1. 如图，若四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，且$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:6$，则$∠ D$的度数是 （）

A.$100°$
B.$80°$
C.$60°$
D.$90°$

（第1题图）
（第2题图）

1. A

【分析】
要解决这道题，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知三个角的比例，我们可以先设每份角度为x，利用∠A和∠C是对角、和为180°的关系求出x的值，再根据∠B和∠D是对角、和为180°，即可算出∠D的度数。
【解析】
设$∠ A=3x$，$∠ B=4x$，$∠ C=6x$。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ 圆内接四边形对角互补，即$∠ A + ∠ C = 180°$，
代入得：$3x + 6x = 180°$，
解得$x=20°$，
∴ $∠ B=4x=4×20°=80°$，
又
∵ $∠ B + ∠ D = 180°$，
∴ $∠ D=180° - 80°=100°$。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例的应用；角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，解题的关键是准确找到互补的对角，结合已知比例关系求解角度，掌握性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8

2.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，过点B作$BE// AD$，交CD于点E.若$∠ BEC=50°$，则$∠ ABC$的度数是（）

A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$150°$

2. C

【分析】
解题时首先根据平行线的性质，由BE//AD推导得出∠ADC的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
∵ BE//AD，直线DC为两平行线的截线
∴ ∠ADC = ∠BEC = 50°（两直线平行，同位角相等）
又
∵ 四边形ABCD内接于⊙O
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补）
将∠ADC=50°代入得：
∠ABC = 180° - 50° = 130°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，结合了平行线与圆内接四边形的相关性质，只要熟练掌握对应几何性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

3.如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形.若$∠ ABC=120°$,则$∠ AOC$的度数是.

3. 120°

【分析】
解题时首先结合已知条件“四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形”，联想到圆内接四边形对角互补的性质，可先求出$∠ ADC$的度数；再观察$∠ AOC$和$∠ ADC$对应同一段弧$AC$，根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，即可计算出$∠ AOC$的度数。
【解析】
解：$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形
$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°$（圆内接四边形的对角互补）
$\because ∠ ABC=120°$
$\therefore ∠ ADC=180°-120°=60°$
又$\because ∠ ADC$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角
$\therefore ∠ AOC=2∠ ADC$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
$\therefore ∠ AOC=2×60°=120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，理清角之间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$∠ A=110°$,连接$OB$,$OD$,则$∠ BOD$的度数是.

4. 140°

【分析】
解题思路如下：1. 首先看到四边形ABCD是⊙O的内接四边形，回忆圆内接四边形的性质：对角互补，因此可以用已知的∠A的度数求出其对角∠C的度数；2. 待求的∠BOD是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，∠C是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，代入∠C的度数即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ A + ∠ C = 180°$，
已知$∠ A=110°$，
∴$∠ C = 180° - 110° = 70°$。
又
∵$∠ BOD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，$∠ C$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
∴根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
得$∠ BOD = 2∠ C = 2×70° = 140°$。
【答案】
$140°$
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 圆周角定理
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，将圆内接四边形的对角互补性质和圆周角定理结合考查，解题的关键是准确找到同弧所对的圆心角和圆周角的对应关系。
【难度系数】
0.8

5.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,连接AC,BD.
(1)图中与$∠ 1$相等的角是________,与$∠ 2$相等的角是________,$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=\_\_\_\_\_\_°$.
(2)若$∠ 1-∠ 2=∠ 3-∠ 4$,求证:$AC⊥ BD$.

5. (1) $∠6$ $∠5$ 180
(2)证明:$\because∠1-∠2=∠3-∠4$,
$\therefore∠1+∠4=∠2+∠3$.
又由(1)知$∠1+∠2+∠3+∠4=180°$,
$\therefore∠1+∠4=∠2+∠3=90°$.
$\because∠1=∠6$,
$\therefore∠6+∠4=90°$.
$\therefore AC⊥ BD$.

