登录
6 某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%.经试销发现，销售量$y$(件)与销售单价$x$(元)符合一次函数关系$y=-x+120$.有下列结论：
① 销售单价可以是90元；② 该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；③ 销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元.其中，正确的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
① 销售单价可以是90元；② 该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；③ 销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元.其中，正确的个数是 (
B
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
6. B
解析
【分析】
解题首先要明确销售单价的合法取值范围，这是容易被忽略的前提条件；再根据“总利润=单件利润×销售量”建立利润关于销售单价的二次函数关系，最后结合单价范围逐个验证三个结论的正确性。第一步先求x的范围：成本60元，故x≥60；利润不高于成本的45%，故单件利润≤60×45%=27，即x≤87，因此x的取值范围为60≤x≤87。再推导利润的二次函数表达式，结合函数性质和取值范围逐一判断结论即可。
【解析】
首先确定销售单价x的取值范围：
由题意得，销售单价不低于成本，因此$x≥ 60$；
又单件利润不得高于成本的45%，因此$x-60≤ 60× 45\%=27$，解得$x≤ 87$；
综上，销售单价的取值范围为$60≤ x≤ 87$。
设销售总利润为$w$元，根据“总利润=单件利润×销售量”可得：
$w=(x-60)y=(x-60)(-x+120)=-x^2+180x-7200$
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为直线$x=\frac{180}{2}=90$。
逐一判断结论：
① 销售单价为90元时，$90＞87$，超出单价上限，因此①错误；
② 因为二次函数开口向下，对称轴为$x=90$，在$60≤ x≤87$范围内，$w$随$x$的增大而增大，因此当$x=87$时利润最大：
$w_{max}=(87-60)×(120-87)=27×33=891$元，因此②正确；
③ 令$w=500$，可得方程：
$(x-60)(-x+120)=500$
整理得$x^2-180x+7700=0$，判别式$\Delta=180^2-4×7700=1600$
解得$x_1=\frac{180+40}{2}=110$，$x_2=\frac{180-40}{2}=70$
其中$x_1=110＞87$，不符合单价范围，舍去，仅$x=70$符合要求，因此只有1个销售单价满足利润为500元，③错误。
综上，仅1个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数利润问题、一元二次方程的解法、二次函数最值
【点评】
本题的易错点是忽略题目限定的销售单价取值范围，直接按二次函数对称轴求最值或保留方程的所有根，解题时要注意结合实际意义对计算结果进行取舍。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确销售单价的合法取值范围，这是容易被忽略的前提条件；再根据“总利润=单件利润×销售量”建立利润关于销售单价的二次函数关系，最后结合单价范围逐个验证三个结论的正确性。第一步先求x的范围：成本60元，故x≥60；利润不高于成本的45%，故单件利润≤60×45%=27，即x≤87，因此x的取值范围为60≤x≤87。再推导利润的二次函数表达式，结合函数性质和取值范围逐一判断结论即可。
【解析】
首先确定销售单价x的取值范围：
由题意得，销售单价不低于成本，因此$x≥ 60$；
又单件利润不得高于成本的45%，因此$x-60≤ 60× 45\%=27$，解得$x≤ 87$；
综上，销售单价的取值范围为$60≤ x≤ 87$。
设销售总利润为$w$元，根据“总利润=单件利润×销售量”可得：
$w=(x-60)y=(x-60)(-x+120)=-x^2+180x-7200$
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为直线$x=\frac{180}{2}=90$。
逐一判断结论：
① 销售单价为90元时，$90＞87$，超出单价上限，因此①错误；
② 因为二次函数开口向下，对称轴为$x=90$，在$60≤ x≤87$范围内，$w$随$x$的增大而增大，因此当$x=87$时利润最大：
$w_{max}=(87-60)×(120-87)=27×33=891$元，因此②正确；
③ 令$w=500$，可得方程：
$(x-60)(-x+120)=500$
整理得$x^2-180x+7700=0$，判别式$\Delta=180^2-4×7700=1600$
解得$x_1=\frac{180+40}{2}=110$，$x_2=\frac{180-40}{2}=70$
其中$x_1=110＞87$，不符合单价范围，舍去，仅$x=70$符合要求，因此只有1个销售单价满足利润为500元，③错误。
综上，仅1个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数利润问题、一元二次方程的解法、二次函数最值
【点评】
本题的易错点是忽略题目限定的销售单价取值范围，直接按二次函数对称轴求最值或保留方程的所有根，解题时要注意结合实际意义对计算结果进行取舍。
【难度系数】
0.6
7 [2024 贵州]某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
日销售量y/盒 …
52 48 44 40 …
（1）求y与x之间的函数表达式.
