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1.先化简,再求值:$(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x})÷(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x})$,其中$x=2-y$.
答案
原式$=(\frac{x}{xy}-\frac{y}{xy})÷(\frac{x^2}{xy}-\frac{y^2}{xy}) =\frac{x-y}{xy}÷\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{x-y}{xy}·\frac{xy}{x^2-y^2}=\frac{x-y}{xy}·\frac{xy}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x+y}.$
因为$x=2-y$,所以$x+y=2$,所以原式$=\frac{1}{x+y}=\frac{1}{2}.$
因为$x=2-y$,所以$x+y=2$,所以原式$=\frac{1}{x+y}=\frac{1}{2}.$
【典型例题2】甲、乙两位采购员去同一家饲料公司购买饲料，两位采购员均购买了两次，两次购买饲料的价格分别为$ m $元/千克和$ n $元/千克（$ m,n $均为正数，且$ m≠n $），甲每次购买1 000千克的饲料，乙每次购买800元的饲料.
（1）甲、乙两次购买饲料的平均价格各是多少？
（2）谁购买饲料的方式更合算？
【解】（1）甲每次购买1 000千克的饲料，两次购买饲料的价格分别为$ m $元/千克和$ n $元/千克，由此可得甲两次购买饲料的平均价格为$\frac{1000m + 1000n}{1000×2} = \frac{m + n}{2}$（元/千克）.
而乙每次购买800元的饲料，可得乙两次购买饲料的平均价格为$\frac{800×2}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/千克）.
（2）甲、乙两次购买饲料的平均价格的差为$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$.
因为$ m,n $均为正数，且$ m≠n $，所以$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，
即$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} ＞ 0$.
因此，乙购买饲料的方式更合算.
规律方法 作差法是比较两个代数式大小的基本方法，一般步骤：(1)作差；(2)变形，变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论，写出两个代数式的大小关系.
（1）甲、乙两次购买饲料的平均价格各是多少？
（2）谁购买饲料的方式更合算？
【解】（1）甲每次购买1 000千克的饲料，两次购买饲料的价格分别为$ m $元/千克和$ n $元/千克，由此可得甲两次购买饲料的平均价格为$\frac{1000m + 1000n}{1000×2} = \frac{m + n}{2}$（元/千克）.
而乙每次购买800元的饲料，可得乙两次购买饲料的平均价格为$\frac{800×2}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/千克）.
（2）甲、乙两次购买饲料的平均价格的差为$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$.
因为$ m,n $均为正数，且$ m≠n $，所以$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，
即$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} ＞ 0$.
因此，乙购买饲料的方式更合算.
规律方法 作差法是比较两个代数式大小的基本方法，一般步骤：(1)作差；(2)变形，变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论，写出两个代数式的大小关系.
答案
解：(1) 甲两次购买饲料的总费用为$1000m + 1000n$元，总购买量为$1000×2=2000$千克，
甲两次购买饲料的平均价格为：
$\frac{1000m + 1000n}{1000×2} = \frac{m + n}{2} \mathrm{（元/千克）}$
乙两次购买饲料的总费用为$800×2=1600$元，两次购买的总重量为$\frac{800}{m} + \frac{800}{n}$千克，
乙两次购买饲料的平均价格为：
$\frac{800×2}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{1600}{\frac{800n + 800m}{mn}} = \frac{2mn}{m + n} \mathrm{（元/千克）}$
(2) 计算甲、乙两人平均价格的差：
$\begin{aligned}\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} &= \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}\end{aligned}$
因为$m,n$均为正数，且$m≠ n$，所以$(m-n)^2＞0$，$2(m+n)＞0$，
可得$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$。
答：(1) 甲两次购买饲料的平均价格是$\frac{m+n}{2}$元/千克，乙两次购买饲料的平均价格是$\frac{2mn}{m+n}$元/千克；(2) 乙购买饲料的方式更合算。
甲两次购买饲料的平均价格为：
$\frac{1000m + 1000n}{1000×2} = \frac{m + n}{2} \mathrm{（元/千克）}$
乙两次购买饲料的总费用为$800×2=1600$元，两次购买的总重量为$\frac{800}{m} + \frac{800}{n}$千克，
乙两次购买饲料的平均价格为：
$\frac{800×2}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{1600}{\frac{800n + 800m}{mn}} = \frac{2mn}{m + n} \mathrm{（元/千克）}$
(2) 计算甲、乙两人平均价格的差：
$\begin{aligned}\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} &= \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} \\&= \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}\end{aligned}$
因为$m,n$均为正数，且$m≠ n$，所以$(m-n)^2＞0$，$2(m+n)＞0$，
可得$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$。
答：(1) 甲两次购买饲料的平均价格是$\frac{m+n}{2}$元/千克，乙两次购买饲料的平均价格是$\frac{2mn}{m+n}$元/千克；(2) 乙购买饲料的方式更合算。
【即学即练】
2. 小明从甲地到乙地的速度是$a$，从乙地返回甲地的速度是$b(a≠b)$，小彬从甲地到乙地，又从乙地返回甲地的速度一直是$\frac{a+b}{2}$. 小明和小彬在甲、乙两地往返一次，谁用的时间短？
2. 小明从甲地到乙地的速度是$a$，从乙地返回甲地的速度是$b(a≠b)$，小彬从甲地到乙地，又从乙地返回甲地的速度一直是$\frac{a+b}{2}$. 小明和小彬在甲、乙两地往返一次，谁用的时间短？
答案
设甲、乙两地之间的路程为$s$,由题意知,小明、小彬在甲、乙两地往返一次的时间差为$(\frac{s}{a}+\frac{s}{b}) - 2s ÷ \frac{a+b}{2} = \frac{s(a+b)}{ab} - 2s · \frac{2}{a+b} =\frac{s(a^2+b^2-2ab)}{ab(a+b)}=\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}.$
因为$a＞0,b＞0,s＞0,a≠b$,
所以$\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0.$
由此可知,小彬用的时间短.
因为$a＞0,b＞0,s＞0,a≠b$,
所以$\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0.$
由此可知,小彬用的时间短.
