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1. 若函数$y=(m-2)x^{m^2 - m} + x - 1$是关于x的二次函数，则常数m的值是
-1
。答案
1. -1
解析
【分析】
要确定常数m的值，需依据二次函数的定义思考：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的解，就能得到最终m的值。
【解析】
根据二次函数的定义，可列出两个约束条件：
1. 自变量x的最高次数为2：
$m^2 - m = 2$
整理为标准一元二次方程：$m^2 - m - 2 = 0$
因式分解得：$(m - 2)(m + 1) = 0$
解得：$m = 2$ 或 $m = -1$
2. 二次项系数不为0：
$m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$
综上，舍去不符合要求的$m=2$，得$m=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，解题的易错点是容易忽略“二次项系数不为0”的隐含限制条件，导致错解为2或-1，求解此类问题时要注意对结果进行验证，排除不符合定义的取值。
【难度系数】
0.7
要确定常数m的值，需依据二次函数的定义思考：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的解，就能得到最终m的值。
【解析】
根据二次函数的定义，可列出两个约束条件：
1. 自变量x的最高次数为2：
$m^2 - m = 2$
整理为标准一元二次方程：$m^2 - m - 2 = 0$
因式分解得：$(m - 2)(m + 1) = 0$
解得：$m = 2$ 或 $m = -1$
2. 二次项系数不为0：
$m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$
综上，舍去不符合要求的$m=2$，得$m=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，解题的易错点是容易忽略“二次项系数不为0”的隐含限制条件，导致错解为2或-1，求解此类问题时要注意对结果进行验证，排除不符合定义的取值。
【难度系数】
0.7
2.(哈尔滨中考)抛物线$y=x^2 -2x +c$与y轴交于点$C(0,-3)$，与x轴交于点A,B，则线段AB的长是 。
答案
2. 4
解析
【分析】
解题思路：第一步，已知抛物线与y轴交点C的坐标，将其代入抛物线解析式即可求出未知参数c，得到完整的抛物线表达式；第二步，要求抛物线与x轴交点A、B的距离，令y=0，解对应的一元二次方程得到两个交点的横坐标；第三步，利用x轴上两点间距离等于横坐标差的绝对值，就能求出线段AB的长度。
【解析】
1. 求参数c的值
将点$C(0,-3)$代入抛物线解析式$y=x^2 -2x +c$，代入$x=0$、$y=-3$得：
$-3=0^2-2×0+c$，解得$c=-3$，因此抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$。
2. 求抛物线与x轴的交点坐标
令$y=0$，可得一元二次方程：$x^2-2x-3=0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，即A、B两点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$。
3. 计算线段AB的长度
x轴上两点间距离为横坐标差的绝对值，因此$AB=|3-(-1)|=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；因式分解法解一元二次方程；坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数基础常考题，核心是利用图象上已知点坐标确定函数解析式，再通过解方程得到抛物线与x轴交点坐标，进而计算线段长度，是二次函数与一元二次方程结合的典型题型。
【难度系数】
0.8
解题思路：第一步，已知抛物线与y轴交点C的坐标，将其代入抛物线解析式即可求出未知参数c，得到完整的抛物线表达式；第二步，要求抛物线与x轴交点A、B的距离，令y=0，解对应的一元二次方程得到两个交点的横坐标；第三步，利用x轴上两点间距离等于横坐标差的绝对值，就能求出线段AB的长度。
【解析】
1. 求参数c的值
将点$C(0,-3)$代入抛物线解析式$y=x^2 -2x +c$，代入$x=0$、$y=-3$得：
$-3=0^2-2×0+c$，解得$c=-3$，因此抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$。
2. 求抛物线与x轴的交点坐标
令$y=0$，可得一元二次方程：$x^2-2x-3=0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，即A、B两点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$。
3. 计算线段AB的长度
x轴上两点间距离为横坐标差的绝对值，因此$AB=|3-(-1)|=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；因式分解法解一元二次方程；坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数基础常考题，核心是利用图象上已知点坐标确定函数解析式，再通过解方程得到抛物线与x轴交点坐标，进而计算线段长度，是二次函数与一元二次方程结合的典型题型。