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，则m的值是多少？
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
日销售量y/盒 …
52 48 44 40 …（1）求y与x之间的函数表达式.
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，则m的值是多少？
答案
7. (1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+n$($k≠0$). 由题意,得$\begin{cases}12k+n=56,\\14k+n=52,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\n=80.\end{cases}$ $\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-2x+80$
(2) 设日销售利润为$w$元. 由题意,得$w=(x-10)(-2x+80)=-2x^2+100x-800=-2(x^2-50x+625)-800+1250=-2(x-25)^2+450$. $\therefore$ 糖果销售单价定为25元时,所获日销售利润最大,最大利润是 450 元
(3) 由题意,得$w=(x-10-m)(-2x+80)=-2x^2+(100+2m)x-800-80m$. $\because$ 最大利润为 392 元,
$\therefore \dfrac{4×(-2)(-800-80m)-(100+2m)^2}{4×(-2)}=392$. 整理,得$m^2-60m+116=0$,即$(m-2)(m-58)=0$,解得$m_1=2$,$m_2=58$. 当$m=58$时,$x=-\dfrac{100+2×58}{2×(-2)}=54$,每盒糖果的利润$=54-10-58=-14$(元),不合题意,舍去;当$m=2$时,$x=-\dfrac{100+2×2}{2×(-2)}=26$,每盒糖果的利润$=26-10-2=14$(元). 综上所述,$m$的值为2
(2) 设日销售利润为$w$元. 由题意,得$w=(x-10)(-2x+80)=-2x^2+100x-800=-2(x^2-50x+625)-800+1250=-2(x-25)^2+450$. $\therefore$ 糖果销售单价定为25元时,所获日销售利润最大,最大利润是 450 元
(3) 由题意,得$w=(x-10-m)(-2x+80)=-2x^2+(100+2m)x-800-80m$. $\because$ 最大利润为 392 元,
$\therefore \dfrac{4×(-2)(-800-80m)-(100+2m)^2}{4×(-2)}=392$. 整理,得$m^2-60m+116=0$,即$(m-2)(m-58)=0$,解得$m_1=2$,$m_2=58$. 当$m=58$时,$x=-\dfrac{100+2×58}{2×(-2)}=54$,每盒糖果的利润$=54-10-58=-14$(元),不合题意,舍去;当$m=2$时,$x=-\dfrac{100+2×2}{2×(-2)}=26$,每盒糖果的利润$=26-10-2=14$(元). 综上所述,$m$的值为2
解析
【分析】
（1）已知y与x是一次函数关系，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式，再从表格中选取两组x、y的对应值代入，解二元一次方程组得到系数，即可确定函数表达式。
（2）日销售利润=单盒利润×日销售量，单盒利润为销售单价减去进价10元，日销售量为（1）中求得的y，据此列出利润关于销售单价的二次函数，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，通过配方或顶点公式即可求出最大利润及对应单价。
（3）赠送礼品后，单盒实际利润变为（x-10-m）元，同理列出新的利润关于x的二次函数，结合最大利润为392元，利用二次函数最值公式列方程求解m，最后需结合“单盒利润为正”的实际要求，舍去不符合题意的解。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+n$（$k≠0$），将$\begin{cases}x=12,y=56\\x=14,y=52\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}12k+n=56\\14k+n=52\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\n=80\end{cases}$
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-2x+80$。
(2) 设日销售利润为$w$元，由题意得：
$w=(x-10)(-2x+80)$
$=-2x^2+100x-800$
$=-2(x-25)^2+450$
$\because -2＜0$，$\therefore$当$x=25$时，$w$取最大值450。
(3) 赠送礼品后，日利润为：
$w=(x-10-m)(-2x+80)$
$=-2x^2+(100+2m)x-800-80m$
由最大利润为392元，结合二次函数最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$得：
$\frac{4×(-2)×(-800-80m)-(100+2m)^2}{4×(-2)}=392$
整理得$m^2-60m+116=0$，即$(m-2)(m-58)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=58$。
检验：当$m=58$时，对应销售单价为54元，单盒利润为$54-10-58=-14$元，不符合实际，舍去；当$m=2$时，对应销售单价为26元，单盒利润为$26-10-2=14$元，符合实际。
综上，$m=2$。
【答案】
(1) $y=-2x+80$
(2) 销售单价定为25元时，日销售利润最大，最大利润为450元
(3) $m=2$
【知识点】
待定系数法求一次函数、二次函数最值应用、一元二次方程求解
【点评】
本题是销售类实际应用的典型题型，综合考查了函数与方程的相关知识，解题时需注意结合实际意义对计算结果进行取舍，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.6
