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12. [2025杭州上城区期中] 如图，△ABC被分成7个面积相等的小三角形，其中AC=96，则GI的长度为
30
。答案
12.30 【点拨】
∵△ABC被分成7个面积相等的小三角形，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△CDE}}=\frac{1}{5}$,
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{5}$,
∴$EC=\frac{5}{6}AC=\frac{5}{6}×96=80$；同理可得$\frac{EG}{GC}=\frac{1}{3}$,
∴$GC=\frac{3}{4}EC=\frac{3}{4}×80=60$；同理可得$\frac{GI}{IC}=1$,
∴$GI=\frac{1}{2}GC=\frac{1}{2}×60=30$.
∵△ABC被分成7个面积相等的小三角形，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△CDE}}=\frac{1}{5}$,
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{5}$,
∴$EC=\frac{5}{6}AC=\frac{5}{6}×96=80$；同理可得$\frac{EG}{GC}=\frac{1}{3}$,
∴$GC=\frac{3}{4}EC=\frac{3}{4}×80=60$；同理可得$\frac{GI}{IC}=1$,
∴$GI=\frac{1}{2}GC=\frac{1}{2}×60=30$.
13.如图,点 C 为直线 AB 外一动点,AB=5,连接 CA,CB,D,E 分别是 AB,BC 的中点,连接 AE,CD 交于点 F,当四边形 BEFD 的面积为 5 时,线段 AC 的最小长度为
6
.答案
13.6 【点拨】如图，连接 BF，过点 C 作CH⊥AB 于点 H.
∵D,E 分别是 AB,BC 的中点，
∴ $S_{△ABE} = S_{△ACE} = \frac{1}{2}S_{△ABC} = S_{△ADC} = S_{△BDC}$，$S_{△AFD} = S_{△BFD}$，$S_{△CEF} = S_{△BEF}$，
∴$S_{△CEF} + S_{四边形BDFE} = S_{△CEF} + S_{△ACF}$，$S_{△AFD} + S_{△CEF} = S_{△BFD} + S_{△BEF} = S_{四边形BDFE} = 5$，
∴$S_{四边形BDFE} = S_{△ACF} = 5$，
∴ $S_{△ABC} = S_{△ACF} + S_{四边形BDFE} + S_{△AFD} + S_{△CEF} = 15$，
∴$\frac{1}{2} CH · AB = 15$.
∵AB=5,
∴CH=6. 又
∵垂线段最短，
∴AC≥CH=6，
∴线段 AC 的最小长度为 6.
14. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C＞∠ B$,AD是高,AE是$△ ABC$的角平分线.
(1)当$∠ B=26°,∠ C=74°$时,求$∠ DAE$的度数;
(2)根据第(1)问得到的启示,判断$∠ C-∠ B$与$∠ DAE$之间有怎样的等量关系,并说明理由.
(1)当$∠ B=26°,∠ C=74°$时,求$∠ DAE$的度数;
(2)根据第(1)问得到的启示,判断$∠ C-∠ B$与$∠ DAE$之间有怎样的等量关系,并说明理由.
答案
14.【解】(1)
∵∠B=26°,∠C=74°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−26°−74°=80°.
∵AD是高，AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=90°−∠B = 90°−26°=64°, ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}×80°=40°$,
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=64°−40°=24°.
(2)∠C−∠B=2∠DAE. 理由如下：
在△ABC中，∠BAC=180°−∠B−∠C.
∵AD是高，
∴∠BAD=90°−∠B.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}(180°−∠B−∠C)$,
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=90°−∠B−$\frac{1}{2}(180°−∠B−∠C)=\frac{1}{2}(∠C−∠B)$,
即∠C−∠B=2∠DAE.
∵∠B=26°,∠C=74°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−26°−74°=80°.
∵AD是高，AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=90°−∠B = 90°−26°=64°, ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}×80°=40°$,
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=64°−40°=24°.
