知识点】
一元一次方程的解法；乘法分配律；等式的基本性质
【点评】
本题侧重考查一元一次方程解题步骤的算理依据，帮助学生理解每一步操作的原理，熟练掌握去括号、去分母的运算规则，是巩固一元一次方程解法的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
