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1 如图，$∠ ADE = ∠ ACB$，$BD = 8$，$CE = 4$，$CF=2$，求$DF$的长。
答案
1. $\because ∠ ADE = ∠ ACB, ∠ ADE = ∠ B + ∠ DFB, ∠ ACB = ∠ E + ∠ CFE, ∠ DFB = ∠ CFE, \therefore ∠ B = ∠ E. \therefore △ DFB ∽ △ CFE. \therefore \frac{BD}{EC}=\frac{DF}{CF}. \therefore \frac{8}{4}=\frac{DF}{2}. \therefore DF=4$
解析
【分析】
解题时首先从已知的等角∠ADE=∠ACB入手，结合三角形外角的性质，将这两个角分别拆分为两个小角的和，再利用对顶角相等的性质，推导得到△DFB和△CFE的一组对应角相等，结合对顶角相等即可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度就能求出DF的长。
【解析】
∵ $∠ ADE = ∠ ACB$，
根据三角形外角的性质，$∠ ADE = ∠ B + ∠ DFB$，$∠ ACB = ∠ E + ∠ CFE$，
又
∵ $∠ DFB$与$∠ CFE$是对顶角，$\therefore ∠ DFB = ∠ CFE$，
$\therefore ∠ B = ∠ E$，
$\therefore △ DFB ∽ △ CFE$，
$\therefore \frac{BD}{EC}=\frac{DF}{CF}$，
将$BD=8$，$CE=4$，$CF=2$代入得：$\frac{8}{4}=\frac{DF}{2}$，
解得$DF=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形外角性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题，解题核心是通过角的等量转化证明三角形相似，能够帮助学生巩固相似三角形的判定方法及性质的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的等角∠ADE=∠ACB入手，结合三角形外角的性质，将这两个角分别拆分为两个小角的和，再利用对顶角相等的性质，推导得到△DFB和△CFE的一组对应角相等，结合对顶角相等即可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度就能求出DF的长。
【解析】
∵ $∠ ADE = ∠ ACB$，
根据三角形外角的性质，$∠ ADE = ∠ B + ∠ DFB$，$∠ ACB = ∠ E + ∠ CFE$，
又
∵ $∠ DFB$与$∠ CFE$是对顶角，$\therefore ∠ DFB = ∠ CFE$，
$\therefore ∠ B = ∠ E$，
$\therefore △ DFB ∽ △ CFE$，
$\therefore \frac{BD}{EC}=\frac{DF}{CF}$，
将$BD=8$，$CE=4$，$CF=2$代入得：$\frac{8}{4}=\frac{DF}{2}$，
解得$DF=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形外角性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题，解题核心是通过角的等量转化证明三角形相似，能够帮助学生巩固相似三角形的判定方法及性质的应用。
【难度系数】
0.7
2 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E在对角线BD上,且BE=3,连接AE并延长,交DC于点F,求DF的长.
答案
2. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore AB// CD, ∠ BAD=90°, BC=AD=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, 由勾股定理, 得 $BD^2=AB^2+AD^2=3^2+4^2=25. \therefore BD=5. \therefore DE=BD-BE=5-3=2. \because DF// AB, \therefore ∠ EDF=∠ EBA. 又\because ∠ DEF=∠ BEA, \therefore △ DEF ∽ △ BEA. \therefore \frac{DE}{BE}=\frac{DF}{BA},即\frac{2}{3}=\frac{DF}{3}. \therefore DF=2$
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形对边平行且相等、内角为直角，我们可以先在Rt△ABD中用勾股定理算出对角线BD的长度，再结合已知BE的长度求出DE的长度；接着观察到DF和AB平行，可得到△DEF和△BEA相似，利用相似三角形对应边成比例的性质就能列出比例式求出DF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，$\therefore AB// CD, ∠ BAD=90°, BC=AD=4$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，由勾股定理，得 $BD^2=AB^2+AD^2=3^2+4^2=25$，$\therefore BD=5$。
$\therefore DE=BD-BE=5-3=2$。
$\because DF// AB, \therefore ∠ EDF=∠ EBA$，又$\because ∠ DEF=∠ BEA$，$\therefore △ DEF ∽ △ BEA$。
$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{DF}{BA}$，即$\frac{2}{3}=\frac{DF}{3}$，$\therefore DF=2$。
【答案】
$DF=2$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，找到相似三角形，借助相似的性质建立边的比例关系求解，是对几何基础知识点应用的常规考查。
【难度系数】
0.7
解题时先从矩形的性质入手，矩形对边平行且相等、内角为直角，我们可以先在Rt△ABD中用勾股定理算出对角线BD的长度，再结合已知BE的长度求出DE的长度；接着观察到DF和AB平行，可得到△DEF和△BEA相似，利用相似三角形对应边成比例的性质就能列出比例式求出DF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，$\therefore AB// CD, ∠ BAD=90°, BC=AD=4$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，由勾股定理，得 $BD^2=AB^2+AD^2=3^2+4^2=25$，$\therefore BD=5$。
$\therefore DE=BD-BE=5-3=2$。
$\because DF// AB, \therefore ∠ EDF=∠ EBA$，又$\because ∠ DEF=∠ BEA$，$\therefore △ DEF ∽ △ BEA$。
$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{DF}{BA}$，即$\frac{2}{3}=\frac{DF}{3}$，$\therefore DF=2$。
【答案】
$DF=2$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，找到相似三角形，借助相似的性质建立边的比例关系求解，是对几何基础知识点应用的常规考查。
【难度系数】
0.7
3 如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，$DF// AC$，$AE=3$，$AC=5$，$BC=10$，则$CF$的长为