【难度系数】
0.8
3.（开封龙亭区期中）二次函数$y=x^2 - 2x + 1$在$-5≤ x≤3$范围内的最大值与最小值的差为 。
答案
3. 36
解析
【分析】
要解决二次函数在给定闭区间内的最值差问题，首先需明确二次函数的基本性质：先通过解析式确定开口方向、对称轴，结合开口方向判断函数的增减规律：开口向上时，对称轴处取最小值，离对称轴越远的点函数值越大；再对比区间端点到对称轴的距离，找到最大值的取值点，分别计算最大值和最小值后求差即可。
【解析】
首先将二次函数解析式化为顶点式：
$y=x^2 - 2x + 1=(x-1)^2$
由顶点式可知，$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
在$-5≤x≤3$范围内：
1. 求最小值：因为抛物线开口向上，且顶点在给定区间内，所以当$x=1$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=0$；
2. 求最大值：计算区间端点到对称轴的距离：$\vert -5 -1 \vert =6$，$\vert 3 -1 \vert =2$，因为$6＞2$，所以$x=-5$时函数值更大，代入得$y_{\mathrm{max}}=(-5-1)^2=36$。
因此最大值与最小值的差为$36-0=36$。
【答案】
36
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数区间最值求解
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性判断最值位置，解题时需注意不要直接代入区间端点计算最值，要先判断顶点是否在给定区间内，避免遗漏顶点处的最值。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数在给定闭区间内的最值差问题，首先需明确二次函数的基本性质：先通过解析式确定开口方向、对称轴，结合开口方向判断函数的增减规律：开口向上时，对称轴处取最小值，离对称轴越远的点函数值越大；再对比区间端点到对称轴的距离，找到最大值的取值点，分别计算最大值和最小值后求差即可。
【解析】
首先将二次函数解析式化为顶点式：
$y=x^2 - 2x + 1=(x-1)^2$
由顶点式可知，$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
在$-5≤x≤3$范围内：
1. 求最小值：因为抛物线开口向上，且顶点在给定区间内，所以当$x=1$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=0$；
2. 求最大值：计算区间端点到对称轴的距离：$\vert -5 -1 \vert =6$，$\vert 3 -1 \vert =2$，因为$6＞2$，所以$x=-5$时函数值更大，代入得$y_{\mathrm{max}}=(-5-1)^2=36$。
因此最大值与最小值的差为$36-0=36$。
【答案】
36
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数区间最值求解
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性判断最值位置，解题时需注意不要直接代入区间端点计算最值，要先判断顶点是否在给定区间内，避免遗漏顶点处的最值。
【难度系数】
0.7
4.【开放性试题】当$x＞0$时，二次函数$y=-x^2+bx+1$中$y$随$x$的增大而减小，则$b$的值可能是
-1(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
4. -1(答案不唯一)
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数的增减性规律：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小。本题中二次项系数为$-1＜0$，因此函数在对称轴右侧递减。要满足$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，说明$x＞0$的区间完全落在对称轴右侧，即对称轴需小于等于0。接下来先计算函数对称轴，再列不等式求出$b$的取值范围，最后在范围内任取一个值即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+bx+1$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小；
2. 二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$得对称轴为直线$x=\frac{b}{2}$；
3. 要使$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，需对称轴在$x=0$或$x=0$左侧，列不等式：
$\frac{b}{2}≤0$，解得$b≤0$；
4. 取$b≤0$的任意值都符合要求，例如$b=-1$。
【答案】
-1(答案不唯一，满足$b≤0$即可)
【知识点】
二次函数的增减性，二次函数对称轴计算，解一元一次不等式
【点评】
