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一、选择题
1 若点$(2,3)$在抛物线$y=ax^2 -2ax +c$上，则下列各点中，一定也在该抛物线上的是（
A.$(0,3)$
B.$(0,-3)$
C.$(3,2)$
D.$(-2,-3)$
1 若点$(2,3)$在抛物线$y=ax^2 -2ax +c$上，则下列各点中，一定也在该抛物线上的是（
A
）A.$(0,3)$
B.$(0,-3)$
C.$(3,2)$
D.$(-2,-3)$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时先利用二次函数对称轴公式求出抛物线的对称轴，再根据抛物线上关于对称轴对称的点纵坐标相等的性质，找到已知点(2,3)关于对称轴的对称点，该对称点一定在抛物线上，即可得出答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中抛物线解析式为$y=ax^2-2ax+c$，其中$b=-2a$，代入得对称轴：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$。
已知点$(2,3)$在抛物线上，设其关于直线$x=1$的对称点坐标为$(m,3)$，根据对称点横坐标的中点为对称轴横坐标，可得：
$\frac{2+m}{2}=1$，解得$m=0$，即对称点为$(0,3)$，因此$(0,3)$一定在该抛物线上。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算；抛物线上点的坐标特征
【点评】
本题无需计算参数$a$、$c$的具体取值，利用二次函数的对称性质即可快速求解，是二次函数基础性质的典型应用考题。
【难度系数】
0.8
解题时先利用二次函数对称轴公式求出抛物线的对称轴，再根据抛物线上关于对称轴对称的点纵坐标相等的性质，找到已知点(2,3)关于对称轴的对称点，该对称点一定在抛物线上，即可得出答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中抛物线解析式为$y=ax^2-2ax+c$，其中$b=-2a$，代入得对称轴：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$。
已知点$(2,3)$在抛物线上，设其关于直线$x=1$的对称点坐标为$(m,3)$，根据对称点横坐标的中点为对称轴横坐标，可得：
$\frac{2+m}{2}=1$，解得$m=0$，即对称点为$(0,3)$，因此$(0,3)$一定在该抛物线上。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算；抛物线上点的坐标特征
【点评】
本题无需计算参数$a$、$c$的具体取值，利用二次函数的对称性质即可快速求解，是二次函数基础性质的典型应用考题。
【难度系数】
0.8
2 [2025 南通]在平面直角坐标系中,有$A(-1,5),B(5,5),C(2,1),D(1,2),E(2,-1)$五点.若抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$经过上述五个点中的三个点,则满足题意的$a$的值不可能为 (
A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
C
)A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2. C
解析
【分析】
首先明确抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$的对称轴为直线$x=2$，关于$x=2$对称的点会同时在抛物线上，且抛物线与对称轴仅有1个交点，因此对称轴上的$C(2,1)$和$E(2,-1)$最多只能有1个在抛物线上。观察点的坐标可知$A(-1,5)$和$B(5,5)$关于$x=2$对称，两点要么同时在抛物线上，要么同时不在。我们分“过A、B两点”和“不过A、B两点”两种情况讨论，代入第三个点计算$a$的值，排除存在的选项即可得到答案。
【解析】
抛物线$y=a(x-2)^2+k$的对称轴为直线$x=2$。
∵$A(-1,5)$、$B(5,5)$纵坐标相等，到$x=2$的距离相等，
∴A、B关于$x=2$对称，两点要么同时在抛物线上，要么同时不在；
又
∵抛物线与对称轴$x=2$仅有1个交点，
∴$C(2,1)$和$E(2,-1)$最多有1个点在抛物线上。
情况1：抛物线过A、B两点
将$A(-1,5)$代入解析式得：$5=a(-1-2)^2+k$，即$9a+k=5$ ①
子情况1.1：第三个点为$C(2,1)$
代入$C(2,1)$得$k=1$，代入①得$9a+1=5$，解得$a=\frac{4}{9}$，A选项可能，排除；
子情况1.2：第三个点为$E(2,-1)$
代入$E(2,-1)$得$k=-1$，代入①得$9a-1=5$，解得$a=\frac{2}{3}$，D选项可能，排除；
子情况1.3：第三个点为$D(1,2)$
代入$D(1,2)$得$2=a(1-2)^2+k$，即$a+k=2$ ②
联立①②，①-②得$8a=3$，解得$a=\frac{3}{8}$，B选项可能，排除；
情况2：抛物线不过A、B两点
此时可选点为C、D、E，因C、E不能同时在抛物线上，最多选2个点，无法满足过3个点的要求，该情况无符合条件的$a$值。
综上，$a$的值不可能为$\frac{3}{4}$。
【答案】C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题关键是先利用抛物线对称轴的性质判断点的对称关系，再分类讨论抛物线上的点的组合，代入计算即可逐一验证选项，解题时注意不要漏算情况。
【难度系数】
0.6
