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1 新考法 如图，两段斜坡$MO=NO=8\ \mathrm{m}$，$MO$段的坡度为$1:1$，$NO$段的坡度为$1:\sqrt{3}$，则$∠ MON=\_\_\_\_\_\_°$。若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高度不超过$15\ \mathrm{cm}$，则这一处斜坡最少可以建造的台阶数为
65
。（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$）答案
【解析】如图，过点O作OA⊥MP于A, OB ⊥ NP 于 B, 易得∠AOB=90°.
∵ MO 段的坡度为 1:1,
∴ ∠OMA= 45°,
∴ ∠MOA = 45°.
∵ NO 段的坡度为 1:√3,
∴ ∠NOB=30°,
∴ ∠MON= 45°+ 90° + 30° = 165°. 在 Rt △MOA 中,
∵ ∠MOA=45°, MO= 8 m,
∴ MA=OA=√2/2 MO=4√2 m. 在 Rt △ONB 中,
∵ ∠NOB=30°, ON= 8 m,
∴ BN=1/2 ON= 4 m,
∴ OA+BN=4√2+4≈9.64( m ),9.64 m = 964 cm,
∴ 964÷15=64 4/15,
∴ 这一处斜坡最少可以建造的台阶数为 65.
解析
【分析】
要计算∠MON的度数，首先结合坡度的定义求解：过O作水平、竖直方向的垂线，可将∠MON拆分为三个角的和，利用坡度对应坡角的正切值求出两段斜坡与垂线的夹角，再结合直角即可求和。计算最少台阶数时，需明确所有台阶的总高度等于两段斜坡的铅直高度之和，先通过解直角三角形求出两段斜坡的铅直高度，求和换算单位后除以单级台阶的最大高度，注意台阶数为正整数，有余数时需向上取整。
【解析】
如图，过点O作OA⊥MP于A，OB⊥NP于B，易得∠AOB=90°。
∵ MO段的坡度为1:1，
∴ ∠OMA= 45°，
∴ ∠MOA = 45°。
∵ NO段的坡度为$1:\sqrt{3}$，
∴ ∠NOB=30°，
∴ $∠ MON= 45°+ 90° + 30° = 165°$。
在$\mathrm{Rt} △ MOA$中，
∵ $∠ MOA=45°$，$MO= 8\ \mathrm{m}$，
∴ $MA=OA=\frac{\sqrt{2}}{2} MO=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt} △ ONB$中，
∵ $∠ NOB=30°$，$ON= 8\ \mathrm{m}$，
∴ $BN=\frac{1}{2} ON= 4\ \mathrm{m}$，
∴ $OA+BN=4\sqrt{2}+4\approx9.64\ \mathrm{m}$，$9.64\ \mathrm{m} = 964\ \mathrm{cm}$，
∴ $964÷15=64\frac{4}{15}$，台阶数需取整数且高度不超过15cm，因此最少可以建造的台阶数为65。
【答案】
$\boxed{165}$；$\boxed{65}$
【知识点】
坡度与坡角、解直角三角形、实际问题取近似值
【点评】
本题结合斜坡改建台阶的生活场景，考查坡角相关的解直角三角形应用，解题关键是准确理解坡度的含义，拆分角度求解，同时注意台阶数需采用进一法取整，避免因四舍五入导致台阶高度超出限制。
【难度系数】
0.6
要计算∠MON的度数，首先结合坡度的定义求解：过O作水平、竖直方向的垂线，可将∠MON拆分为三个角的和，利用坡度对应坡角的正切值求出两段斜坡与垂线的夹角，再结合直角即可求和。计算最少台阶数时，需明确所有台阶的总高度等于两段斜坡的铅直高度之和，先通过解直角三角形求出两段斜坡的铅直高度，求和换算单位后除以单级台阶的最大高度，注意台阶数为正整数，有余数时需向上取整。
【解析】
如图，过点O作OA⊥MP于A，OB⊥NP于B，易得∠AOB=90°。
∵ MO段的坡度为1:1，
∴ ∠OMA= 45°，
∴ ∠MOA = 45°。
∵ NO段的坡度为$1:\sqrt{3}$，
∴ ∠NOB=30°，