【分析】
(1) 第一问先依据圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，找到与∠1、∠2同弧对应的圆周角即可填空；再结合圆内接四边形对角互补的性质，∠1+∠2是四边形的内角∠BAD，∠3+∠4是四边形的内角∠BCD，二者是一组对角，和为180°。
(2) 第二问先对已知等式移项变形，得到∠1+∠4=∠2+∠3，结合第一问的四个角和为180°，可推出∠1+∠4=90°，再将∠1代换为相等的∠6，得到∠6+∠4=90°，根据垂直的定义即可得证。
【解析】
(1) 因为同弧所对的圆周角相等，∠1和∠6都是弧BC所对的圆周角，所以∠1=∠6；∠2和∠5都是弧CD所对的圆周角，所以∠2=∠5。
因为四边形ABCD内接于$\odot O$，所以其对角互补，即$∠ BAD+∠ BCD=180°$，又$∠ BAD=∠1+∠2$，$∠ BCD=∠3+∠4$，因此$∠1+∠2+∠3+∠4=180°$。
(2) 证明：
$\because∠1-∠2=∠3-∠4$,
$\therefore∠1+∠4=∠2+∠3$.
又由(1)知$∠1+∠2+∠3+∠4=180°$,
$\therefore∠1+∠4=∠2+∠3=90°$.
$\because∠1=∠6$,
$\therefore∠6+∠4=90°$.
$\therefore AC⊥ BD$.
【答案】
(1) $\boxed{∠6}$；$\boxed{∠5}$；$\boxed{180}$
(2) 证明如上。
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；垂直的判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，既考查了圆相关角度性质的直接应用，也考查了简单的等式变形和角度代换推导，掌握圆的基本角度性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7

6.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,E为直径CD延长线上一点.若$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,$∠ ADE=110°$,则$∠ DAB=$.

（第6题图）
（第7题图）

6. 125°

【分析】
解题时首先从已知的∠ADE出发，先利用邻补角关系求出∠ADC的度数；再结合CD是直径的条件，得到直径所对的圆周角∠CAD=90°；接着利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质求出∠ABC的度数；再根据等弧对应的圆周角相等，得到△ABC是等腰三角形，进而求出∠BAC的度数；最后将∠BAC和∠CAD相加即可得到∠DAB的度数。
【解析】
解：连接AC，
∵ ∠ADE=110°，
∴ ∠ADC=180°-∠ADE=70°，
∵ CD是⊙O的直径，
∴ ∠CAD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ABC=∠ADE=110°（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠BAC=∠BCA（等弧所对的圆周角相等），
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC=(180°-∠ABC)÷2=(180°-110°)÷2=35°，
∴ ∠DAB=∠CAD + ∠BAC=90°+35°=125°。
【答案】
125°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是正确添加辅助线AC，将待求角拆分为两个可求的圆周角之和，结合圆的相关性质和三角形内角和定理即可求解，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7

7.如图，点A，B，C，D，E在$\odot O$上.若$∠ ABD+∠ AEC=154°$,则$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角的度数为.

7. 26°

【分析】
解题时先结合圆周角定理，将已知的两个圆周角转化为对应弧的度数关系，再结合整圆圆周度数为360°求出弧CD的度数，最后根据弧与圆周角的对应关系计算弧CD所对的圆周角度数。第一步：明确每个圆周角对应的不包含顶点的弧，利用圆周角定理得到两个角与对应弧的数量关系；第二步：结合已知角度和，计算两段弧的度数之和；第三步：用整圆度数减去两段弧的度数和得到弧CD的度数；第四步：弧对应的圆周角为弧度数的一半，计算最终结果。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对的不包含顶点的弧的度数的一半。
1. $∠ ABD$的顶点为B，所对的弧为不经过B的$\overset{\frown}{AED}$，因此$∠ ABD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AED}$的度数；
$∠ AEC$的顶点为E，所对的弧为不经过E的$\overset{\frown}{ABC}$，因此$∠ AEC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{ABC}$的度数。
2. 已知$∠ ABD+∠ AEC=154°$，代入得：
$\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AED}的度数+\overset{\frown}{ABC}的度数)=154°$，
解得$\overset{\frown}{AED}的度数+\overset{\frown}{ABC}的度数=308°$。
3. 整圆的弧度数为$360°$，且$\overset{\frown}{ABC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AED}=360°$，因此：
$\overset{\frown}{CD}的度数=360°-308°=52°$。
4. 弧CD所对的圆周角为弧CD度数的一半，即$\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】
$26°$
【知识点】
圆周角定理，圆的基本性质
【点评】
本题重点考查圆周角定理的灵活应用，解题的核心是准确判断圆周角对应的弧段，避免混淆优弧和劣弧，推导过程中结合整圆的弧度数求解即可，属于基础的圆周角应用类题目。
【难度系数】
0.65

8. 如图,在圆内接四边形ABCD中,AD＜AC,连接BD,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC.求证:
(1)EF//BC.
(2)EF=BD.