6
。答案
3. 6
解析
【分析】
解题时先观察图形中的平行条件，首先由$DE// BC$可判定$△ ADE$与$△ ABC$相似，利用相似三角形对应边成比例求出$DE$的长度；再结合$DF// AC$、$DE// BC$可判定四边形$DECF$是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可得到$CF$的长度，也可通过平行线分线段成比例先求$BF$的长度再计算$CF$，两种方法均可。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
根据相似三角形对应边成比例，得 $\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
将$AE=3$，$AC=5$，$BC=10$代入上式：
$\frac{3}{5}=\frac{DE}{10}$，解得 $DE=6$。
又$\because DE// BC$，$DF// AC$，
$\therefore$ 四边形$DECF$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
$\therefore CF=DE=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何基础计算题，核心是利用平行线的性质推导相似三角形和平行四边形，进而求解未知线段长度，解题时要准确识别图形中的特殊四边形和相似三角形模型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形中的平行条件，首先由$DE// BC$可判定$△ ADE$与$△ ABC$相似，利用相似三角形对应边成比例求出$DE$的长度；再结合$DF// AC$、$DE// BC$可判定四边形$DECF$是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可得到$CF$的长度，也可通过平行线分线段成比例先求$BF$的长度再计算$CF$，两种方法均可。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
根据相似三角形对应边成比例，得 $\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
将$AE=3$，$AC=5$，$BC=10$代入上式：
$\frac{3}{5}=\frac{DE}{10}$，解得 $DE=6$。
又$\because DE// BC$，$DF// AC$，
$\therefore$ 四边形$DECF$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
$\therefore CF=DE=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何基础计算题，核心是利用平行线的性质推导相似三角形和平行四边形，进而求解未知线段长度，解题时要准确识别图形中的特殊四边形和相似三角形模型。
【难度系数】
0.7
4 如图，D，E 分别为$△ ABC$的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且$\frac{EO}{BO}=\frac{DO}{CO}$，连接DE，则$△ ADE$与$△ ABC$相似吗？请说明理由。
答案
4. 相似 理由: $\because \frac{EO}{BO}=\frac{DO}{CO}, ∠ BOE=∠ COD, ∠ DOE=∠ COB, \therefore △ BOE ∽ △ COD, △ DOE ∽ △ COB. \therefore ∠ EBO=∠ DCO, ∠ DEO=∠ CBO. \because ∠ ADE=∠ DCO+∠ DEO, ∠ ABC=∠ EBO+∠ CBO, \therefore ∠ ADE=∠ ABC. 又\because ∠ A=∠ A, \therefore △ ADE ∽ △ ABC.$
解析
【分析】
要判断△ADE与△ABC是否相似，我们可以结合已知条件逐步推导：首先题目给出了线段比例$\frac{EO}{BO}=\frac{DO}{CO}$，再结合图中的对顶角相等，可先证明两组小三角形相似，得到对应角相等；再利用三角形外角的性质，推导得到△ADE和△ABC的一组对应角相等，最后结合公共角∠A，即可利用相似三角形的判定定理得出结论。
【解析】
△ADE与△ABC相似，理由如下：
$\because \frac{EO}{BO}=\frac{DO}{CO}$，$∠ BOE=∠ COD$（对顶角相等），$∠ DOE=∠ COB$（对顶角相等）
$\therefore △ BOE ∽ △ COD$，$△ DOE ∽ △ COB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore ∠ EBO=∠ DCO$，$∠ DEO=∠ CBO$（相似三角形的对应角相等）
$\because ∠ ADE=∠ DCO+∠ DEO$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），$∠ ABC=∠ EBO+∠ CBO$
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC$（等量代换）
又$\because ∠ A=∠ A$（公共角）
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
【答案】
$△ ADE$与$△ ABC$相似
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.三角形外角的性质
3.对顶角的性质
【点评】
本题考查相似三角形的综合应用，解题的关键是先利用线段比例和对顶角证明小三角形相似，得到角的等量关系，再结合角的和差关系推导大三角形的对应角相等，进而判定相似，解题时要注意梳理图形中的边角关系，灵活运用相关定理。
【难度系数】
0.7
要判断△ADE与△ABC是否相似，我们可以结合已知条件逐步推导：首先题目给出了线段比例$\frac{EO}{BO}=\frac{DO}{CO}$，再结合图中的对顶角相等，可先证明两组小三角形相似，得到对应角相等；再利用三角形外角的性质，推导得到△ADE和△ABC的一组对应角相等，最后结合公共角∠A，即可利用相似三角形的判定定理得出结论。
【解析】
△ADE与△ABC相似，理由如下：
$\because \frac{EO}{BO}=\frac{DO}{CO}$，$∠ BOE=∠ COD$（对顶角相等），$∠ DOE=∠ COB$（对顶角相等）
$\therefore △ BOE ∽ △ COD$，$△ DOE ∽ △ COB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore ∠ EBO=∠ DCO$，$∠ DEO=∠ CBO$（相似三角形的对应角相等）
$\because ∠ ADE=∠ DCO+∠ DEO$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），$∠ ABC=∠ EBO+∠ CBO$
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC$（等量代换）
又$\because ∠ A=∠ A$（公共角）
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
【答案】
$△ ADE$与$△ ABC$相似
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.三角形外角的性质
3.对顶角的性质
【点评】
本题考查相似三角形的综合应用，解题的关键是先利用线段比例和对顶角证明小三角形相似，得到角的等量关系，再结合角的和差关系推导大三角形的对应角相等，进而判定相似，解题时要注意梳理图形中的边角关系，灵活运用相关定理。
【难度系数】
0.7
