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7 教材变式题 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AD的长为（
A.7
B.8
C.9
D.10
C
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
7. C 【解析】先证△ADC∽△CDB,得CD/BD = AD/CD,即6/4 = AD/6,解得AD=9.
8 [2026 苏州]如图,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$BC=2$,$E$是$AB$边上的动点(点$E$在点$A$,$B$之间运动,不与点$A$,$B$重合),过点$E$作$CE$的垂线,交$AD$边于点$F$,则$AE+AF$的最大值是 （
A.$\dfrac{21}{8}$
B.$3$
C.$\dfrac{25}{8}$
D.$\dfrac{27}{8}$
C
）A.$\dfrac{21}{8}$
B.$3$
C.$\dfrac{25}{8}$
D.$\dfrac{27}{8}$
答案
8. C 【解析】设AE=x(0＜x＜3),AE+AF=y.
∵ 四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=2,E是AB边上的动点,
∴ BE=3−x,∠A = ∠B = 90°.
∵ EF ⊥ CE,
∴ ∠CEF = 90°.
∵ ∠AFE+∠AEF=90°,∠BEC+∠AEF=90°,
∴ ∠AFE=∠BEC.
∴ △AFE ∽ △BEC.
∴ AF/BE = AE/BC.
∴ AF = AE·BE/BC = AE·BE/2 = 1/2 AE · BE.
∴ y=AE+AF=AE+ 1/2 AE · BE = x + 1/2 x (3−x) = −1/2 x² + 5/2 x.
∵ y = −1/2 x² + 5/2 x = −1/2 (x−5/2)² + 25/8,
∴ 当x=5/2时,y的值最大,最大值是25/8.
∴ AE+AF的最大值是25/8.
∵ 四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=2,E是AB边上的动点,
∴ BE=3−x,∠A = ∠B = 90°.
∵ EF ⊥ CE,
∴ ∠CEF = 90°.
∵ ∠AFE+∠AEF=90°,∠BEC+∠AEF=90°,
∴ ∠AFE=∠BEC.
∴ △AFE ∽ △BEC.
∴ AF/BE = AE/BC.
∴ AF = AE·BE/BC = AE·BE/2 = 1/2 AE · BE.
∴ y=AE+AF=AE+ 1/2 AE · BE = x + 1/2 x (3−x) = −1/2 x² + 5/2 x.
∵ y = −1/2 x² + 5/2 x = −1/2 (x−5/2)² + 25/8,
∴ 当x=5/2时,y的值最大,最大值是25/8.
∴ AE+AF的最大值是25/8.
9 教材变式题 学习了“直径所对的圆周角是直角”这一性质后，可在圆中利用直角实现等角转化，该方法灵活便捷. 比如：
（1）如图①，$△ ABC$ 的顶点都在$\odot O$ 上，$AD$ 是$△ ABC$ 的高，$AE$ 是$\odot O$ 的直径. $△ ABE$ 与$△ ACD$ 相似吗？为什么？
（2）如图②，$△ ABC$ 的顶点都在$\odot O$ 上，$\odot O$ 的半径为 13，$AC＝24$，$AD$ 是$△ ABC$ 的高，$AD＝18$，求 $AB$ 的长.
（1）如图①，$△ ABC$ 的顶点都在$\odot O$ 上，$AD$ 是$△ ABC$ 的高，$AE$ 是$\odot O$ 的直径. $△ ABE$ 与$△ ACD$ 相似吗？为什么？
（2）如图②，$△ ABC$ 的顶点都在$\odot O$ 上，$\odot O$ 的半径为 13，$AC＝24$，$AD$ 是$△ ABC$ 的高，$AD＝18$，求 $AB$ 的长.
答案
9. (1) △ABE 与△ADC 相似
∵ AE 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠ABE=90°.
∵ AD 是△ABC 的高，
∴ ∠ADC = 90°.
∴ ∠ABE=∠ADC.
∵ ∠E = ∠C，
∴ △ABE ∽ △ADC
(2) 如图,延长 AO 交⊙O 于点 E,连接 CE,
∵ ⊙O 的半径为13,
∴ AE=26. 由(1)的结论可得到△ABD∽△AEC,
∴ AB/AE = AD/AC,即 AB/26 = 18/24.
∴ AB = 39/2
10 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ BCA=90°$,$AB=10$,$AC=6$,动点 $P$ 从点 $A$ 开始在线段 $AC$ 上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 移动,同时动点 $Q$ 从点 $B$ 开始在线段 $BA$ 上以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 移动,设点 $P$,$Q$ 移动的时间为 $t$ 秒.
(1)（易错题）当 $t$ 为何值时,$△ APQ$ 与 $△ ACB$ 相似?
(2) 当 $t$ 为何值时,$△ APQ$ 的面积为 $\dfrac{24}{5}$?
(1)（易错题）当 $t$ 为何值时,$△ APQ$ 与 $△ ACB$ 相似?
(2) 当 $t$ 为何值时,$△ APQ$ 的面积为 $\dfrac{24}{5}$?
答案
10. (1) 由题意得 AP = t, BQ = 2t.
∵ AB = 10, AC = 6,
∴ AQ = 10 − 2t. 当 ∠APQ = ∠C 时, PQ // CB,
∴ 易得△APQ∽△ACB.
∴ AP/AC = AQ/AB.
∴ t/6 = (10−2t)/10,解得 t = 30/11. 当∠APQ=∠B 时,
∵ ∠A=∠A,
∴ △APQ∽△ABC.
∴ AP/AB = AQ/AC.
∴ t/10 = (10−2t)/6,解得 t = 50/13. 综上所述,当 t = 30/11 或 t = 50/13时,△APQ 与△ACB 相似
(2) 如图,作 QF⊥AC 于点 F,则∠QFA = 90°.
∵ ∠BCA = 90°, AB = 10, AC = 6,
∴ BC = √(AB²−AC²) = √(10²−6²) = 8.
∵ ∠QFA = ∠BCA, ∠A = ∠A,
∴ △AQF∽△ABC.
∴ QF/BC = AQ/AB.
∴ QF = (BC·AQ)/AB = 8(10−2t)/10 = 8−8/5 t.
∴ S△APQ = 1/2 AP · QF = 1/2 t (8−8/5 t) = 4t−4/5 t².
∵ S△APQ = 24/5,
∴ 4t−4/5 t² = 24/5,解得 t₁=2,t₂=3.
∴ 当 t=2 或 t=3 时,△APQ 的面积为 24/5
易错分析
10. (1) 考虑问题不全面容易导致漏解.题目问题是当 t 为何值时,△APQ 与△ACB 相似,这里△APQ 与△ACB 相似没有指明对应关系,因此必须分情况讨论.