∴ $∠ MON= 45°+ 90° + 30° = 165°$。
在$\mathrm{Rt} △ MOA$中，
∵ $∠ MOA=45°$，$MO= 8\ \mathrm{m}$，
∴ $MA=OA=\frac{\sqrt{2}}{2} MO=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt} △ ONB$中，
∵ $∠ NOB=30°$，$ON= 8\ \mathrm{m}$，
∴ $BN=\frac{1}{2} ON= 4\ \mathrm{m}$，
∴ $OA+BN=4\sqrt{2}+4\approx9.64\ \mathrm{m}$，$9.64\ \mathrm{m} = 964\ \mathrm{cm}$，
∴ $964÷15=64\frac{4}{15}$，台阶数需取整数且高度不超过15cm，因此最少可以建造的台阶数为65。
【答案】
$\boxed{165}$；$\boxed{65}$
【知识点】
坡度与坡角、解直角三角形、实际问题取近似值
【点评】
本题结合斜坡改建台阶的生活场景，考查坡角相关的解直角三角形应用，解题关键是准确理解坡度的含义，拆分角度求解，同时注意台阶数需采用进一法取整，避免因四舍五入导致台阶高度超出限制。
【难度系数】
0.6
2[2026安徽蚌埠质检]【研究背景】今年春晚，《秧BOT》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞. 高精度3D激光雷达、深度相机、激光SLAM技术等先进技术，实现了实时捕捉舞台环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致. 这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用.
【数据采集】如图，在测试机器人爬坡(坡角∠BAF=30°)能力的过程中，当机器人行走至B点时，测得小腿BC与斜坡的夹角∠CBG=30°，大腿CD与小腿BC的夹角∠BCD=90°，AB=20 cm.
【数据应用】已知机器人的小腿BC的长度为40 cm，大腿上D点与A点的连线与水平面AF垂直. 根据上述数据，计算大腿CD的长度(结果精确到1 cm，参考数据：$\sqrt{3}≈1.73$).
【数据采集】如图，在测试机器人爬坡(坡角∠BAF=30°)能力的过程中，当机器人行走至B点时，测得小腿BC与斜坡的夹角∠CBG=30°，大腿CD与小腿BC的夹角∠BCD=90°，AB=20 cm.
【数据应用】已知机器人的小腿BC的长度为40 cm，大腿上D点与A点的连线与水平面AF垂直. 根据上述数据，计算大腿CD的长度(结果精确到1 cm，参考数据：$\sqrt{3}≈1.73$).
答案
【解】延长 DC 交 AG 于点 E.
∵ ∠BCD=90°,∠CBG=30°,
∴ ∠AED=60°.
∵ ∠BAF=30°, AD⊥AF,
∴ ∠DAE=60°,
∴ 易得△ADE 是等边三角形,
∴ AE=DE,
∴ AB+BE=CE+CD,
∴ CD=AB+BE-CE.
∵ BC= 40 cm,
∴ 在Rt△BCE 中,BE= BC/cos∠CBE = 40/(√3/2) = 80√3/3 (cm), CE= BC · tan∠CBE= 40×√3/3 = 40√3/3 (cm),
∴ CD= AB+BE-CE= 20 + 80√3/3 - 40√3/3 = 20 + 40√3/3 ≈43(cm).
答:大腿 CD 的长度约为 43 cm.
∵ ∠BCD=90°,∠CBG=30°,
∴ ∠AED=60°.
∵ ∠BAF=30°, AD⊥AF,
∴ ∠DAE=60°,
∴ 易得△ADE 是等边三角形,
∴ AE=DE,
∴ AB+BE=CE+CD,
∴ CD=AB+BE-CE.
∵ BC= 40 cm,
∴ 在Rt△BCE 中,BE= BC/cos∠CBE = 40/(√3/2) = 80√3/3 (cm), CE= BC · tan∠CBE= 40×√3/3 = 40√3/3 (cm),
∴ CD= AB+BE-CE= 20 + 80√3/3 - 40√3/3 = 20 + 40√3/3 ≈43(cm).
答:大腿 CD 的长度约为 43 cm.
