1[2026 四川成都期末,中]学习完数轴以后,喜欢探索的小聪在纸上画了一个数轴并进行探究:M,P,N,Q为数轴上的四个点,若点P,N表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最大的数的点是 ()


A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q

1.A 【解析】如图所示,因为点P,N表示的有理数互为相反数,所以原点O在P,N两点的正中间,所以图中点M距离原点O最远,即表示绝对值最大的数的点是点M.故选A.

2 新考向开放性试题 [2026 山东泰安期末,中]一个有理数$a$,满足$a$的相反数等于$a$的绝对值,则$a$可以是.(写出一个即可)

2.-1(答案不唯一) 【解析】因为$a$的相反数等于$a$的绝对值,所以$-a=|a|$,所以$a≤0$,所以$a$可以是-1.故答案为-1(答案不唯一).
关键点拨：通过$-a=|a|$得到$a≤0$是解题的关键.

3[中]中秋节前,月饼销量大幅度增加,某月饼加工厂为了满足市场需求,计划每天生产2000盒月饼,由于各种原因,实际每天的产量与原计划相比有出入,下表是某一周的生产情况(超过计划产量的部分记作正数,不足计划产量的部分记作负数,单位:盒):
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 生产情况 | +150 | -100 | | -100 | +200 | -150 | +100 |
已知该月饼加工厂实行计件工资制,每生产一盒月饼可获得5元.若按天计算,超额完成任务,超出部分每盒再加3元;若未完成任务,不足部分每盒扣2元,那么该月饼加工厂这一周的工资总额是元.

3.73 550 【解析】因为$150-100+300-100+200-150+100=400(\mathrm{盒})$,$2000×7+400=14400(\mathrm{盒})$,$14400×5+(150+300+200+100)×3=74250(\mathrm{元})$,$(|-100|+|-100|+|-150|)×2=700(\mathrm{元})$,所以该月饼加工厂这一周的工资总额是$74250-700=73550(\mathrm{元})$.

4[2026 山东聊城期末,较难]已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍,且数轴上表示这两数的两点之间的距离为 8,求这两个数.

4.【解】设甲数对应的点为点A,乙数对应的点为点B.分3种情况:当点A和点B在原点的两侧时,$8×\dfrac{1}{4}=2$,$8-2=6$,所以甲数是6,乙数是-2或甲数是-6,乙数是2;当点A和点B同在原点的右侧时,$8×\dfrac{1}{2}=4$,$4+8=12$,所以甲数是12,乙数是4;当点A和点B同在原点的左侧时,同理得到甲数是-12,乙数是-4.综上,甲数是6,乙数是-2;甲数是-6,乙数是2;甲数是12,乙数是4;甲数是-12,乙数是-4.

5[2025山东菏泽质检,较难]数轴上点A,B分别表示有理数a,b,AB表示A,B两点之间的距离,则AB=|a−b|.例如:数轴上表示数2和5的两点之间的距离为|2−5|=3;数轴上表示数3和−1的两点之间的距离为|3−(−1)|=4.又如:|x+2|可以写成|x−(−2)|,它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数−2的点之间的距离.
(1) 和为定值 |x+2|+|x−3|表示数轴上有理数x对应的点到−2和3对应的两点距离之和.若要使得|x+2|+|x−3|=5,利用数轴求出所有符合条件的整数x:.
(2) 偶数个绝对值之和最小 ①|x+3|+|x−4|的最小值是,此时x的范围是.②|x+7|+|x+4|+|x−2|+|x−5|的最小值是,此时x的范围是.
(3) 奇数个绝对值之和最小 ①|x+6|+|x+3|+|x−2|的最小值是,此时x的值是.②|x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−617|取最小值时,求x的值.

5.【解】(1)$|x+2|+|x-3|=5$表示数轴上有理数$x$对应的点到-2和3对应的两点距离之和.如图,因为表示-2和3的两点之间的距离是5,所以在-2和3之间(含-2和3)的整数符合题意,所以使得$|x+2|+|x-3|=5$成立的所有符合条件的整数$x$为-2,-1,0,1,2,3.故答案为-2,-1,0,1,2,3.

(2)①因为$|x+3|+|x-4|=|x-(-3)|+|x-4|$,所以$|x+3|+|x-4|$表示数轴上有理数$x$对应的点到-3和4对应的两点距离之和.假设点P在数轴上表示的数是$x$,点A表示的数是-3,点B表示的数是4,点P可能在点A的左边,点A和点B之间(含点A和点B)或点B的右边.当点P在点A的左边或点B的右边时,点P到A,B两点的距离之和均大于A,B两点间的距离;当点P在点A和点B之间(含点A和点B)时,点P到A,B两点的距离之和等于A,B两点间的距离,所以$x$在-3和4之间(含-3和4),即$-3≤ x≤4$时,$|x+3|+|x-4|$取得最小值,为7.故答案为7,$-3≤ x≤4$.
②因为$|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|=|x-(-7)|+|x-(-4)|+|x-2|+|x-5|$,所以$x$在2和-4之间(含2和-4),即$-4≤ x≤2$时,$|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|$取得最小值,为18.故答案为18,$-4≤ x≤2$.
(3)①因为$|x+6|+|x+3|+|x-2|=|x-(-6)|+|x-(-3)|+|x-2|$,所以$|x+6|+|x+3|+|x-2|$表示数轴上有理数$x$对应的点到-6,-3和2对应的点的距离之和.假设点P在数轴上表示的数是$x$,点A表示的数是-6,点B表示的数是-3,点C表示的数是2,易知当点P在点B处时,P到A,B,C三点的距离之和等于A,C两点间的距离;当点P在除点B外的任意位置时,P到A,B,C三点的距离之和均大于A,C两点间的距离,所以$x=-3$时,$|x+6|+|x+3|+|x-2|$取得最小值,为8.故答案为8,-3.
②因为$(1+617)÷2=309$,所以当$x=309$时,$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\dots+|x-617|$取得最小值.
技巧点拨：奇数个取中间值,偶数个取中间段.