本题为开放性试题，核心考查二次函数增减性与对称轴的关系，需要结合开口方向判断函数的增减区间，进而推导参数的取值范围，只要写出的数值满足$b≤0$的要求均正确。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确二次函数的增减性规律：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小。本题中二次项系数为$-1＜0$，因此函数在对称轴右侧递减。要满足$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，说明$x＞0$的区间完全落在对称轴右侧，即对称轴需小于等于0。接下来先计算函数对称轴，再列不等式求出$b$的取值范围，最后在范围内任取一个值即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+bx+1$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小；
2. 二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$得对称轴为直线$x=\frac{b}{2}$；
3. 要使$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，需对称轴在$x=0$或$x=0$左侧，列不等式：
$\frac{b}{2}≤0$，解得$b≤0$；
4. 取$b≤0$的任意值都符合要求，例如$b=-1$。
【答案】
-1(答案不唯一，满足$b≤0$即可)
【知识点】
二次函数的增减性，二次函数对称轴计算，解一元一次不等式
【点评】
本题为开放性试题，核心考查二次函数增减性与对称轴的关系，需要结合开口方向判断函数的增减区间，进而推导参数的取值范围，只要写出的数值满足$b≤0$的要求均正确。
【难度系数】
0.7
5.（甘孜州中考）对于抛物线 $y=2(x-1)^2+3$，下列说法正确的是 （
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点为$(1,3)$
C.抛物线的对称轴为直线 $x=-1$
D.当 $x＞-3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
B
）A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点为$(1,3)$
C.抛物线的对称轴为直线 $x=-1$
D.当 $x＞-3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
答案
5. B
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的相关性质：$a$的符号决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，结合开口方向可判断函数的增减性。解题时先从题干给出的抛物线解析式中提取$a、h、k$的取值，再逐一核对四个选项的描述是否符合性质，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，性质如下：
1. 当$a＞0$时抛物线开口向上，当$a＜0$时抛物线开口向下；
2. 顶点坐标为$(h,k)$；
3. 对称轴为直线$x=h$；
4. 当$a＞0$时，$x＞h$时$y$随$x$的增大而增大，$x＜h$时$y$随$x$的增大而减小。
题干中抛物线解析式为$y=2(x-1)^2+3$，对应得$a=2＞0$，$h=1$，$k=3$：
选项A：$a=2＞0$，抛物线开口向上，A错误；
选项B：顶点坐标为$(h,k)=(1,3)$，B正确；
选项C：对称轴为直线$x=h=1$，不是$x=-1$，C错误；
选项D：$a＞0$，仅当$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大，当$-3＜x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是熟记二次函数顶点式中各参数对应的几何意义，熟练掌握开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的相关性质：$a$的符号决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，结合开口方向可判断函数的增减性。解题时先从题干给出的抛物线解析式中提取$a、h、k$的取值，再逐一核对四个选项的描述是否符合性质，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，性质如下：
1. 当$a＞0$时抛物线开口向上，当$a＜0$时抛物线开口向下；
2. 顶点坐标为$(h,k)$；
3. 对称轴为直线$x=h$；
4. 当$a＞0$时，$x＞h$时$y$随$x$的增大而增大，$x＜h$时$y$随$x$的增大而减小。
题干中抛物线解析式为$y=2(x-1)^2+3$，对应得$a=2＞0$，$h=1$，$k=3$：
选项A：$a=2＞0$，抛物线开口向上，A错误；
选项B：顶点坐标为$(h,k)=(1,3)$，B正确；
选项C：对称轴为直线$x=h=1$，不是$x=-1$，C错误；
选项D：$a＞0$，仅当$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大，当$-3＜x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是熟记二次函数顶点式中各参数对应的几何意义，熟练掌握开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 已知点$A(3,y_1)$,$B(4,y_2)$,$C(-3,y_3)$均在抛物线$y=2x^2 - 4x + m$上,下列说法中正确的是（