（1）已知y与x是一次函数关系，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式，再从表格中选取两组x、y的对应值代入，解二元一次方程组得到系数，即可确定函数表达式。
（2）日销售利润=单盒利润×日销售量，单盒利润为销售单价减去进价10元，日销售量为（1）中求得的y，据此列出利润关于销售单价的二次函数，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，通过配方或顶点公式即可求出最大利润及对应单价。
（3）赠送礼品后，单盒实际利润变为（x-10-m）元，同理列出新的利润关于x的二次函数，结合最大利润为392元，利用二次函数最值公式列方程求解m，最后需结合“单盒利润为正”的实际要求，舍去不符合题意的解。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+n$（$k≠0$），将$\begin{cases}x=12,y=56\\x=14,y=52\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}12k+n=56\\14k+n=52\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\n=80\end{cases}$
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-2x+80$。
(2) 设日销售利润为$w$元，由题意得：
$w=(x-10)(-2x+80)$
$=-2x^2+100x-800$
$=-2(x-25)^2+450$
$\because -2＜0$，$\therefore$当$x=25$时，$w$取最大值450。
(3) 赠送礼品后，日利润为：
$w=(x-10-m)(-2x+80)$
$=-2x^2+(100+2m)x-800-80m$
由最大利润为392元，结合二次函数最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$得：
$\frac{4×(-2)×(-800-80m)-(100+2m)^2}{4×(-2)}=392$
整理得$m^2-60m+116=0$，即$(m-2)(m-58)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=58$。
检验：当$m=58$时，对应销售单价为54元，单盒利润为$54-10-58=-14$元，不符合实际，舍去；当$m=2$时，对应销售单价为26元，单盒利润为$26-10-2=14$元，符合实际。
综上，$m=2$。
【答案】
(1) $y=-2x+80$
(2) 销售单价定为25元时，日销售利润最大，最大利润为450元
(3) $m=2$
【知识点】
待定系数法求一次函数、二次函数最值应用、一元二次方程求解
【点评】
本题是销售类实际应用的典型题型，综合考查了函数与方程的相关知识，解题时需注意结合实际意义对计算结果进行取舍，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.6
8 随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器人，通过统计该产品2025年每个月的销售情况，发现每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2025年第$x$个($x$为整数)月每台的售价为$y$元，$y$与$x$之间的函数关系如图所示(图中$A-B-C$为折线).
(1)当$1≤x≤10$时，求每台的售价$y$与$x$之间的函数表达式.
(2)设该产品2025年第$x$个月的销售数量为$m$万台，$m$与$x$的关系可以用$m=\dfrac{1}{10}x+1$来描述，则哪个月的销售收入最多？最多为多少万元(销售收入$=$每台的售价$×$销售数量)？
(1)当$1≤x≤10$时，求每台的售价$y$与$x$之间的函数表达式.
(2)设该产品2025年第$x$个月的销售数量为$m$万台，$m$与$x$的关系可以用$m=\dfrac{1}{10}x+1$来描述，则哪个月的销售收入最多？最多为多少万元(销售收入$=$每台的售价$×$销售数量)？
答案
8. (1) 当$1≤ x≤10$时,设每台的售价$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$($k≠0$). $\because$ 图象过$A(1,2850)$,$B(10,1500)$两点,
$\therefore \begin{cases}2850=k+b,\\1500=10k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-150,\\b=3000.\end{cases}$ $\therefore$ 当$1≤ x≤10$时,每台的售价$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-150x+3000$
(2) 设销售收入为$w$万元. ① 当$1≤ x≤10$时,$w=(-150x+3000)·(\dfrac{1}{10}x+1)=-15(x-5)^2+3375$. $\because -15＜0$,$\therefore$ 当$x=5$时,$w_{\mathrm{最大}}=3375$. ② 当$10＜x≤12$时,$w=1500(\dfrac{1}{10}x+1)=150x+1500$. $\because 150＞0$,$\therefore w$的值随$x$值的增大而增大. $\therefore$ 当$x=12$时,$w_{\mathrm{最大}}=150×12+1500=3300$. $\because 3375＞3300$,$\therefore$ 第5 个月的销售收入最多,最多为 3375 万元
$\therefore \begin{cases}2850=k+b,\\1500=10k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-150,\\b=3000.\end{cases}$ $\therefore$ 当$1≤ x≤10$时,每台的售价$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-150x+3000$