解析
【分析】
解决本题的核心是通过构造辅助线，把未知边和已知边角建立关联。首先考虑延长DC交AG于点E，利用已知的直角和30°角先推导相关角的度数，判断出△ADE是等边三角形，得到AE=DE的等量关系，进而推导出CD和AB、BE、CE的数量关系；再在Rt△BCE中利用特殊角的三角函数值求出BE、CE的长度，代入数量关系即可求出CD的长度。
【解析】
延长 DC 交 AG 于点 E。
∵ ∠BCD=90°，∠CBG=30°，
∴ ∠BCE=90°，∠CBE=30°，可得∠AED=90°-30°=60°。
∵ ∠BAF=30°，AD⊥AF，
∴ ∠DAE=90°-30°=60°，
∴ △ADE中∠DAE=∠AED=60°，即△ADE是等边三角形，
∴ AE=DE。
又
∵ AE=AB+BE，DE=CE+CD，
∴ AB+BE=CE+CD，变形得CD=AB+BE-CE。
在Rt△BCE中，BC=40 cm，∠CBE=30°，
∴ $BE=\frac{BC}{\cos30°}=\frac{40}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{80\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$，
$CE=BC·\tan30°=40×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$，
代入得：
$CD=20+\frac{80\sqrt{3}}{3}-\frac{40\sqrt{3}}{3}=20+\frac{40\sqrt{3}}{3}\approx20+\frac{40×1.73}{3}\approx43(\mathrm{cm})$。
【答案】
大腿CD的长度约为43 cm
【知识点】
解直角三角形的应用；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合科技应用场景考查几何知识的实际运用，解题关键是合理添加辅助线，将不规则图形的边长计算转化为特殊三角形的边长求解，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是通过构造辅助线，把未知边和已知边角建立关联。首先考虑延长DC交AG于点E，利用已知的直角和30°角先推导相关角的度数，判断出△ADE是等边三角形，得到AE=DE的等量关系，进而推导出CD和AB、BE、CE的数量关系；再在Rt△BCE中利用特殊角的三角函数值求出BE、CE的长度，代入数量关系即可求出CD的长度。
【解析】
延长 DC 交 AG 于点 E。
∵ ∠BCD=90°，∠CBG=30°，
∴ ∠BCE=90°，∠CBE=30°，可得∠AED=90°-30°=60°。
∵ ∠BAF=30°，AD⊥AF，
∴ ∠DAE=90°-30°=60°，
∴ △ADE中∠DAE=∠AED=60°，即△ADE是等边三角形，
∴ AE=DE。
又
∵ AE=AB+BE，DE=CE+CD，
∴ AB+BE=CE+CD，变形得CD=AB+BE-CE。
在Rt△BCE中，BC=40 cm，∠CBE=30°，
∴ $BE=\frac{BC}{\cos30°}=\frac{40}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{80\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$，
$CE=BC·\tan30°=40×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$，
代入得：
$CD=20+\frac{80\sqrt{3}}{3}-\frac{40\sqrt{3}}{3}=20+\frac{40\sqrt{3}}{3}\approx20+\frac{40×1.73}{3}\approx43(\mathrm{cm})$。
【答案】
大腿CD的长度约为43 cm
【知识点】
解直角三角形的应用；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合科技应用场景考查几何知识的实际运用，解题关键是合理添加辅助线，将不规则图形的边长计算转化为特殊三角形的边长求解，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
3[2026安徽亳州质检]直线$y=\frac{4}{3}x -5$的向上方向与$x$轴正方向所夹的锐角为$α$，则$\sinα$的值为（
A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
C
）A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
【解析】
∵ 直线 $y=\frac{4}{3} x-5$,
∴ 这条直线向上方向与 $x$ 轴正方向所夹的锐角 $α$ 的正切值为 $\frac{4}{3}$, 即 $\tan α=\frac{4}{3}$, 所以易得 $\sin α=\frac{4}{5}$, 故选 C.
∵ 直线 $y=\frac{4}{3} x-5$,
∴ 这条直线向上方向与 $x$ 轴正方向所夹的锐角 $α$ 的正切值为 $\frac{4}{3}$, 即 $\tan α=\frac{4}{3}$, 所以易得 $\sin α=\frac{4}{5}$, 故选 C.