A.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
B.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
D
）A.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
B.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
答案
6. D
解析
【分析】
要比较抛物线上三个点的纵坐标大小，可利用二次函数的性质求解：首先确定抛物线的开口方向，再求出抛物线的对称轴，由于开口向上时，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，即可判断三个纵坐标的大小关系，也可直接将各点横坐标代入解析式求出纵坐标再比较。
【解析】
步骤1：确定抛物线的开口方向与对称轴
对于抛物线$y=2x^2 - 4x + m$，其中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上；
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2$，$b=-4$，得：
$x=-\frac{-4}{2×2}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$。
步骤2：比较各点到对称轴的距离
开口向上时，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值$y$越大：
点$A(3,y_1)$到$x=1$的距离：$\vert3-1\vert=2$
点$B(4,y_2)$到$x=1$的距离：$\vert4-1\vert=3$
点$C(-3,y_3)$到$x=1$的距离：$\vert-3-1\vert=4$
因为$2＜3＜4$，所以函数值大小为$y_1＜y_2＜y_3$。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数增减性；对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过计算点到对称轴的距离快速比较函数值大小，也可以直接代入横坐标计算纵坐标后比较，前者计算量更小，建议优先掌握利用对称轴和开口方向判断函数值大小的方法。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三个点的纵坐标大小，可利用二次函数的性质求解：首先确定抛物线的开口方向，再求出抛物线的对称轴，由于开口向上时，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，即可判断三个纵坐标的大小关系，也可直接将各点横坐标代入解析式求出纵坐标再比较。
【解析】
步骤1：确定抛物线的开口方向与对称轴
对于抛物线$y=2x^2 - 4x + m$，其中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上；
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2$，$b=-4$，得：
$x=-\frac{-4}{2×2}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$。
步骤2：比较各点到对称轴的距离
开口向上时，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值$y$越大：
点$A(3,y_1)$到$x=1$的距离：$\vert3-1\vert=2$
点$B(4,y_2)$到$x=1$的距离：$\vert4-1\vert=3$
点$C(-3,y_3)$到$x=1$的距离：$\vert-3-1\vert=4$
因为$2＜3＜4$，所以函数值大小为$y_1＜y_2＜y_3$。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数增减性；对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过计算点到对称轴的距离快速比较函数值大小，也可以直接代入横坐标计算纵坐标后比较，前者计算量更小，建议优先掌握利用对称轴和开口方向判断函数值大小的方法。
【难度系数】
0.8
7.（郑州金水区期末）道路上，小汽车刹车后车轮滑过的距离通常和车辆当时行驶的速度、道路的动摩擦因数有关，经验公式为 $d=\frac{v^2}{16^2 f}$，其中 $v$ 表示车速（单位：km/h），$d$ 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），$f$ 表示动摩擦因数，其函数图象如图
所示，下列说法正确的是（
A.小汽车行驶速度每增加1 km/h，刹车后车轮滑过的距离就增加16 m
B.当小汽车行驶速度是96 km/h时，刹车后车轮滑过的距离大约是30 km
C.当小汽车行驶速度为80 km/h时，与前车保持20 m的距离就不会发生碰撞
D.此道路的动摩擦因数是1.2
所示，下列说法正确的是（D
）A.小汽车行驶速度每增加1 km/h，刹车后车轮滑过的距离就增加16 m