(2) 设销售收入为$w$万元. ① 当$1≤ x≤10$时,$w=(-150x+3000)·(\dfrac{1}{10}x+1)=-15(x-5)^2+3375$. $\because -15＜0$,$\therefore$ 当$x=5$时,$w_{\mathrm{最大}}=3375$. ② 当$10＜x≤12$时,$w=1500(\dfrac{1}{10}x+1)=150x+1500$. $\because 150＞0$,$\therefore w$的值随$x$值的增大而增大. $\therefore$ 当$x=12$时,$w_{\mathrm{最大}}=150×12+1500=3300$. $\because 3375＞3300$,$\therefore$ 第5 个月的销售收入最多,最多为 3375 万元
解析
【分析】
(1) 当$1≤x≤10$时，$y$与$x$的函数图象为直线，属于一次函数，可采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，再将图象上已知的$A(1,2850)$、$B(10,1500)$两点坐标代入，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$即可得到函数表达式。
(2) 销售收入$w=$每台售价$y×$销售数量$m$，需分两段讨论：①当$1≤x≤10$时，将$y$和$m$的表达式代入$w=y·m$，整理为二次函数后结合开口方向和顶点求该区间最大值；②当$10＜x≤12$时，售价$y$固定为1500元，代入后得到一次函数，结合增减性求该区间最大值，最后比较两个区间的最大值即可得到结果。
【解析】
(1) 当$1≤ x≤10$时，设每台的售价$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
$\because$ 图象过$A(1,2850)$，$B(10,1500)$两点，
$\therefore \begin{cases}2850=k+b\\1500=10k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-150\\b=3000\end{cases}$。
$\therefore$ 当$1≤ x≤10$时，每台的售价$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-150x+3000$（$x$为整数）。
(2) 设销售收入为$w$万元。
① 当$1≤ x≤10$时，$w=(-150x+3000)·(\dfrac{1}{10}x+1)=-15(x-5)^2+3375$。
$\because -15＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当$x=5$时，$w_{\mathrm{最大}}=3375$万元。
② 当$10＜x≤12$时，由图象得$y=1500$，则$w=1500(\dfrac{1}{10}x+1)=150x+1500$。
$\because 150＞0$，$w$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=12$时，$w_{\mathrm{最大}}=150×12+1500=3300$万元。
$\because 3375＞3300$，因此第5个月销售收入最多。
【答案】
(1) $y=-150x+3000$（$1≤x≤10$，$x$为整数）
(2) 第5个月的销售收入最多，最多为3375万元
【知识点】
待定系数法求一次函数，二次函数最值应用，分段函数求解
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的综合应用，解题关键是根据自变量的取值范围分段讨论不同的函数关系，结合对应函数的性质求解最值，需注意计算的准确性，避免配方、代入时出错。
【难度系数】
0.65
(1) 当$1≤x≤10$时，$y$与$x$的函数图象为直线，属于一次函数，可采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，再将图象上已知的$A(1,2850)$、$B(10,1500)$两点坐标代入，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$即可得到函数表达式。
(2) 销售收入$w=$每台售价$y×$销售数量$m$，需分两段讨论：①当$1≤x≤10$时，将$y$和$m$的表达式代入$w=y·m$，整理为二次函数后结合开口方向和顶点求该区间最大值；②当$10＜x≤12$时，售价$y$固定为1500元，代入后得到一次函数，结合增减性求该区间最大值，最后比较两个区间的最大值即可得到结果。
【解析】
(1) 当$1≤ x≤10$时，设每台的售价$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
$\because$ 图象过$A(1,2850)$，$B(10,1500)$两点，
$\therefore \begin{cases}2850=k+b\\1500=10k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-150\\b=3000\end{cases}$。
$\therefore$ 当$1≤ x≤10$时，每台的售价$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-150x+3000$（$x$为整数）。
(2) 设销售收入为$w$万元。
① 当$1≤ x≤10$时，$w=(-150x+3000)·(\dfrac{1}{10}x+1)=-15(x-5)^2+3375$。
$\because -15＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当$x=5$时，$w_{\mathrm{最大}}=3375$万元。
② 当$10＜x≤12$时，由图象得$y=1500$，则$w=1500(\dfrac{1}{10}x+1)=150x+1500$。
$\because 150＞0$，$w$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=12$时，$w_{\mathrm{最大}}=150×12+1500=3300$万元。
$\because 3375＞3300$，因此第5个月销售收入最多。
【答案】
(1) $y=-150x+3000$（$1≤x≤10$，$x$为整数）
(2) 第5个月的销售收入最多，最多为3375万元
【知识点】
待定系数法求一次函数，二次函数最值应用，分段函数求解
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的综合应用，解题关键是根据自变量的取值范围分段讨论不同的函数关系，结合对应函数的性质求解最值，需注意计算的准确性，避免配方、代入时出错。
【难度系数】
0.65