(2)∠C−∠B=2∠DAE. 理由如下：
在△ABC中，∠BAC=180°−∠B−∠C.
∵AD是高，
∴∠BAD=90°−∠B.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}(180°−∠B−∠C)$,
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=90°−∠B−$\frac{1}{2}(180°−∠B−∠C)=\frac{1}{2}(∠C−∠B)$,
即∠C−∠B=2∠DAE.
15. 新视角 操作实践题 如图①，有一块三角形菜地，若从顶点A修一条笔直的小路交BC于点D，小路正好将菜地分成面积相等的两部分.
(1)画出D点的位置并说明理由.
(2)假设在菜地中有一点E，如图②所示，BC上是否存在点F，使折线A－E－F将$△ ABC$分为面积相等的两部分.若存在，请画出F点的位置，并说明理由.
(1)画出D点的位置并说明理由.
(2)假设在菜地中有一点E，如图②所示，BC上是否存在点F，使折线A－E－F将$△ ABC$分为面积相等的两部分.若存在，请画出F点的位置，并说明理由.
答案
15.【解】(1)如图①，取 BC 的中点 D，点 D 即为所求. 理由：连接 AD.
∵D 为 BC 的中点，
∴BD=CD，
∴△ABD与△ACD等底同高，
∴$S_{△ABD} = S_{△ACD}$.
(2)存在. 如图②，取 BC 的中点 D，连接 AD,AE,DE，过点 A 作 AF//DE，交 BC 于点 F，点 F 即为所求.
理由如下：连接 EF 交 AD 于点 O，
由(1)知，$S_{△ADB} = S_{△ADC}$.
∵DE//AF，
∴点 D 到 AF 的距离与点 E 到 AF 的距离相等，
∴$S_{△AEF} = S_{△ADF}$，
∴$S_{△AEO} = S_{△DFO}$，
∴$S_{四边形ABFE} = S_{四边形AEFC}$.
16. 如图，在平面直角坐标系中，点$A(0,a)$在$y$轴的正半轴上，点$B(b,0)$在$x$轴的正半轴上，且$(a-6)^2 + |b-3| = 0$.
(1)求点$A$，$B$的坐标；
(2)$C(m,n)$是线段$AB$上一点，若$m=n$，求$m,n$的值；
(3)在(2)的条件下，连接$OC$，$F$是$OA$的中点，连接$BF$交$OC$于点$M$，求$\frac{FM}{BM}$的值.
(1)求点$A$，$B$的坐标；
(2)$C(m,n)$是线段$AB$上一点，若$m=n$，求$m,n$的值；
(3)在(2)的条件下，连接$OC$，$F$是$OA$的中点，连接$BF$交$OC$于点$M$，求$\frac{FM}{BM}$的值.
答案
16.【解】(1)
∵$(a−6)^2 + |b−3| = 0$，
∴$(a−6)^2=0$，$|b−3|=0$，
∴$a=6,b=3$,
∴$A(0,6),B(3,0)$.
(2)连接OC，由题意得$S_{△AOC} + S_{△BOC} = S_{△AOB}$，即$\frac{1}{2} ×6m + \frac{1}{2} ×3n = \frac{1}{2} ×3×6$，整理，得$2m+n=6$. 又
∵$m=n$,
∴$m=n=2$.
(3)如图，过点 C 作CH⊥x轴于点 H，连接MH.
∵$m=n=2$,
∴$OH=CH=2$.
设$M(x,y)$，由$S_{△OMH} + S_{△BMH} = S_{△OCH}$，得$\frac{1}{2} ×2y + \frac{1}{2} ×2×(2−x) = \frac{1}{2} ×2×2$，整理，得$x=y$.
易知$OB=3,OF=3$,
∴$S_{△OFM} = \frac{1}{2} ×3x, S_{△OBM} = \frac{1}{2} ×3y$,
∴$S_{△OFM} = S_{△OBM} , ∴FM=BM, ∴\frac{FM}{BM}=1$.
