12.(期末·南开区改编)若$x+y=2$，$x^2+y^2=8$，则$x^{100}y^{100}$的值是()

A.$4$
B.$100^2$
C.$-2^{100}$
D.$2^{100}$

12. D 【解析】
∵ $x+y=2$，
∴ $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=4$。
∵ $x^2+y^2=8$，
∴ $2xy=-4$,
∴ $xy=-2$。
∴ $x^{100}y^{100}=(xy)^{100}=(-2)^{100}=2^{100}$。故选D。

13.(期末·河东区)若$xy=3$,$x^2+y^2=10$,且$x＜y$,则代数式$(x-y)^2 -4(x-y)+4$的值为()

A.$-4$
B.$0$
C.$4$
D.$16$

13. D 【解析】
∵ $xy=3,x^2+y^2=10$，
∴ $(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=10-2×3=4$。
∵ $x＜y$,
∴ $x-y＜0$,
∴ $x-y=-2$，
∴ $(x-y)^2-4(x-y)+4=4-4×(-2)+4=16$。故选D。

14.(月考·天津汇森中学)阅读以下材料：
若$x$满足$(9-x)(x-4)=4$，求$(9-x)^2+(x-4)^2$的值.
解:设$9-x=a$，$x-4=b$，则$(9-x)(x-4)=ab=4$，$a+b=9-x+x-4=5$，
$\therefore (9-x)^2+(x-4)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×4=17$.
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若$x$满足$(5-x)(x+2)=3$，则$(5-x)^2+(x+2)^2=$.
(2)已知$(n-2025)^2+(2026-n)^2=2$，求$(n-2025)(2026-n)$.
(3)如图，已知正方形$ABCD$的边长为$x$，$E$，$F$分别是$AD$，$CD$上的点，且$AE=1$，$CF=3$，长方形$EMFD$的面积是35，分别以$MF$，$DF$为边作正方形$MFRN$，正方形$DFGH$，求阴影部分的面积.

14. 【解】(1)43
分析:设$5-x=a,x+2=b$，
则$(5-x)(x+2)=ab=3,a+b=(5-x)+(x+2)=7$，
∴ $(5-x)^2+(x+2)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=7^2-2×3=43$。
(2)设$n-2 025=a,2 026-n=b$，
则$a+b=n-2 025+2 026-n=1$，
$(n-2 025)^2+(2 026-n)^2=a^2+b^2=2$，
∴ $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=-1$，
∴ $(n-2 025)(2 026-n)=ab=-\frac{1}{2}$。
(3)根据题意,得$MF=x-1,DF=x-3$,则$S_{阴影}=S_{正方形MFRN}-S_{正方形GFDH}=(x-1)^2-(x-3)^2$，
设$x-1=a,x-3=b$,则$a-b=(x-1)-(x-3)=2$，
∴ $S_{阴影}=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=2(a+b)$。
∵ 长方形$EMFD$的面积是35，
∴ $MF·DF=(x-1)(x-3)=ab=35$，
∴ $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=2^2+4×35=144$，
∴ $a+b=12$(负值舍去)，
∴ $S_{阴影}=2(a+b)=24$。