解析
【分析】
遇到直线与x轴正方向夹角求三角函数值的问题时，可按以下思路推导：首先回忆一次函数$y=kx+b$中斜率$k$的几何意义，即$k$等于直线向上方向与x轴正方向所夹锐角的正切值，据此先得到$\tanα$的数值；再结合锐角三角函数的定义，通过设参数表示直角三角形的边长，用勾股定理求出斜边，最后根据正弦函数的定义计算$\sinα$的值即可。
【解析】
∵ 直线解析式为$y=\frac{4}{3}x -5$，
∴ 该直线的斜率$k=\frac{4}{3}$，即直线向上方向与x轴正方向所夹锐角α的正切值$\tanα=\frac{4}{3}$，也就是α所在直角三角形中对边与邻边的比值为$\frac{4}{3}$。
设α所在直角三角形的对边长为$4a$（$a＞0$），邻边长为$3a$，根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{(4a)^2+(3a)^2}=\sqrt{16a^2+9a^2}=\sqrt{25a^2}=5a$
根据正弦函数的定义，$\sinα=\frac{对边}{斜边}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数斜率的几何意义；锐角三角函数定义；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与锐角三角函数结合的基础典型题，解题核心是掌握一次函数中k与倾斜角正切值的对应关系，结合三角函数定义和勾股定理即可快速求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
遇到直线与x轴正方向夹角求三角函数值的问题时，可按以下思路推导：首先回忆一次函数$y=kx+b$中斜率$k$的几何意义，即$k$等于直线向上方向与x轴正方向所夹锐角的正切值，据此先得到$\tanα$的数值；再结合锐角三角函数的定义，通过设参数表示直角三角形的边长，用勾股定理求出斜边，最后根据正弦函数的定义计算$\sinα$的值即可。
【解析】
∵ 直线解析式为$y=\frac{4}{3}x -5$，
∴ 该直线的斜率$k=\frac{4}{3}$，即直线向上方向与x轴正方向所夹锐角α的正切值$\tanα=\frac{4}{3}$，也就是α所在直角三角形中对边与邻边的比值为$\frac{4}{3}$。
设α所在直角三角形的对边长为$4a$（$a＞0$），邻边长为$3a$，根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{(4a)^2+(3a)^2}=\sqrt{16a^2+9a^2}=\sqrt{25a^2}=5a$
根据正弦函数的定义，$\sinα=\frac{对边}{斜边}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数斜率的几何意义；锐角三角函数定义；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与锐角三角函数结合的基础典型题，解题核心是掌握一次函数中k与倾斜角正切值的对应关系，结合三角函数定义和勾股定理即可快速求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
4 若正比例函数$y=kx$的图象与$x$轴负半轴的夹角为$60°$，则$k$的值为（
A.$\pm\sqrt{3}$
B.$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
A
）A.$\pm\sqrt{3}$
B.$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
【解析】设点 A 是正比例函数 $y=k x$ 图象上的一点,过 A 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 B.
当直线过第二、四象限时,如图(1)所示.
∵ 正比例函数 $y=k x$ 的图象与 $x$ 轴负半轴的夹角为 $60°, \therefore ∠ A O B=60°$. 设 $A(a, k a)$, 则 $O B=|a|=-a, A B=k a$. $\because \tan ∠ A O B=\frac{A B}{O B}$,
$\therefore \frac{k a}{-a}=\sqrt{3}, \therefore k=-\sqrt{3}$.
当直线过第一、三象限时,如图(2)所示.