首先明确抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$的对称轴为直线$x=2$，关于$x=2$对称的点会同时在抛物线上，且抛物线与对称轴仅有1个交点，因此对称轴上的$C(2,1)$和$E(2,-1)$最多只能有1个在抛物线上。观察点的坐标可知$A(-1,5)$和$B(5,5)$关于$x=2$对称，两点要么同时在抛物线上，要么同时不在。我们分“过A、B两点”和“不过A、B两点”两种情况讨论，代入第三个点计算$a$的值，排除存在的选项即可得到答案。
【解析】
抛物线$y=a(x-2)^2+k$的对称轴为直线$x=2$。
∵$A(-1,5)$、$B(5,5)$纵坐标相等，到$x=2$的距离相等，
∴A、B关于$x=2$对称，两点要么同时在抛物线上，要么同时不在；
又
∵抛物线与对称轴$x=2$仅有1个交点，
∴$C(2,1)$和$E(2,-1)$最多有1个点在抛物线上。
情况1：抛物线过A、B两点
将$A(-1,5)$代入解析式得：$5=a(-1-2)^2+k$，即$9a+k=5$ ①
子情况1.1：第三个点为$C(2,1)$
代入$C(2,1)$得$k=1$，代入①得$9a+1=5$，解得$a=\frac{4}{9}$，A选项可能，排除；
子情况1.2：第三个点为$E(2,-1)$
代入$E(2,-1)$得$k=-1$，代入①得$9a-1=5$，解得$a=\frac{2}{3}$，D选项可能，排除；
子情况1.3：第三个点为$D(1,2)$
代入$D(1,2)$得$2=a(1-2)^2+k$，即$a+k=2$ ②
联立①②，①-②得$8a=3$，解得$a=\frac{3}{8}$，B选项可能，排除；
情况2：抛物线不过A、B两点
此时可选点为C、D、E，因C、E不能同时在抛物线上，最多选2个点，无法满足过3个点的要求，该情况无符合条件的$a$值。
综上，$a$的值不可能为$\frac{3}{4}$。
【答案】C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题关键是先利用抛物线对称轴的性质判断点的对称关系，再分类讨论抛物线上的点的组合，代入计算即可逐一验证选项，解题时注意不要漏算情况。
【难度系数】
0.6
3 将抛物线$y=x^2 - 2x - 3$关于$x$轴作对称变换得到的新抛物线对应的函数解析式为
（
A.$y=-x^2 + 2x + 3$
B.$y=-x^2 - 2x - 3$
C.$y=x^2 + 2x - 3$
D.$y=x^2 - 2x + 3$
（
A
）A.$y=-x^2 + 2x + 3$
B.$y=-x^2 - 2x - 3$
C.$y=x^2 + 2x - 3$
D.$y=x^2 - 2x + 3$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决抛物线关于x轴对称后的解析式问题，首先明确函数图象对称的本质是图象上所有点的坐标对称：关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。我们可以通过两种思路求解：一是直接利用坐标对称的性质，将原解析式中的y替换为-y，整理得到新解析式；二是先将原抛物线化为顶点式，找到顶点的对称点，结合对称后开口方向与原抛物线相反，用顶点式写出新解析式再整理。
【解析】
方法一：利用坐标对称性质求解
关于x轴对称的点满足：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，即对称后的点$(x, y)$对应原抛物线上的点$(x, -y)$。
将原解析式$y=x^2 - 2x - 3$中的y替换为-y，得：
$-y = x^2 - 2x - 3$
两边同时乘以-1，整理得：
$y = -x^2 + 2x + 3$
方法二：利用顶点式求解
先将原抛物线配方化为顶点式：
$y=x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$
原抛物线顶点坐标为$(1, -4)$，二次项系数$a=1$，开口向上。
关于x轴对称后，新抛物线顶点为原顶点的对称点$(1, 4)$，开口方向变为向下，二次项系数变为$a=-1$，因此新抛物线的顶点式为：
$y = -(x-1)^2 + 4$
展开整理得：
$y = -(x^2 - 2x + 1) + 4 = -x^2 + 2x + 3$
综上，新抛物线解析式为$y=-x^2 + 2x + 3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象变换、关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数轴对称变换的基础题，解题核心是理解函数图象对称的本质是点的坐标对称，两种方法都可以快速得到结果，熟练掌握顶点式的应用能提高解题效率。
【难度系数】
0.8
要解决抛物线关于x轴对称后的解析式问题，首先明确函数图象对称的本质是图象上所有点的坐标对称：关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。我们可以通过两种思路求解：一是直接利用坐标对称的性质，将原解析式中的y替换为-y，整理得到新解析式；二是先将原抛物线化为顶点式，找到顶点的对称点，结合对称后开口方向与原抛物线相反，用顶点式写出新解析式再整理。
【解析】
方法一：利用坐标对称性质求解
关于x轴对称的点满足：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，即对称后的点$(x, y)$对应原抛物线上的点$(x, -y)$。
将原解析式$y=x^2 - 2x - 3$中的y替换为-y，得：
$-y = x^2 - 2x - 3$
两边同时乘以-1，整理得：
$y = -x^2 + 2x + 3$
方法二：利用顶点式求解
先将原抛物线配方化为顶点式：
$y=x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$
原抛物线顶点坐标为$(1, -4)$，二次项系数$a=1$，开口向上。
关于x轴对称后，新抛物线顶点为原顶点的对称点$(1, 4)$，开口方向变为向下，二次项系数变为$a=-1$，因此新抛物线的顶点式为：
$y = -(x-1)^2 + 4$
展开整理得：