B.当小汽车行驶速度是96 km/h时，刹车后车轮滑过的距离大约是30 km
C.当小汽车行驶速度为80 km/h时，与前车保持20 m的距离就不会发生碰撞
D.此道路的动摩擦因数是1.2
答案
7. D
解析
【分析】
解题思路：首先从函数图像中获取已知条件：当车速v=96km/h时，刹车距离d=30m，将该组数值代入给出的经验公式，先求解出动摩擦因数f的值，再结合公式逐个验证四个选项的正误，判断过程中注意单位是否统一、函数变化规律是否匹配。
【解析】
1. 计算动摩擦因数f：
把v=96km/h、d=30m代入公式$d=\frac{v^2}{16^2 f}$，可得：
$30=\frac{96^2}{256f}$
计算得$96^2=9216$，$9216÷256=36$，原式化简为$30=\frac{36}{f}$，解得$f=1.2$，因此D选项说法正确。
2. 逐一判断其余选项：
A选项：d与v是二次函数关系，不是一次函数，刹车距离随车速的增加量不是固定值，因此车速每增加1km/h，刹车距离不会固定增加16m，A错误。
B选项：当v=96km/h时，对应的刹车距离是30m，选项中单位写为30km，单位错误，B错误。
C选项：当v=80km/h时，代入公式得$d=\frac{80^2}{256×1.2}=\frac{6400}{307.2}\approx20.8m＞20m$，因此保持20m的车距仍会发生碰撞，C错误。
【答案】
D
【知识点】
二次函数应用，代数式求值，函数图像应用
【点评】
本题结合生活中刹车距离的实际场景考查函数的应用，解题核心是利用图像给出的对应值求出未知参数，再代入公式验证各选项，做题时需注意单位的一致性，同时要区分一次函数和二次函数的变化规律，避免误判。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先从函数图像中获取已知条件：当车速v=96km/h时，刹车距离d=30m，将该组数值代入给出的经验公式，先求解出动摩擦因数f的值，再结合公式逐个验证四个选项的正误，判断过程中注意单位是否统一、函数变化规律是否匹配。
【解析】
1. 计算动摩擦因数f：
把v=96km/h、d=30m代入公式$d=\frac{v^2}{16^2 f}$，可得：
$30=\frac{96^2}{256f}$
计算得$96^2=9216$，$9216÷256=36$，原式化简为$30=\frac{36}{f}$，解得$f=1.2$，因此D选项说法正确。
2. 逐一判断其余选项：
A选项：d与v是二次函数关系，不是一次函数，刹车距离随车速的增加量不是固定值，因此车速每增加1km/h，刹车距离不会固定增加16m，A错误。
B选项：当v=96km/h时，对应的刹车距离是30m，选项中单位写为30km，单位错误，B错误。
C选项：当v=80km/h时，代入公式得$d=\frac{80^2}{256×1.2}=\frac{6400}{307.2}\approx20.8m＞20m$，因此保持20m的车距仍会发生碰撞，C错误。
【答案】
D
【知识点】
二次函数应用，代数式求值，函数图像应用
【点评】
本题结合生活中刹车距离的实际场景考查函数的应用，解题核心是利用图像给出的对应值求出未知参数，再代入公式验证各选项，做题时需注意单位的一致性，同时要区分一次函数和二次函数的变化规律，避免误判。
【难度系数】
0.7
8. 直线 $ y = mx + n $ 和抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，那么不等式 $ mx + n ＜ ax^2 + bx + c $ 的解集是 ______。
答案
8. $x＜-\frac{3}{2}$或$x＞1$
解析
【分析】
要解不等式$mx + n ＜ ax^2 + bx + c$，首先明确它的几何意义：相同x取值下，直线$y=mx+n$的函数值小于抛物线$y=ax^2+bx+c$的函数值，对应图像上就是直线位于抛物线下方的部分所对应的x的取值范围。解题时先找到两个函数图像的交点横坐标（即函数值相等的边界点），再观察交点两侧图像的上下位置关系，即可确定解集。
【解析】
不等式$mx + n ＜ ax^2 + bx + c$的本质是同一x下直线的函数值小于抛物线的函数值，对应图像为直线在抛物线下方的区域。
由图像可知，直线与抛物线的两个交点横坐标分别为$x=-\frac{3}{2}$和$x=1$：
1. 当$x＜-\frac{3}{2}$时，直线位于抛物线下方，满足不等式；
2. 当$-\frac{3}{2}＜x＜1$时，直线位于抛物线上方，不满足不等式；
3. 当$x＞1$时，直线位于抛物线下方，满足不等式。
因此不等式的解集为$x＜-\frac{3}{2}$或$x＞1$。
【答案】
$x＜-\frac{3}{2}$或$x＞1$
【知识点】
一次函数图象，二次函数图象，函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在解不等式中的应用，解题的关键是理解函数值的大小关系和图像上下位置的对应关系，能从图像中提取交点等关键信息推导解集，是函数类不等式的典型考法。
【难度系数】
0.7
要解不等式$mx + n ＜ ax^2 + bx + c$，首先明确它的几何意义：相同x取值下，直线$y=mx+n$的函数值小于抛物线$y=ax^2+bx+c$的函数值，对应图像上就是直线位于抛物线下方的部分所对应的x的取值范围。解题时先找到两个函数图像的交点横坐标（即函数值相等的边界点），再观察交点两侧图像的上下位置关系，即可确定解集。
【解析】