∵ 正比例函数 $y=k x$ 的图象与 $x$ 轴负半轴的夹角为 $60°, \therefore ∠ A O B=60°$. 设 $A(a, k a)$, 则 $O B=|a|=a, A B=k a$. $\because \tan ∠ A O B=\frac{A B}{O B}, \therefore \frac{k a}{a}=\sqrt{3}, \therefore k=\sqrt{3}$. 综上, $k= \pm \sqrt{3}$. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先明确正比例函数$y=kx$的图象是过原点的直线，存在两种分布情况：过第一、三象限或过第二、四象限，因此$k$的取值有两种可能。接下来我们可以在直线上取一点，向$x$轴作垂线构造直角三角形，结合直线与$x$轴负半轴夹角为$60°$的条件，利用正切函数的定义即可分别求出两种情况下$k$的值。
【解析】
设点A是正比例函数$y=kx$图象上的一点，过A作$AB ⊥ x$轴于点B。
当直线过第二、四象限时，如图(1)所示。
$\because$ 正比例函数$y=kx$的图象与$x$轴负半轴的夹角为$60°$，$\therefore ∠ AOB=60°$。设$A(a,ka)$，则$OB=|a|=-a$，$AB=ka$。$\because \tan∠ AOB=\frac{AB}{OB}$，
$\therefore \frac{ka}{-a}=\sqrt{3}$，$\therefore k=-\sqrt{3}$。
当直线过第一、三象限时，如图(2)所示。
$\because$ 正比例函数$y=kx$的图象与$x$轴负半轴的夹角为$60°$，$\therefore ∠ AOB=60°$。设$A(a,ka)$，则$OB=|a|=a$，$AB=ka$。$\because \tan∠ AOB=\frac{AB}{OB}$，$\therefore \frac{ka}{a}=\sqrt{3}$，$\therefore k=\sqrt{3}$。综上，$k=\pm\sqrt{3}$。故选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数性质，锐角三角函数，分类讨论
【点评】
本题重点考查正比例函数的图象特征与锐角三角函数的结合应用，解题的关键是要考虑到正比例函数图象的两种分布情况，避免因遗漏分类导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正比例函数$y=kx$的图象是过原点的直线，存在两种分布情况：过第一、三象限或过第二、四象限，因此$k$的取值有两种可能。接下来我们可以在直线上取一点，向$x$轴作垂线构造直角三角形，结合直线与$x$轴负半轴夹角为$60°$的条件，利用正切函数的定义即可分别求出两种情况下$k$的值。
【解析】
设点A是正比例函数$y=kx$图象上的一点，过A作$AB ⊥ x$轴于点B。
当直线过第二、四象限时，如图(1)所示。
$\because$ 正比例函数$y=kx$的图象与$x$轴负半轴的夹角为$60°$，$\therefore ∠ AOB=60°$。设$A(a,ka)$，则$OB=|a|=-a$，$AB=ka$。$\because \tan∠ AOB=\frac{AB}{OB}$，
$\therefore \frac{ka}{-a}=\sqrt{3}$，$\therefore k=-\sqrt{3}$。
当直线过第一、三象限时，如图(2)所示。
$\because$ 正比例函数$y=kx$的图象与$x$轴负半轴的夹角为$60°$，$\therefore ∠ AOB=60°$。设$A(a,ka)$，则$OB=|a|=a$，$AB=ka$。$\because \tan∠ AOB=\frac{AB}{OB}$，$\therefore \frac{ka}{a}=\sqrt{3}$，$\therefore k=\sqrt{3}$。综上，$k=\pm\sqrt{3}$。故选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数性质，锐角三角函数，分类讨论
【点评】
本题重点考查正比例函数的图象特征与锐角三角函数的结合应用，解题的关键是要考虑到正比例函数图象的两种分布情况，避免因遗漏分类导致漏解。
【难度系数】
0.7
5 新考向 跨学科综合 [2026安徽芜湖校级期中]如图(1)是小红同学组装的化学实验装置，组装要求为试管口略向下倾斜，铁夹固定在距试管口三分之一处。如图(2)为该装置的示意图。已知试管$AB=24\ \mathrm{cm}$，$BE=\frac{1}{3}AB$，试管倾斜角$α$为$10°$。实验时，为了保持装置稳定，导管紧贴水槽壁$MN$，延长$BM$交$CN$的延长线于点$F$（点$C$，$D$，$N$，$F$在同一条水平线上），测得$DE=27.36\ \mathrm{cm}$，$∠ ABM=145°$，求点$F$到铁架台支架$DE$的水平距离（即$DF$的长度）。（参考数据：$\sin 10°\approx0.17$，$\cos 10°\approx0.98$，$\tan 10°\approx0.18$，结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$）
答案
【解】如图,过点 B 作 CF 的平行线交 ED 于点 G,交 NM 的延长线于点 H,作 $B T ⊥ C F$ 于点 T, 则 $∠ E B G=α=10°, ∠ H B M=180°-(145°-α)=45°=∠ B F T, \therefore$ 易得 $△ B F T$ 为等腰直角三角形, $\therefore B T=T F=D G$. $\because A B=24 \mathrm{~cm}$,
$\therefore B E=\frac{1}{3} A B=8 \mathrm{~cm}$. 在 $△ B E G$ 中, $G E=B E · \sin α \approx 8 × 0.17=1.36(\mathrm{~cm}), B G=B E · \cos α \approx 8 × 0.98=7.84(\mathrm{~cm}), \therefore G D=D E-E G=27.36-1.36=26(\mathrm{~cm}), \therefore B T=T F=26 \mathrm{~cm}$,
$\therefore D F=D T+T F=7.84+26 \approx 33.8(\mathrm{~cm})$.