$y = -(x^2 - 2x + 1) + 4 = -x^2 + 2x + 3$
综上，新抛物线解析式为$y=-x^2 + 2x + 3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象变换、关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数轴对称变换的基础题，解题核心是理解函数图象对称的本质是点的坐标对称，两种方法都可以快速得到结果，熟练掌握顶点式的应用能提高解题效率。
【难度系数】
0.8
4 [2025福建]已知点$A(-2,y_1),B(1,y_2)$在抛物线$y=3x^2+bx+1$上.若$3＜b＜4$,则下列判断正确的是（
A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
A
）A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先从抛物线的基本性质入手：首先由二次项系数判断开口方向，再根据对称轴公式求出对称轴的取值范围；由于开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，因此只需分别计算点A、点B以及函数值为1的对应点到对称轴的距离，比较距离大小就能得出三个函数值的大小关系，进而选出正确选项。
【解析】
解：对于抛物线$y=3x^2+bx+1$，
$\because$ 二次项系数$a=3＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{6}$。
已知$3＜b＜4$，代入可得：$-\frac{4}{6}＜-\frac{b}{6}＜-\frac{3}{6}$，即对称轴范围为$-\frac{2}{3}＜x＜-\frac{1}{2}$。
当$x=0$时，$y=3×0^2 + b×0 +1=1$，记该点为$C(0,1)$。
分别计算三个点到对称轴的距离：
1. 点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离$d_1=\left|-2 - (-\frac{b}{6})\right|=2-\frac{b}{6}$；
2. 点$B(1,y_2)$到对称轴的距离$d_2=\left|1 - (-\frac{b}{6})\right|=1+\frac{b}{6}$；
3. 点$C(0,1)$到对称轴的距离$d_3=\left|0 - (-\frac{b}{6})\right|=\frac{b}{6}$。
比较距离大小：
① 比较$d_1$和$d_3$：$\because b＜4$，$\therefore \frac{b}{6}＜\frac{2}{3}$，则$2-\frac{b}{6}＞2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}＞\frac{b}{6}$，即$d_1＞d_3$，$\therefore y_1＞1$；
② 比较$d_1$和$d_2$：$d_2-d_1=(1+\frac{b}{6})-(2-\frac{b}{6})=\frac{b}{3}-1$，$\because b＞3$，$\therefore \frac{b}{3}＞1$，即$d_2-d_1＞0$，$d_2＞d_1$，$\therefore y_2＞y_1$。
综上可得$1＜y_1＜y_2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；函数值比较
【点评】
本题是二次函数的常考题型，核心考查开口向上的抛物线函数值与点到对称轴距离的关系，解题的关键是先根据参数范围确定对称轴的取值区间，再通过距离比较判断函数值大小，解题逻辑清晰易懂。
【难度系数】
0.7
解题时先从抛物线的基本性质入手：首先由二次项系数判断开口方向，再根据对称轴公式求出对称轴的取值范围；由于开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，因此只需分别计算点A、点B以及函数值为1的对应点到对称轴的距离，比较距离大小就能得出三个函数值的大小关系，进而选出正确选项。
【解析】
解：对于抛物线$y=3x^2+bx+1$，
$\because$ 二次项系数$a=3＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{6}$。
已知$3＜b＜4$，代入可得：$-\frac{4}{6}＜-\frac{b}{6}＜-\frac{3}{6}$，即对称轴范围为$-\frac{2}{3}＜x＜-\frac{1}{2}$。
当$x=0$时，$y=3×0^2 + b×0 +1=1$，记该点为$C(0,1)$。
分别计算三个点到对称轴的距离：
1. 点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离$d_1=\left|-2 - (-\frac{b}{6})\right|=2-\frac{b}{6}$；
2. 点$B(1,y_2)$到对称轴的距离$d_2=\left|1 - (-\frac{b}{6})\right|=1+\frac{b}{6}$；
3. 点$C(0,1)$到对称轴的距离$d_3=\left|0 - (-\frac{b}{6})\right|=\frac{b}{6}$。
比较距离大小：
① 比较$d_1$和$d_3$：$\because b＜4$，$\therefore \frac{b}{6}＜\frac{2}{3}$，则$2-\frac{b}{6}＞2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}＞\frac{b}{6}$，即$d_1＞d_3$，$\therefore y_1＞1$；
② 比较$d_1$和$d_2$：$d_2-d_1=(1+\frac{b}{6})-(2-\frac{b}{6})=\frac{b}{3}-1$，$\because b＞3$，$\therefore \frac{b}{3}＞1$，即$d_2-d_1＞0$，$d_2＞d_1$，$\therefore y_2＞y_1$。