不等式$mx + n ＜ ax^2 + bx + c$的本质是同一x下直线的函数值小于抛物线的函数值，对应图像为直线在抛物线下方的区域。
由图像可知，直线与抛物线的两个交点横坐标分别为$x=-\frac{3}{2}$和$x=1$：
1. 当$x＜-\frac{3}{2}$时，直线位于抛物线下方，满足不等式；
2. 当$-\frac{3}{2}＜x＜1$时，直线位于抛物线上方，不满足不等式；
3. 当$x＞1$时，直线位于抛物线下方，满足不等式。
因此不等式的解集为$x＜-\frac{3}{2}$或$x＞1$。
【答案】
$x＜-\frac{3}{2}$或$x＞1$
【知识点】
一次函数图象，二次函数图象，函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在解不等式中的应用，解题的关键是理解函数值的大小关系和图像上下位置的对应关系，能从图像中提取交点等关键信息推导解集，是函数类不等式的典型考法。
【难度系数】
0.7
9.(广安中考)如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$为常数,$a≠0$)的图象交$x$轴于$A,B$两点,点$A$的坐标是$(-1,0)$,点$B$的坐标是$(n,0)$,有下列结论:①$abc＜0$;②$4a+c＞2b$;③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=-1,x_2=n$;④$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$.其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先根据二次函数图像的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，再结合二次函数的增减性判断x=-2时的函数值符号，根据二次函数与一元二次方程的对应关系判断方程的解，最后根据二次函数的对称性推导对称轴的表达式，逐一验证四个结论的正确性即可。
【解析】
1. 判断①：抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$可得$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。因此$abc＜0$，①正确。
2. 判断②：将$4a+c＞2b$变形为$4a-2b+c＞0$，该式表示$x=-2$时二次函数的函数值。已知点$A(-1,0)$，抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x增大而增大，$x=-2＜-1$，因此$x=-2$时的函数值小于0，即$4a-2b+c＜0$，$4a+c＜2b$，②错误。
3. 判断③：二次函数图像与x轴交点的横坐标即为对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，已知交点为$A(-1,0)$、$B(n,0)$，因此方程的解为$x_1=-1,x_2=n$，③正确。
4. 判断④：二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值，即$x=\frac{-1+n}{2}=\frac{n-1}{2}$，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$，④正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题需要结合二次函数的图像特征推导系数关系和相关结论，解题的关键是熟练掌握二次函数的开口、对称轴、交点对应的代数意义，以及二次函数的增减性、对称性等性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据二次函数图像的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，再结合二次函数的增减性判断x=-2时的函数值符号，根据二次函数与一元二次方程的对应关系判断方程的解，最后根据二次函数的对称性推导对称轴的表达式，逐一验证四个结论的正确性即可。
【解析】
1. 判断①：抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$可得$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。因此$abc＜0$，①正确。
2. 判断②：将$4a+c＞2b$变形为$4a-2b+c＞0$，该式表示$x=-2$时二次函数的函数值。已知点$A(-1,0)$，抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x增大而增大，$x=-2＜-1$，因此$x=-2$时的函数值小于0，即$4a-2b+c＜0$，$4a+c＜2b$，②错误。
3. 判断③：二次函数图像与x轴交点的横坐标即为对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，已知交点为$A(-1,0)$、$B(n,0)$，因此方程的解为$x_1=-1,x_2=n$，③正确。
4. 判断④：二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值，即$x=\frac{-1+n}{2}=\frac{n-1}{2}$，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$，④正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题需要结合二次函数的图像特征推导系数关系和相关结论，解题的关键是熟练掌握二次函数的开口、对称轴、交点对应的代数意义，以及二次函数的增减性、对称性等性质。