8. (1)$\because$ 四边形ABCD是圆内接四边形，
$\therefore∠ ADC+∠ ABC=180°$.
$\because∠ AFE=∠ ADC$,
$\therefore∠ AFE+∠ ABC=180°$.
$\therefore EF// BC$.
(2)如图,过点D作$DG// BC$,交$\odot O$于点G,连接AG,CG.

$\because DG// BC$,
$\therefore∠ BCD=∠ CDG$.
$\therefore\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CG}$.
$\therefore BD=CG$.
易知四边形ACGD是圆内接四边形，
$\therefore∠ GDE=180°-∠ ADG=∠ ACG$.
$\because DG// BC$,由(1)知$EF// BC$,
$\therefore EF// DG$.
$\therefore∠ DEF=∠ GDE$.
$\therefore∠ DEF=∠ ACG$.
结合题图知,$∠ ADC=∠ AGC$.
$\because∠ AFE=∠ ADC$,
$\therefore∠ AFE=∠ AGC$.
又$AE=AC$,
$\therefore△ AEF≌△ ACG(\mathrm{AAS})$.
$\therefore EF=CG$.
又$BD=CG$,
$\therefore EF=BD$.

【分析】
(1) 要证$EF// BC$，可通过证明同旁内角互补推导：首先利用圆内接四边形对角互补的性质得到$∠ ADC+∠ ABC=180°$，结合已知$∠ AFE=∠ ADC$，等量代换后可得$∠ AFE$与$∠ ABC$互补，即可判定两直线平行。
(2) 要证$EF=BD$，可通过中间线段转化：作辅助线$DG// BC$交圆于点$G$，由平行线的性质可得等弧，进而推出$BD=CG$，接下来只需证明$EF=CG$即可；结合平行的传递性、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等，可找到$△ AEF$和$△ ACG$全等的条件，用AAS证明全等后得到$EF=CG$，最后等量代换即可得证。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$ABCD$是圆内接四边形，
$\therefore∠ ADC+∠ ABC=180°$。
$\because∠ AFE=∠ ADC$，
$\therefore∠ AFE+∠ ABC=180°$，
$\therefore EF// BC$。
(2) 如图，过点$D$作$DG// BC$，交$\odot O$于点$G$，连接$AG$，$CG$。

$\because DG// BC$，
$\therefore∠ BCD=∠ CDG$，
$\therefore\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CG}$，
$\therefore BD=CG$。
$\because$ 四边形$ACGD$是圆内接四边形，
$\therefore∠ GDE=180°-∠ ADG=∠ ACG$。
$\because DG// BC$，由(1)知$EF// BC$，
$\therefore EF// DG$，
$\therefore∠ DEF=∠ GDE$，
$\therefore∠ DEF=∠ ACG$。
$\because$ 同弧所对的圆周角相等，$\therefore∠ ADC=∠ AGC$，
又$\because∠ AFE=∠ ADC$，
$\therefore∠ AFE=∠ AGC$。
又$\because AE=AC$，
$\therefore△ AEF≌△ ACG(\mathrm{AAS})$，
$\therefore EF=CG$。
又$\because BD=CG$，
$\therefore EF=BD$。
【答案】
(1) 证明成立，$EF// BC$；
(2) 证明成立，$EF=BD$，辅助线：
【知识点】
圆内接四边形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，第一问难度较低，直接结合圆内接四边形的性质和平行线判定定理即可求解；第二问需要合理构造辅助线，通过等弧转化线段、构造全等三角形完成证明，对学生的逻辑推导能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6