3. 如图,海中有一小岛A,在B点测得小岛A在北偏东$30°$方向上,渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点,在C点测得小岛A恰好在正北方向上,此时渔船与小岛A的距离为 ()


A.$\frac{10\sqrt{3}}{3}$ n mile
B.$\frac{20\sqrt{3}}{3}$ n mile
C.20 n mile
D.$10\sqrt{3}$ n mile

3 D 如图,连接AC,由题意得$∠ ACB=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ ABC = 90° - 30° = 60°$,$BC = 10$ n mile,$\therefore AC = BC · \tan 60° = 10\sqrt{3}$ n mile,故此时渔船与小岛A的距离为$10\sqrt{3}$ n mile.

1. [2025浙江中考]无人机警戒在高速公路场景中的应用,是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图,在高速公路上,交警在A处操控无人机巡查,无人机从点A处飞行到点P处悬停,探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500 m,从点A观测点P的仰角为$α$,$\cos α = 0.98$,则A处到B处的距离为m.

1 490 由题意得,$AB = AP · \cos α = 500 × 0.98 = 490(\mathrm{m}).$

2. [2025安徽中考]某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°.已知AB=13.20 m，求AD的长(精确到0.1 m).
参考数据:$\sin 23.8° \approx 0.40$，$\cos 23.8° \approx 0.91$，$\tan 23.8° \approx 0.44$，$\sin 36.9° \approx 0.60$，$\cos 36.9° \approx 0.80$，$\tan 36.9° \approx 0.75$.

2 解:如图,过点A作$AE ⊥ CD$,垂足为E.
由题意知,四边形ABCE为矩形,所以$CE = AB = 13.20$.
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,$\tan ∠ CAE = \dfrac{CE}{AE}$,
所以$AE = \dfrac{CE}{\tan ∠ CAE} = \dfrac{13.20}{\tan 23.8°} \approx \dfrac{13.20}{0.44} = 30.0$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$\cos ∠ DAE = \dfrac{AE}{AD}$,
所以$AD = \dfrac{AE}{\cos ∠ DAE} = \dfrac{30.0}{\cos 36.9°} \approx \dfrac{30.0}{0.80} = 37.5$.
因此,AD的长约为37.5 m.

4. [2025龙岩模拟]如图,在铁路建设中,需要确定隧道两洞口A和B的距离.点D,点E分别位于测绘点C的正北和正西方向.已知两定位点E,D与隧道口A,B的距离AE和BD分别为200 m和100 m,测绘点H,G分别为CD,CE的中点,测绘方在测绘点H处测得点G在点H的南偏西53°的方向上,且HC=480 m,则隧道AB的长约为 m.(参考数据:$\sin53°\approx0.8,\cos53°\approx0.6,\tan53°\approx\frac{4}{3}$)

4 1 300 在$\mathrm{Rt}△ CGH$中,$∠ CHG = 53°$,$CH = 480$ m,
$\cos ∠ CHG = \dfrac{CH}{HG}$,$\therefore HG = \dfrac{CH}{\cos 53°} \approx \dfrac{480}{0.6} = 800(\mathrm{m})$.$\because H,G$分别为CD,CE的中点,$\therefore HG$是$△ CDE$的中位线,$\therefore DE = 2HG = 1\ 600$ m,$\therefore AB = DE - AE - BD = 1\ 600 - 200 - 100 = 1\ 300(\mathrm{m})$,故隧道AB的长约为1 300 m.

5. [2022安徽中考]如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东$37°$方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西$53°$方向上.求A,B两点间的距离.
参考数据:$\sin 37° \approx 0.60$, $\cos 37° \approx 0.80$, $\tan 37° \approx 0.75$.

5 解:如图,$\because CE // AD$,$\therefore ∠ A = ∠ ECA = 37°$,
$\therefore ∠ CBD = ∠ A + ∠ ADB = 37° + 53° = 90°$,
$\therefore ∠ ABD = 90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$∠ BDC = 90° - 53° = 37°$,$CD = 90$ 米,
$\cos ∠ BDC = \dfrac{BD}{CD}$,
$\therefore BD = CD · \cos 37° \approx 90 × 0.80 = 72$(米).
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AB = \dfrac{BD}{\tan 37°} \approx \dfrac{72}{0.75} = 96$(米).
答:A,B两点间的距离约为96米.