【难度系数】
0.7
10.如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的平面直角坐标系,y轴左侧的一条抛物线可以用$y=\frac{9}{400}x^2+\frac{9}{10}x+10$表示.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是
(2)两条钢缆最低点之间的距离是
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是
1 m
;(2)两条钢缆最低点之间的距离是
40 m
.答案
10. (1)1 m (2)40 m
解析
【分析】
本题是二次函数在实际生活中的应用，解题思路如下：（1）钢缆的最低点对应抛物线的顶点，桥面为x轴，因此最低点到桥面的距离就是抛物线顶点的纵坐标数值，我们可以通过配方法将左侧抛物线的一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标，即可求出距离；（2）已知两条抛物线关于y轴对称，因此两条抛物线的顶点也关于y轴对称，求出左侧顶点的横坐标后，即可得到右侧顶点的横坐标，两个顶点横坐标的差的绝对值就是两条钢缆最低点之间的距离。
【解析】
（1）将左侧抛物线的解析式$y=\frac{9}{400}x^2+\frac{9}{10}x+10$用配方法转化为顶点式：
首先提取二次项系数：
$y=\frac{9}{400}(x^2+40x)+10$
配方得：
$y=\frac{9}{400}(x^2+40x+400-400)+10=\frac{9}{400}(x+20)^2 - 9 +10=\frac{9}{400}(x+20)^2+1$
因此左侧抛物线的顶点坐标为$(-20,1)$，即左侧钢缆最低点的纵坐标为1，所以钢缆的最低点到桥面的距离是1 m。
（2）因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以右侧抛物线的顶点与左侧顶点关于y轴对称，左侧顶点横坐标为-20，因此右侧顶点横坐标为20，右侧顶点坐标为$(20,1)$。
两个最低点的纵坐标相同，因此两点之间的距离为$|20 - (-20)|=40$ m，即两条钢缆最低点之间的距离是40 m。
【答案】
(1) $\boxed{1\ \mathrm{m}}$；(2) $\boxed{40\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的对称性，配方法
【点评】
本题结合桥梁钢缆的实际场景考查二次函数的应用，核心是掌握配方法求二次函数顶点坐标，以及轴对称的性质，解题时结合坐标系的特点就能快速得到结果，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际生活中的应用，解题思路如下：（1）钢缆的最低点对应抛物线的顶点，桥面为x轴，因此最低点到桥面的距离就是抛物线顶点的纵坐标数值，我们可以通过配方法将左侧抛物线的一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标，即可求出距离；（2）已知两条抛物线关于y轴对称，因此两条抛物线的顶点也关于y轴对称，求出左侧顶点的横坐标后，即可得到右侧顶点的横坐标，两个顶点横坐标的差的绝对值就是两条钢缆最低点之间的距离。
【解析】
（1）将左侧抛物线的解析式$y=\frac{9}{400}x^2+\frac{9}{10}x+10$用配方法转化为顶点式：
首先提取二次项系数：
$y=\frac{9}{400}(x^2+40x)+10$
配方得：
$y=\frac{9}{400}(x^2+40x+400-400)+10=\frac{9}{400}(x+20)^2 - 9 +10=\frac{9}{400}(x+20)^2+1$
因此左侧抛物线的顶点坐标为$(-20,1)$，即左侧钢缆最低点的纵坐标为1，所以钢缆的最低点到桥面的距离是1 m。
（2）因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以右侧抛物线的顶点与左侧顶点关于y轴对称，左侧顶点横坐标为-20，因此右侧顶点横坐标为20，右侧顶点坐标为$(20,1)$。
两个最低点的纵坐标相同，因此两点之间的距离为$|20 - (-20)|=40$ m，即两条钢缆最低点之间的距离是40 m。
【答案】
(1) $\boxed{1\ \mathrm{m}}$；(2) $\boxed{40\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的对称性，配方法
【点评】
本题结合桥梁钢缆的实际场景考查二次函数的应用，核心是掌握配方法求二次函数顶点坐标，以及轴对称的性质，解题时结合坐标系的特点就能快速得到结果，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
11.(巴中中考)如图,计划用长为 40 m 的绳子围一个矩形围栏,其中一边靠墙(墙长 25 m).
(1)矩形围栏的面积为 150 m²时,三边分别长多少米?
(2)矩形围栏的面积最大时,三边分别长多少米?
(1)矩形围栏的面积为 150 m²时,三边分别长多少米?
(2)矩形围栏的面积最大时,三边分别长多少米?