综上可得$1＜y_1＜y_2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；函数值比较
【点评】
本题是二次函数的常考题型，核心考查开口向上的抛物线函数值与点到对称轴距离的关系，解题的关键是先根据参数范围确定对称轴的取值区间，再通过距离比较判断函数值大小，解题逻辑清晰易懂。
【难度系数】
0.7
5 在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = x^2 + mx + m^2 - m $（m为常数）的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（
A.最大值5
B.最大值$\frac{15}{4}$
C.最小值5
D.最小值$\frac{15}{4}$
D
）A.最大值5
B.最大值$\frac{15}{4}$
C.最小值5
D.最小值$\frac{15}{4}$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时先利用二次函数图象过点(0,6)，将点坐标代入解析式得到关于m的方程，求解得到m的两个可能值；再结合对称轴在y轴左侧的条件，利用对称轴公式筛选出符合要求的m值；最后根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值，代入公式计算最值即可对应选项。
【解析】
步骤1：代入点坐标求m的可能值
∵二次函数$y = x^2 + mx + m^2 - m$的图象经过点$(0,6)$
∴将$x=0$，$y=6$代入解析式得：
$6 = 0 + 0 + m^2 - m$
整理得$m^2 - m - 6 = 0$
因式分解得$(m-3)(m+2)=0$
解得$m_1=3$，$m_2=-2$
步骤2：结合对称轴条件筛选m的值
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=1$，$b=m$，故对称轴为$x=-\frac{m}{2}$
∵对称轴在y轴左侧，即$x＜0$
∴$-\frac{m}{2}＜0$，解得$m＞0$
∴仅$m=3$符合条件
步骤3：计算二次函数的最值
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴函数图象开口向上，二次函数有最小值
将$m=3$代入解析式得$y=x^2+3x + 3^2 -3 = x^2+3x +6$
用顶点纵坐标公式计算最小值：
$y_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×6 - 3^2}{4×1}=\frac{24-9}{4}=\frac{15}{4}$
综上，该二次函数有最小值$\frac{15}{4}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的常规题型，核心是先根据已知条件确定参数的取值，再结合二次函数开口方向判断最值类型并计算，解题时要注意对参数取值的筛选，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
解题时先利用二次函数图象过点(0,6)，将点坐标代入解析式得到关于m的方程，求解得到m的两个可能值；再结合对称轴在y轴左侧的条件，利用对称轴公式筛选出符合要求的m值；最后根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值，代入公式计算最值即可对应选项。
【解析】
步骤1：代入点坐标求m的可能值
∵二次函数$y = x^2 + mx + m^2 - m$的图象经过点$(0,6)$
∴将$x=0$，$y=6$代入解析式得：
$6 = 0 + 0 + m^2 - m$
整理得$m^2 - m - 6 = 0$
因式分解得$(m-3)(m+2)=0$
解得$m_1=3$，$m_2=-2$
步骤2：结合对称轴条件筛选m的值
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=1$，$b=m$，故对称轴为$x=-\frac{m}{2}$
∵对称轴在y轴左侧，即$x＜0$
∴$-\frac{m}{2}＜0$，解得$m＞0$
∴仅$m=3$符合条件
步骤3：计算二次函数的最值
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴函数图象开口向上，二次函数有最小值
将$m=3$代入解析式得$y=x^2+3x + 3^2 -3 = x^2+3x +6$
用顶点纵坐标公式计算最小值：
$y_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×6 - 3^2}{4×1}=\frac{24-9}{4}=\frac{15}{4}$
综上，该二次函数有最小值$\frac{15}{4}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的常规题型，核心是先根据已知条件确定参数的取值，再结合二次函数开口方向判断最值类型并计算，解题时要注意对参数取值的筛选，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
6 如果二次函数$y=x^2+3x+m-2$的图象交y轴于正半轴，那么m的取值范围是
$m＞2$
。答案
6. $m＞2$
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先需明确二次函数与y轴交点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0，因此先代入x=0求出函数与y轴交点的纵坐标，再根据交点在正半轴的条件（纵坐标大于0）列出不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+3x+m-2$：
1. 求与y轴交点的纵坐标：令$x=0$，代入解析式得$y=0^2+3×0+m-2=m-2$，即函数与y轴的交点坐标为$(0, m-2)$。