答:点 F 到铁架台支架 DE 的水平距离约为 33.8 cm.
解析
【分析】
本题是结合化学实验场景的解直角三角形实际应用题，求解思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形和特殊三角形，将倾斜的线段、角度转化为可计算的水平、竖直线段；其次利用已知的AB长度求出BE，再借助锐角三角函数计算含10°角的直角三角形的边长，得到竖直方向DG的长度；接着通过角度推导判断△BTF为等腰直角三角形，得到TF的长度；最后将水平方向的两段长度相加即可得到DF的长度。
【解析】
解：如图，过点B作CF的平行线交ED于点G，交NM的延长线于点H，作 $BT ⊥ CF$ 于点T，
则 $∠ E B G=α=10°$，$∠ H B M=180°-(145°-α)=45°=∠ B F T$，可得$△ B F T$ 为等腰直角三角形，即$BT=TF$。
易知四边形DGBT为矩形，因此$BT=DG$，$DT=BG$。
$\because AB=24 \mathrm{~cm}$，$\therefore BE=\frac{1}{3}AB=8 \mathrm{~cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ B E G$ 中，
$G E=B E · \sin α \approx 8 × 0.17=1.36(\mathrm{~cm})$，
$B G=B E · \cos α \approx 8 × 0.98=7.84(\mathrm{~cm})$，
$\therefore G D=D E-E G=27.36-1.36=26(\mathrm{~cm})$，即$BT=TF=26 \mathrm{~cm}$，
$\therefore D F=D T+T F=BG+TF=7.84+26 \approx 33.8(\mathrm{~cm})$。
【答案】
点F到铁架台支架DE的水平距离约为$\boldsymbol{33.8\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用；锐角三角函数；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为跨学科综合题，结合化学实验装置的实际场景考查几何知识的应用，需要学生准确提取题干中的几何条件，合理构造辅助线，将实际问题转化为数学问题求解，能有效考查学生的知识迁移能力和综合分析能力。
【难度系数】
0.6
本题是结合化学实验场景的解直角三角形实际应用题，求解思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形和特殊三角形，将倾斜的线段、角度转化为可计算的水平、竖直线段；其次利用已知的AB长度求出BE，再借助锐角三角函数计算含10°角的直角三角形的边长，得到竖直方向DG的长度；接着通过角度推导判断△BTF为等腰直角三角形，得到TF的长度；最后将水平方向的两段长度相加即可得到DF的长度。
【解析】
解：如图，过点B作CF的平行线交ED于点G，交NM的延长线于点H，作 $BT ⊥ CF$ 于点T，
则 $∠ E B G=α=10°$，$∠ H B M=180°-(145°-α)=45°=∠ B F T$，可得$△ B F T$ 为等腰直角三角形，即$BT=TF$。
易知四边形DGBT为矩形，因此$BT=DG$，$DT=BG$。
$\because AB=24 \mathrm{~cm}$，$\therefore BE=\frac{1}{3}AB=8 \mathrm{~cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ B E G$ 中，
$G E=B E · \sin α \approx 8 × 0.17=1.36(\mathrm{~cm})$，
$B G=B E · \cos α \approx 8 × 0.98=7.84(\mathrm{~cm})$，
$\therefore G D=D E-E G=27.36-1.36=26(\mathrm{~cm})$，即$BT=TF=26 \mathrm{~cm}$，
$\therefore D F=D T+T F=BG+TF=7.84+26 \approx 33.8(\mathrm{~cm})$。
【答案】
点F到铁架台支架DE的水平距离约为$\boldsymbol{33.8\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用；锐角三角函数；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为跨学科综合题，结合化学实验装置的实际场景考查几何知识的应用，需要学生准确提取题干中的几何条件，合理构造辅助线，将实际问题转化为数学问题求解，能有效考查学生的知识迁移能力和综合分析能力。
【难度系数】
0.6