答案
11. 解:(1)设垂直于墙的一边长 x m,则平行于墙的边长为(40-2x)m,根据题意,得 x(40-2x)=150,解得$x_1=5$,$x_2=15$.
当x=5时,40-2x=30＞25(不符合题意,舍去);当x=15时,40-2x=10＜25(符合题意).
∴三边长分别为15 m,10 m,15 m.
(2)设矩形围栏的面积为 S $m^2$,则$S=x(40-2x)=-2(x-10)^2+200$.
∵-2＜0,
∴当x=10时,S有最大值,最大值为200.此时40-2x=20＜25(符合题意).
∴三边长分别为10 m,20 m,10 m.
当x=5时,40-2x=30＞25(不符合题意,舍去);当x=15时,40-2x=10＜25(符合题意).
∴三边长分别为15 m,10 m,15 m.
(2)设矩形围栏的面积为 S $m^2$,则$S=x(40-2x)=-2(x-10)^2+200$.
∵-2＜0,
∴当x=10时,S有最大值,最大值为200.此时40-2x=20＜25(符合题意).
∴三边长分别为10 m,20 m,10 m.
解析
【分析】
(1) 求解面积为150 m²时的三边长，首先明确围栏的围法：靠墙一侧不需要绳子，因此绳子仅围2条垂直于墙的边和1条平行于墙的边。设垂直于墙的边长为x m，即可表示出平行于墙的边长为(40-2x)m，结合矩形面积公式列方程求解，最后注意平行于墙的边长不能超过墙长25 m，需舍去不符合实际的解。
(2) 求面积最大时的边长，将矩形面积表示为关于x的二次函数，根据二次函数的性质求最值，同样需要验证所得边长是否符合墙长的限制条件。
【解析】
(1) 设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的边长为(40-2x)m，根据题意列方程：
$x(40-2x)=150$
整理得$x^2-20x+75=0$，解得$x_1=5$，$x_2=15$。
当$x=5$时，$40-2x=30＞25$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=15$时，$40-2x=10＜25$，符合题意。
(2) 设矩形围栏的面积为S m²，可得：
$S=x(40-2x)=-2x^2+40x=-2(x-10)^2+200$
∵二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，
∴当$x=10$时，S有最大值200 m²，此时$40-2x=20＜25$，符合题意。
【答案】
(1) 三边长分别为15 m，10 m，15 m；
(2) 三边长分别为10 m，20 m，10 m。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查方程与函数的应用，解题的关键是明确实际问题中自变量的取值范围，避免忽略墙长限制得到不合题意的结果，求最值时要熟练运用二次函数顶点式的性质。
【难度系数】
0.6
(1) 求解面积为150 m²时的三边长，首先明确围栏的围法：靠墙一侧不需要绳子，因此绳子仅围2条垂直于墙的边和1条平行于墙的边。设垂直于墙的边长为x m，即可表示出平行于墙的边长为(40-2x)m，结合矩形面积公式列方程求解，最后注意平行于墙的边长不能超过墙长25 m，需舍去不符合实际的解。
(2) 求面积最大时的边长，将矩形面积表示为关于x的二次函数，根据二次函数的性质求最值，同样需要验证所得边长是否符合墙长的限制条件。
【解析】
(1) 设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的边长为(40-2x)m，根据题意列方程：
$x(40-2x)=150$
整理得$x^2-20x+75=0$，解得$x_1=5$，$x_2=15$。
当$x=5$时，$40-2x=30＞25$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=15$时，$40-2x=10＜25$，符合题意。
(2) 设矩形围栏的面积为S m²，可得：
$S=x(40-2x)=-2x^2+40x=-2(x-10)^2+200$
∵二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，
∴当$x=10$时，S有最大值200 m²，此时$40-2x=20＜25$，符合题意。
【答案】
(1) 三边长分别为15 m，10 m，15 m；
(2) 三边长分别为10 m，20 m，10 m。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查方程与函数的应用，解题的关键是明确实际问题中自变量的取值范围，避免忽略墙长限制得到不合题意的结果，求最值时要熟练运用二次函数顶点式的性质。
【难度系数】
0.6