2. 根据交点在正半轴列不等式：因为图象交y轴于正半轴，所以交点纵坐标大于0，即$m-2＞0$。
3. 解不等式：移项得$m＞2$。
【答案】
$m＞2$
【知识点】
二次函数与y轴交点特征、一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象与坐标轴交点的性质，解题的关键是掌握y轴上点的横坐标为0的特点，结合交点位置的限制条件列不等式求解，计算量小，考查的知识点较为基础。
【难度系数】
0.9
要确定m的取值范围，首先需明确二次函数与y轴交点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0，因此先代入x=0求出函数与y轴交点的纵坐标，再根据交点在正半轴的条件（纵坐标大于0）列出不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+3x+m-2$：
1. 求与y轴交点的纵坐标：令$x=0$，代入解析式得$y=0^2+3×0+m-2=m-2$，即函数与y轴的交点坐标为$(0, m-2)$。
2. 根据交点在正半轴列不等式：因为图象交y轴于正半轴，所以交点纵坐标大于0，即$m-2＞0$。
3. 解不等式：移项得$m＞2$。
【答案】
$m＞2$
【知识点】
二次函数与y轴交点特征、一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象与坐标轴交点的性质，解题的关键是掌握y轴上点的横坐标为0的特点，结合交点位置的限制条件列不等式求解，计算量小，考查的知识点较为基础。
【难度系数】
0.9
7 在平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为 $y=3(x-2)^2 +1$。若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中对应的函数解析式为
$y=3(x-5)^2-1$
。答案
7. $y=3(x-5)^2-1$
解析
【分析】
解决本题的核心是理清坐标轴平移和坐标变换的关系，有两种思考路径：方法一：坐标轴的平移等价于抛物线向相反方向平移，x轴向上平移2个单位，相当于抛物线向下平移2个单位；y轴向左平移3个单位，相当于抛物线向右平移3个单位，再根据二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律改写解析式即可。方法二：先推导新旧坐标系的坐标换算关系，再将原坐标用新坐标表示后代入原解析式化简，这种方法不容易混淆平移方向，适合刚接触该类题型的同学使用。
【解析】
设新坐标系中任意一点的坐标为$(x,y)$，
由题意可知：x轴向上平移2个单位、y轴向左平移3个单位后，原坐标系坐标$(x_0,y_0)$与新坐标系坐标的换算关系为：
$x_0 = x - 3$，$y_0 = y + 2$
将上述关系代入原抛物线解析式$y_0=3(x_0-2)^2 +1$，得：
$y + 2 = 3[(x - 3) - 2]^2 + 1$
化简整理：
$y + 2 = 3(x - 5)^2 + 1$
移项得：$y = 3(x - 5)^2 - 1$
【答案】
$y=3(x-5)^2-1$
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 坐标平移变换
3. 二次函数解析式化简
【点评】
本题的易错点是混淆坐标轴平移和函数图像平移的方向，解题时可通过坐标代换的方法降低出错概率，也可通过顶点坐标的变换验证最终解析式是否正确。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是理清坐标轴平移和坐标变换的关系，有两种思考路径：方法一：坐标轴的平移等价于抛物线向相反方向平移，x轴向上平移2个单位，相当于抛物线向下平移2个单位；y轴向左平移3个单位，相当于抛物线向右平移3个单位，再根据二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律改写解析式即可。方法二：先推导新旧坐标系的坐标换算关系，再将原坐标用新坐标表示后代入原解析式化简，这种方法不容易混淆平移方向，适合刚接触该类题型的同学使用。
【解析】
设新坐标系中任意一点的坐标为$(x,y)$，
由题意可知：x轴向上平移2个单位、y轴向左平移3个单位后，原坐标系坐标$(x_0,y_0)$与新坐标系坐标的换算关系为：
$x_0 = x - 3$，$y_0 = y + 2$
将上述关系代入原抛物线解析式$y_0=3(x_0-2)^2 +1$，得：
$y + 2 = 3[(x - 3) - 2]^2 + 1$
化简整理：
$y + 2 = 3(x - 5)^2 + 1$
移项得：$y = 3(x - 5)^2 - 1$
【答案】
$y=3(x-5)^2-1$
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 坐标平移变换
3. 二次函数解析式化简
【点评】
本题的易错点是混淆坐标轴平移和函数图像平移的方向，解题时可通过坐标代换的方法降低出错概率，也可通过顶点坐标的变换验证最终解析式是否正确。
【难度系数】
0.6
8 二次函数 $ y = x^2 - (12 - k)x + 12 $，当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，当 $ x ＜ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则 $ k $ 的值为
$10$
。答案
8. 10
解析
【分析】
首先，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，本题中二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，因此在对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。结合题目给出的增减性规律，可直接确定该二次函数的对称轴为直线x=1。接下来只需利用二次函数一般式的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数列出关于k的方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
