1[2026湖北武汉质检,中]已知函数$y=\frac{x}{x^2+4x+c}$（c是常数），自变量x的取值范围不是全体实数，则c的取值范围是（）

A.$c≤4$
B.$c=8$
C.$c≠0$
D.$c≥4$

∵ 函数$y=\frac{x}{x^2+4x+c}$(c是常数),自变量x的取值范围不是全体实数,
∴ 方程$x^2+4x+c=0$有实数根,
∴ $Δ=4^2−4c≥0$,解得c≤4,故选A.

2[2026安徽池州期中,中]对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$,下列说法:
①若$a+b+c=0$,则方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$必有一个根为1;
②若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根,则方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根;
③若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则一定有$ac+b+1=0$成立;
④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根,则$b^2-4ac=(2ax_0 - b)^2$.
其中所有正确说法的序号为 ()

A.①②
B.①②④
C.①②③④
D.①②③

①当x=1时,a+b+c=0,故①正确;②
∵ 方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根,
∴ $Δ=0−4ac＞0$,
∴ $−4ac＞0$,
∴ 方程$ax^2+bx+c=0$根的判别式$b^2−4ac＞0$,
∴ 方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根,故②正确;③
∵ c是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,
∴ $ac^2+bc+c=0$,
∴ $c(ac+b+1)=0$,当c=0时,等式$c(ac+b+1)=0$成立,但$ac+b+1=0$不一定成立,故③错误;④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根,由求根公式可得$x_0=\frac{−b+\sqrt{b^2−4ac}}{2a}$或$x_0=\frac{−b−\sqrt{b^2−4ac}}{2a}$,
∴ $2ax_0+b=\sqrt{b^2−4ac}$或$2ax_0+b=−\sqrt{b^2−4ac}$,
∴ $b^2−4ac=(2ax_0+b)^2$,故④错误.故选A.

3[2025四川达州质检,中]如图,在矩形ABCD中,以点D为圆心,AD为半径作弧与BD交于点E,以点B为圆心,AB为半径作弧与BD交于点F.设AB=a,AD=b,则 ()


A.线段DF的长是方程$x^2 + 2ax = b^2$的一个解
B.线段DF的长是方程$x^2 - 2ax = b^2$的一个解
C.线段BE的长是方程$x^2 + bx = a^2$的一个解
D.线段BE的长是方程$x^2 - bx = a^2$的一个解

∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ $∠BAD=90°$.
∵ AB=a,AD=b,
∴ $BD=\sqrt{a^2+b^2}$.由作法得BF=a,DE=b,
∴ $DF=\sqrt{a^2+b^2}−a$,$BE=\sqrt{a^2+b^2}−b$.解方程$x^2+2ax=b^2$得$x=±\sqrt{a^2+b^2}−a$,故A选项符合题意;解方程$x^2−2ax=b^2$得$x=±\sqrt{a^2+b^2}+a$,故B选项不符合题意;解方程$x^2+bx=a^2$得$x=±\sqrt{a^2+\frac{1}{4}b^2}−\frac{1}{2}b$,故C选项不符合题意;解方程$x^2−bx=a^2$得$x=±\sqrt{a^2+\frac{1}{4}b^2}+\frac{1}{2}b$,故D选项不符合题意.故选A.

4[2025 内蒙古呼和浩特调研,中]已知关于 x 的一元二次方程$ax^2 - 2(a-1)x + a - 2 = 0(a＞0)$，设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$(其中$x_1＞x_2$)，若 y 是关于 a 的函数，且$y=x_1 - ax_2$，当$y＞0$时，a 的取值范围为.

$ax^2−2(a−1)x+a−2=0(a＞0)$是关于x的一元二次方程,$Δ=[−2(a−1)]^2−4a(a−2)=4＞0$,由求根公式,得$x=\frac{2(a−1)±2}{2a}$.
∵ a＞0,$x_1＞x_2$,
∴ $x_1=1$,$x_2=1−\frac{2}{a}$,
∴ $y=x_1−ax_2=1−a(1−\frac{2}{a})=1−a+2=3−a$.当y＞0时,3−a＞0,解得a＜3,
∴ 0＜a＜3,故答案为0＜a＜3.

5[2026河南郑州期中,中]已知关于x的方程
$x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \dfrac{1}{2}) = 0.$
(1)求证:无论k取何值,这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长$a = 5$,另两边长$b,c$恰好是这个方程的两个根,求$△ ABC$的周长.
刷素养 走向重高

(1)【证明】$Δ=[−(2k+1)]^2−4×4(k−\frac{1}{2})=4k^2+4k+1−16k+8=4k^2−12k+9=(2k−3)^2$.
∵ $(2k−3)^2≥0$,即Δ≥0,
∴ 无论k取何值,这个方程总有实数根.
(2)【解】
∵ $x=\frac{2k+1±(2k−3)}{2}$,
∴ $x_1=2k−1$,$x_2=2$.当b=c=2时,2+2＜5,故舍去;当k=3时,2k−1=5,且当a=b=5,c=2或a=c=5,b=2时,符合三角形的三边关系,
∴ $△ABC$的周长为5+5+2=12.

6 核心素养运算能力[2025江西南昌期中,较难]对于任意一个三位数k,如果k满足各个数位上的数字都不为零,且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍,那么称这个数为“喜鹊数”.例如:$k=169$,因为$6^2=4×1×9$,所以169是“喜鹊数”.
(1)已知一个“喜鹊数”$k=100a+10b+c(1≤a≤9,1≤b≤9,1≤c≤9$,且a,b,c为整数),请直接写出a,b,c所满足的关系式:;241“喜鹊数”(填“是”或“不是”).
(2)利用(1)中“喜鹊数”k中的a,b,c构造两个一元二次方程①$ax^2+bx+c=0$与②$cx^2+bx+a=0$,若$x=m$是方程①的一个根,$x=n$是方程②的一个根,求m与n满足的关系式.
(3)在(2)的条件下,若$m+n=-2$,请直接写出满足条件的所有k的值.

(1)
∵ $k=100a+10b+c(1≤a≤9,1≤b≤9,1≤c≤9$,且a,b,c为整数)是“喜鹊数”,
∴ $b^2=4ac$,即$b^2−4ac=0$.
∵ $4^2=16$,$4×2×1=8$,$16≠8$,
∴ 241不是“喜鹊数”.故答案为$b^2−4ac=0$,不是.
(2)
∵ x=m是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,x=n是一元二次方程$cx^2+bx+a=0$的一个根,
∴ m≠0,n≠0,$am^2+bm+c=0$,$cn^2+bn+a=0$.将$cn^2+bn+a=0$两边同除以$n^2$,得$a(\frac{1}{n})^2+b(\frac{1}{n})+c=0$,
∴ 将m,$\frac{1}{n}$看成是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根.
∵ $b^2−4ac=0$,
∴ 方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根,
∴ $m=\frac{1}{n}$,即mn=1.
(3)满足条件的所有k的值为121,242,363,484.
∵ m+n=−2,mn=1,
∴ m=−1,n=−1,
∴ a−b+c=0,
∴ b=a+c.
∵ $b^2=4ac$,
∴ $(a+c)^2=4ac$,
∴ a=c,
∴ 满足条件的所有k的值为121,242,363,484.