9（2026·镇江京口区期中）如图，$\odot O$的直径为10，A，B，C，D是$\odot O$上四个动点，且$AB=6$，$CD=8$，若点E，F分别是弦AB，CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是。

9.$1≤ EF≤7$
[解析]连接 $OE,OF,OA,OC$,如图所示：
$\because \odot O$ 的直径为 10,$\therefore OA=OC=5.$
$\because$ 点 $E,F$ 分别是弦 $AB,CD$ 的中点,$AB=6,CD=8,$
$\therefore OE⊥ AB,OF⊥ CD,AE=\frac{1}{2}AB=3,CF=\frac{1}{2}CD=4,$
$\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4,$
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3.$
当 $AB// CD$ 时,$E,O,F$ 三点共线，
当 $AB,CD$ 位于 $O$ 的同侧时,线段 $EF$ 的长度最短 $=OE-OF=1,$
当 $AB,CD$ 位于 $O$ 的两侧时,线段 $EF$ 的长度最长 $=OE+OF=7,$
$\therefore$ 线段 $EF$ 的长度的取值范围是 $1≤ EF≤7.$
归纳总结 本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题;熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.

10（2026·徐州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，P的坐标分别为(1,0),(3,4),(4,1)。若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为。

10.$(1,2),(5,4),(7,2)$

11 原创素养题几何直观如图，在$\odot O$中，直径$MN=10$，正方形$ABCD$的四个顶点分别在半径$OM$，$OP$以及$\odot O$上，并且$∠ POM=45°$，则$AB$的长为。

11.$\sqrt{5}$

12 如图,正比例函数 $y=2x$ 与反比例函数 $y=\frac{32}{25x}$ 的图象交于A,B两点,点P在以$C(-2,0)$为圆心,1为半径的$\odot C$上运动,点Q是AP的中点,求OQ长的最大值.

12. 联立正比例函数 $y=2x$ 与反比例函数 $y=\frac{32}{25x}$，
得 $\begin{cases}y=2x,\\y=\frac{32}{25x},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\frac{4}{5},\\y=\frac{8}{5}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-\frac{4}{5},\\y=-\frac{8}{5},\end{cases}$
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(\frac{4}{5},\frac{8}{5})$,点 $B$ 的坐标为 $(-\frac{4}{5},-\frac{8}{5}).$
如图,连接 $BP$,连接 $BC$ 并延长,交圆 $C$ 于点 $D.$
由反比例函数图象的对称性可知,点 $O$ 为 $AB$ 的中点.
$\because$ 点 $Q$ 为 $AP$ 的中点，
$\therefore OQ=\frac{1}{2}PB,$
$\therefore$ 当 $PB$ 长为最大值时,$OQ$ 取最大值.
当点 $P$ 运动到点 $D$ 时,$BP$ 取得最大值,即为 $BD$ 的长.
过点 $B$ 作 $BE⊥ x$ 轴于点 $E$,则 $OE=\frac{4}{5},BE=\frac{8}{5}.$
$\because$ 点 $C$ 的坐标为 $(-2,0),\therefore OC=2,CE=CO-OE=\frac{6}{5}.$
由勾股定理,得 $BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=2,$
$\therefore BD=BC+CD=3,\therefore OQ$ 长的最大值为 $\frac{3}{2}.$

13（2025·郑州中牟模拟）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”。
定义：从圆心到弦的距离叫作弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度。如图(1)，在$\odot O$中，$OC⊥ AB$，垂足为$C$，$OC_1⊥ A_1B_1$，垂足为$C_1$，$OC$和$OC_1$都是弦心距。实际上，我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图(2)，$O$是$∠ BPD$的平分线上一点，以点$O$为圆心的圆与角的两边分别交于$A,B,C,D$。
(1)求证：$AB=CD$。
(2)若角的顶点$P$在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明。

13. (1) 如图(1),过点 $O$ 作 $OM⊥ AB$ 于点 $M$,$ON⊥ CD$ 于点 $N$,
$\because PO$ 平分 $∠ EPF,\therefore OM=ON,\therefore AB=CD.$

(2)仍然成立，
证明:如图(2),当点 $P$ 在$\odot O$上时,过点 $O$ 作 $OM⊥ AB$ 于点 $M$,$ON⊥ CD$ 于点 $N$，
$\because PO$ 平分 $∠ EPF$,
$\therefore OM=ON,\therefore AB=CD;$

当点 $P$ 在$\odot O$内时,如图(3),
过点 $O$ 作 $OM⊥ AB$ 于点 $M$,$ON⊥ CD$ 于点 $N$,
$\because PO$ 平分 $∠ EPF,\therefore OM=ON,\therefore AB=CD.$