已知二次函数$y = x^2 - (12 - k)x + 12$，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，
由题意得：当$x＞1$时y随x增大而增大，$x＜1$时y随x增大而减小，
∴ 该抛物线的对称轴为直线$x=1$，
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，
本题中$b=-(12-k)$，$a=1$，代入对称轴公式得：
$-\frac{-(12 - k)}{2×1}=1$
化简得：$\frac{12 - k}{2}=1$
两边同乘2得：$12 - k=2$
解得：$k=10$
【答案】
10
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题核心是利用二次函数的增减性确定对称轴位置，再结合对称轴公式列方程求解，解题时要注意一次项系数的符号，避免代入公式时出错。
【难度系数】
0.8
首先，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，本题中二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，因此在对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。结合题目给出的增减性规律，可直接确定该二次函数的对称轴为直线x=1。接下来只需利用二次函数一般式的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数列出关于k的方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
已知二次函数$y = x^2 - (12 - k)x + 12$，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，
由题意得：当$x＞1$时y随x增大而增大，$x＜1$时y随x增大而减小，
∴ 该抛物线的对称轴为直线$x=1$，
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，
本题中$b=-(12-k)$，$a=1$，代入对称轴公式得：
$-\frac{-(12 - k)}{2×1}=1$
化简得：$\frac{12 - k}{2}=1$
两边同乘2得：$12 - k=2$
解得：$k=10$
【答案】
10
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题核心是利用二次函数的增减性确定对称轴位置，再结合对称轴公式列方程求解，解题时要注意一次项系数的符号，避免代入公式时出错。
【难度系数】
0.8
9 如图,在平面直角坐标系中,点A(4,8)在抛物线$y=ax^2$上,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上,分别过点C,D作x轴的垂线,交抛物线于E,F两点.当四边形CDFE为正方形时,线段CD的长为
$-4+4\sqrt{5}$
.答案
9. $-4+4\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先将点A代入抛物线解析式求出a的值，确定抛物线的解析式；再利用抛物线关于y轴对称的性质，结合正方形边长相等的特征，设出点C的横坐标，用含未知数的式子表示正方形的边长CD和CE，根据两者相等列方程求解，最后计算CD的长度即可。
【解析】
1. 求抛物线解析式：
将点A(4,8)代入$y=ax^2$，得：
$8=a×4^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}x^2$。
2. 利用对称性和正方形性质列方程：
∵AB垂直于y轴，点A纵坐标为8，
∴线段AB上所有点的纵坐标均为8。
∵抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$关于y轴对称，设点C的横坐标为$t$（$t＞0$），则点D的横坐标为$-t$，因此$CD$的长度为$t-(-t)=2t$。
过点C作x轴垂线交抛物线于E，
∴E点横坐标为$t$，代入抛物线解析式得E点纵坐标为$\frac{1}{2}t^2$，则$CE$的长度为$8-\frac{1}{2}t^2$。
∵四边形CDFE为正方形，
∴$CD=CE$，列方程：
$2t=8-\frac{1}{2}t^2$
整理得：$t^2+4t-16=0$
3. 解方程求结果：
用求根公式解一元二次方程，得：
$t=\frac{-4\pm\sqrt{4^2+4×16}}{2}=\frac{-4\pm4\sqrt{5}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}$
∵$t＞0$，
∴舍去负根，得$t=-2+2\sqrt{5}$。
因此$CD=2t=2×(-2+2\sqrt{5})=-4+4\sqrt{5}$。
【答案】
$-4+4\sqrt{5}$
【知识点】
二次函数的性质；正方形的性质；解一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的对称性、正方形的性质以及一元二次方程的求解，解题关键是合理设未知数，根据正方形边长相等建立等量关系，求解时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.6
首先将点A代入抛物线解析式求出a的值，确定抛物线的解析式；再利用抛物线关于y轴对称的性质，结合正方形边长相等的特征，设出点C的横坐标，用含未知数的式子表示正方形的边长CD和CE，根据两者相等列方程求解，最后计算CD的长度即可。
