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一、选择题
1 若点$(2,3)$在抛物线$y=ax^2 -2ax +c$上，则下列各点中，一定也在该抛物线上的是（
A.$(0,3)$
B.$(0,-3)$
C.$(3,2)$
D.$(-2,-3)$
1 若点$(2,3)$在抛物线$y=ax^2 -2ax +c$上，则下列各点中，一定也在该抛物线上的是（
A
）A.$(0,3)$
B.$(0,-3)$
C.$(3,2)$
D.$(-2,-3)$
答案
1. A
2 [2025 南通]在平面直角坐标系中,有$A(-1,5),B(5,5),C(2,1),D(1,2),E(2,-1)$五点.若抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$经过上述五个点中的三个点,则满足题意的$a$的值不可能为 (
A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
C
)A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2. C
3 将抛物线$y=x^2 - 2x - 3$关于$x$轴作对称变换得到的新抛物线对应的函数解析式为
（
A.$y=-x^2 + 2x + 3$
B.$y=-x^2 - 2x - 3$
C.$y=x^2 + 2x - 3$
D.$y=x^2 - 2x + 3$
（
A
）A.$y=-x^2 + 2x + 3$
B.$y=-x^2 - 2x - 3$
C.$y=x^2 + 2x - 3$
D.$y=x^2 - 2x + 3$
答案
3. A
4 [2025福建]已知点$A(-2,y_1),B(1,y_2)$在抛物线$y=3x^2+bx+1$上.若$3＜b＜4$,则下列判断正确的是（
A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
A
）A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
答案
4. A
5 在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = x^2 + mx + m^2 - m $（m为常数）的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（
A.最大值5
B.最大值$\frac{15}{4}$
C.最小值5
D.最小值$\frac{15}{4}$
D
）A.最大值5
B.最大值$\frac{15}{4}$
C.最小值5
D.最小值$\frac{15}{4}$
答案
5. D
6 如果二次函数$y=x^2+3x+m-2$的图象交y轴于正半轴，那么m的取值范围是
$m＞2$
。答案
6. $m＞2$
7 在平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为 $y=3(x-2)^2 +1$。若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中对应的函数解析式为
$y=3(x-5)^2-1$
。答案
7. $y=3(x-5)^2-1$
8 二次函数 $ y = x^2 - (12 - k)x + 12 $，当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，当 $ x ＜ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则 $ k $ 的值为
$10$
。答案
8. 10
9 如图,在平面直角坐标系中,点A(4,8)在抛物线$y=ax^2$上,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上,分别过点C,D作x轴的垂线,交抛物线于E,F两点.当四边形CDFE为正方形时,线段CD的长为
$-4+4\sqrt{5}$
.答案
9. $-4+4\sqrt{5}$
10 如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线$y=x^2 -4x +8$上运动,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为斜边作Rt△ABC,则AB边上的中线CD的最小值为
$2$
.答案
10. 2 【解析】$\because CD$ 为 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中斜边 $AB$ 上的中线，$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AB.\because y=x^2-4x+8=(x-2)^2+4,\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(2,4).\therefore$ 点 $A$ 到 $x$ 轴的最小距离为 $4$,即垂线段$AB$ 的最小值为 $4.\therefore$ 中线 $CD$ 的最小值为 2.
三、解答题
11 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)。若抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$（$h,k$为常数）与线段AB交于C，D两点，且点A，B关于抛物线的对称轴对称，$CD=\dfrac{1}{2}AB$，求抛物线对应的函数解析式。
11 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)。若抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$（$h,k$为常数）与线段AB交于C，D两点，且点A，B关于抛物线的对称轴对称，$CD=\dfrac{1}{2}AB$，求抛物线对应的函数解析式。
答案
11. $\because$ 点 $A$ 的坐标为$(0,2)$,点 $B$ 的坐标为$(4,2),\therefore AB=4. \because$ 点 $A,B$ 关于抛物线的对称轴对称,$\therefore h=2. \because$ 抛物线 $y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k(h,k$ 为常数)与线段 $AB$ 交于 $C,D$ 两点，$CD=\dfrac{1}{2}AB=2,\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(1,2).$ 将$(1,2)$代入 $y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2 +k,$得 $2=-\dfrac{3}{2} +k,$解得 $k=\dfrac{7}{2}. \therefore$ 所求抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2 +\dfrac{7}{2}$