【解析】
1. 求抛物线解析式：
将点A(4,8)代入$y=ax^2$，得：
$8=a×4^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}x^2$。
2. 利用对称性和正方形性质列方程：
∵AB垂直于y轴，点A纵坐标为8，
∴线段AB上所有点的纵坐标均为8。
∵抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$关于y轴对称，设点C的横坐标为$t$（$t＞0$），则点D的横坐标为$-t$，因此$CD$的长度为$t-(-t)=2t$。
过点C作x轴垂线交抛物线于E，
∴E点横坐标为$t$，代入抛物线解析式得E点纵坐标为$\frac{1}{2}t^2$，则$CE$的长度为$8-\frac{1}{2}t^2$。
∵四边形CDFE为正方形，
∴$CD=CE$，列方程：
$2t=8-\frac{1}{2}t^2$
整理得：$t^2+4t-16=0$
3. 解方程求结果：
用求根公式解一元二次方程，得：
$t=\frac{-4\pm\sqrt{4^2+4×16}}{2}=\frac{-4\pm4\sqrt{5}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}$
∵$t＞0$，
∴舍去负根，得$t=-2+2\sqrt{5}$。
因此$CD=2t=2×(-2+2\sqrt{5})=-4+4\sqrt{5}$。
【答案】
$-4+4\sqrt{5}$
【知识点】
二次函数的性质；正方形的性质；解一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的对称性、正方形的性质以及一元二次方程的求解，解题关键是合理设未知数，根据正方形边长相等建立等量关系，求解时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.6
10 如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线$y=x^2 -4x +8$上运动,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为斜边作Rt△ABC,则AB边上的中线CD的最小值为
$2$
.答案
10. 2 【解析】$\because CD$ 为 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中斜边 $AB$ 上的中线，$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AB.\because y=x^2-4x+8=(x-2)^2+4,\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(2,4).\therefore$ 点 $A$ 到 $x$ 轴的最小距离为 $4$,即垂线段$AB$ 的最小值为 $4.\therefore$ 中线 $CD$ 的最小值为 2.
解析
【分析】
解题可按两步思路推导：首先，根据直角三角形的性质明确CD与AB的数量关系，要找CD的最小值，可转化为求AB的最小值；其次，AB是点A到x轴的垂线段，长度等于点A的纵坐标，因此AB的最小值就是抛物线的最小纵坐标，通过配方法求出二次函数的最小值即可最终得到CD的最小值。
【解析】
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，
∴ $CD=\dfrac{1}{2}AB$。
对抛物线解析式配方变形：
$y=x^2-4x+8=(x^2-4x+4)+4=(x-2)^2+4$，
∴ 抛物线的顶点坐标为$(2,4)$，即抛物线上点的纵坐标最小值为4。
∵ $AB⊥ x$轴，AB的长度等于点A的纵坐标，
∴ AB的最小值为4，
∴ CD的最小值为$\dfrac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；二次函数的最值；配方法
【点评】
本题综合考查几何性质与二次函数的应用，核心是利用直角三角形的性质完成问题转化，将求线段CD的最小值转化为求二次函数的最小值，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题可按两步思路推导：首先，根据直角三角形的性质明确CD与AB的数量关系，要找CD的最小值，可转化为求AB的最小值；其次，AB是点A到x轴的垂线段，长度等于点A的纵坐标，因此AB的最小值就是抛物线的最小纵坐标，通过配方法求出二次函数的最小值即可最终得到CD的最小值。
【解析】
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，
∴ $CD=\dfrac{1}{2}AB$。
对抛物线解析式配方变形：
$y=x^2-4x+8=(x^2-4x+4)+4=(x-2)^2+4$，
∴ 抛物线的顶点坐标为$(2,4)$，即抛物线上点的纵坐标最小值为4。
∵ $AB⊥ x$轴，AB的长度等于点A的纵坐标，
∴ AB的最小值为4，
∴ CD的最小值为$\dfrac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；二次函数的最值；配方法
【点评】
本题综合考查几何性质与二次函数的应用，核心是利用直角三角形的性质完成问题转化，将求线段CD的最小值转化为求二次函数的最小值，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)。若抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$（$h,k$为常数）与线段AB交于C，D两点，且点A，B关于抛物线的对称轴对称，$CD=\dfrac{1}{2}AB$，求抛物线对应的函数解析式。
11 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)。若抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$（$h,k$为常数）与线段AB交于C，D两点，且点A，B关于抛物线的对称轴对称，$CD=\dfrac{1}{2}AB$，求抛物线对应的函数解析式。
答案
11. $\because$ 点 $A$ 的坐标为$(0,2)$,点 $B$ 的坐标为$(4,2),\therefore AB=4. \because$ 点 $A,B$ 关于抛物线的对称轴对称,$\therefore h=2. \because$ 抛物线 $y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k(h,k$ 为常数)与线段 $AB$ 交于 $C,D$ 两点，$CD=\dfrac{1}{2}AB=2,\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(1,2).$ 将$(1,2)$代入 $y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2 +k,$得 $2=-\dfrac{3}{2} +k,$解得 $k=\dfrac{7}{2}. \therefore$ 所求抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2 +\dfrac{7}{2}$
解析
【分析】
解题时先从已知的A、B两点坐标出发，先计算线段AB的长度；再根据A、B关于抛物线对称轴对称，可知抛物线的对称轴是线段AB的垂直平分线，由此求出h的值；接着结合CD与AB的长度关系，利用抛物线的对称性得到点C的坐标；最后将点C坐标代入抛物线解析式求出k的值，即可得到函数解析式。
【解析】
解：$\because$ 点 $A$ 的坐标为$(0,2)$，点 $B$ 的坐标为$(4,2)$，
$\therefore AB=4-0=4$。
$\because$ 点 $A,B$ 关于抛物线的对称轴对称，
$\therefore$ 抛物线对称轴为直线$x=\dfrac{0+4}{2}=2$，即 $h=2$。
$\because$ 抛物线 $y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$与线段 $AB$ 交于 $C,D$ 两点，$CD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×4=2$，且C、D在直线$y=2$上、关于对称轴$x=2$对称，
$\therefore$ 点C的横坐标为$2-\dfrac{2}{2}=1$，即点C坐标为$(1,2)$。
将$(1,2)$代入 $y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2 +k$，得：
$2=-\dfrac{3}{2}(1-2)^2 +k$
$2=-\dfrac{3}{2} +k$
解得 $k=\dfrac{7}{2}$。
$\therefore$ 所求抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2 +\dfrac{7}{2}$。
【答案】
$y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2 +\dfrac{7}{2}$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；坐标与线段长度
【点评】
本题核心考查二次函数对称性的应用，解题关键是利用对称关系确定抛物线对称轴和交点坐标，再代入求值即可，解题逻辑清晰，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的A、B两点坐标出发，先计算线段AB的长度；再根据A、B关于抛物线对称轴对称，可知抛物线的对称轴是线段AB的垂直平分线，由此求出h的值；接着结合CD与AB的长度关系，利用抛物线的对称性得到点C的坐标；最后将点C坐标代入抛物线解析式求出k的值，即可得到函数解析式。
【解析】
解：$\because$ 点 $A$ 的坐标为$(0,2)$，点 $B$ 的坐标为$(4,2)$，
$\therefore AB=4-0=4$。
$\because$ 点 $A,B$ 关于抛物线的对称轴对称，
$\therefore$ 抛物线对称轴为直线$x=\dfrac{0+4}{2}=2$，即 $h=2$。
$\because$ 抛物线 $y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$与线段 $AB$ 交于 $C,D$ 两点，$CD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×4=2$，且C、D在直线$y=2$上、关于对称轴$x=2$对称，
$\therefore$ 点C的横坐标为$2-\dfrac{2}{2}=1$，即点C坐标为$(1,2)$。
将$(1,2)$代入 $y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2 +k$，得：
$2=-\dfrac{3}{2}(1-2)^2 +k$
$2=-\dfrac{3}{2} +k$
解得 $k=\dfrac{7}{2}$。
$\therefore$ 所求抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2 +\dfrac{7}{2}$。
【答案】
$y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2 +\dfrac{7}{2}$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；坐标与线段长度
【点评】
本题核心考查二次函数对称性的应用，解题关键是利用对称关系确定抛物线对称轴和交点坐标，再代入求值即可，解题逻辑清晰，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.7
