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1[2025山西吕梁期中]我们解一元二次方程$x^2 - 1 = 0$时，可以运用因式分解法，将此方程化为$(x - 1)(x + 1) = 0$，得到两个一元一次方程：$x - 1 = 0$，$x + 1 = 0$，从而得到原方程的解为$x_1 = 1$，$x_2 = -1$。这种解法体现的数学思想是（
A.整体思想
B.模型思想
C.函数思想
D.转化思想
D
）A.整体思想
B.模型思想
C.函数思想
D.转化思想
答案
D
【解析】把一元二次方程化为两个一元一次方程的解法体现的数学思想是转化思想. 故选 D.
【解析】把一元二次方程化为两个一元一次方程的解法体现的数学思想是转化思想. 故选 D.
2[2026贵州遵义期中]小聪在解方程$x^2=3x$时，只得到一个根$x=3$，则被漏掉的一个根是（
A.$x=-3$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$
B
）A.$x=-3$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$
答案
B
【解析】$\because x^2 = 3x,\therefore x^2 - 3x = 0,\therefore x(x - 3) = 0$，
$\therefore x = 0$或$x - 3 = 0$,即$x = 0$或$x = 3$. 小聪只得到$x = 3$,故被漏掉的根是$x = 0$. 故选 B.
【解析】$\because x^2 = 3x,\therefore x^2 - 3x = 0,\therefore x(x - 3) = 0$，
$\therefore x = 0$或$x - 3 = 0$,即$x = 0$或$x = 3$. 小聪只得到$x = 3$,故被漏掉的根是$x = 0$. 故选 B.
3[2026 山西太原质检]已知$(m^2+n^2)(m^2+n^2+2)-8(m^2+n^2+2)=0$,则$m^2+n^2$的值为 (
A.-8或2
B.-2或8
C.2
D.8
D
)A.-8或2
B.-2或8
C.2
D.8
答案
D
【解析】令$t = m^2 + n^2$,则原方程变为$t(t + 2) - 8(t + 2) = 0$. 提取公因式$t + 2$,得$(t + 2)(t - 8) = 0$,解得$t = -2$或$t = 8$. 由题意可知$m^2 + n^2 ＞ 0,\therefore$舍去$t = -2,\therefore t = 8$. 因此$m^2 + n^2$的值为 8. 故选 D.
【解析】令$t = m^2 + n^2$,则原方程变为$t(t + 2) - 8(t + 2) = 0$. 提取公因式$t + 2$,得$(t + 2)(t - 8) = 0$,解得$t = -2$或$t = 8$. 由题意可知$m^2 + n^2 ＞ 0,\therefore$舍去$t = -2,\therefore t = 8$. 因此$m^2 + n^2$的值为 8. 故选 D.
4 新考向开放性试题[2026江苏无锡校级期中]请构造一个一元二次方程,使它的一个根为2,另一个根比-2小,比-4大,则构造的一元二次方程是
$x^2+x-6=0$(答案不唯一)
.答案
$x^2+x-6=0$(答案不唯一)
【解析】$\because$ 一元二次方程的一个根为 2,另一个根比-2 小,比-4 大,则可以设另一个根为$-3,\therefore (x - 2)(x + 3) = 0$,$\therefore x^2 + x - 6 = 0$. 故答案为$x^2 + x - 6 = 0$(答案不唯一).
【解析】$\because$ 一元二次方程的一个根为 2,另一个根比-2 小,比-4 大,则可以设另一个根为$-3,\therefore (x - 2)(x + 3) = 0$,$\therefore x^2 + x - 6 = 0$. 故答案为$x^2 + x - 6 = 0$(答案不唯一).
5[2025 陕西西安质检]用因式分解法解方程：
(1)$(x+2)^2 - 4(x-3)^2 = 0$；
(2)$3y^2 + 1 = 2\sqrt{3}y$。
(1)$(x+2)^2 - 4(x-3)^2 = 0$；
(2)$3y^2 + 1 = 2\sqrt{3}y$。
答案
(1)因式分解,得$[(x + 2) + 2(x - 3)][(x + 2) - 2(x - 3)] = 0,\therefore (3x - 4)(-x + 8) = 0,\therefore 3x - 4 = 0$或$-x + 8 = 0,\therefore x_1 = \frac{4}{3},x_2 = 8$.
(2)整理得$3y^2 - 2\sqrt{3}y + 1 = 0$,因式分解,得$(\sqrt{3}y - 1)^2 = 0,\therefore y_1 = y_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
(2)整理得$3y^2 - 2\sqrt{3}y + 1 = 0$,因式分解,得$(\sqrt{3}y - 1)^2 = 0,\therefore y_1 = y_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
6[2026河南南阳质检]下列方程中，最适合用因式分解法解方程的是（
A.$(x-2)(x-3)=1$
B.$x^2 -2x -1=0$
C.$x-2=x^2 -4$
D.$x^2 -3x +4=0$
C
）A.$(x-2)(x-3)=1$
B.$x^2 -2x -1=0$
C.$x-2=x^2 -4$
D.$x^2 -3x +4=0$
答案
C
【解析】A 选项,整理得$x^2 - 5x + 5 = 0$,左边不可以分解因式,故不符合题意; B 选项,$x^2 - 2x - 1 = 0$,左边不能分解因式,故不符合题意; C 选项,$x^2 - 4 - (x - 2) = 0$,$(x + 2)(x - 2) - (x - 2) = 0$,$(x - 2)(x + 1) = 0$,适合用因式分解法求解,故符合题意; D 选项,$x^2 - 3x + 4 = 0$,左边不能分解因式,故不符合题意. 故选 C.
【解析】A 选项,整理得$x^2 - 5x + 5 = 0$,左边不可以分解因式,故不符合题意; B 选项,$x^2 - 2x - 1 = 0$,左边不能分解因式,故不符合题意; C 选项,$x^2 - 4 - (x - 2) = 0$,$(x + 2)(x - 2) - (x - 2) = 0$,$(x - 2)(x + 1) = 0$,适合用因式分解法求解,故符合题意; D 选项,$x^2 - 3x + 4 = 0$,左边不能分解因式,故不符合题意. 故选 C.
7 [2025浙江杭州期中](1)关于x的方程$x(x-1)=3(x-1)$，下列解法完全正确的是
(2)选择合适的方法解方程:
①$2(x+2)^2 -8=0$.
②$x(x-3)=2x-6$.
③$2x^2 -5x -2=0$.
④$(2x-5)^2 -(x+4)^2=0$.
丁
.(填“甲”“乙”“丙”或“丁”)(2)选择合适的方法解方程:
①$2(x+2)^2 -8=0$.
②$x(x-3)=2x-6$.
③$2x^2 -5x -2=0$.
④$(2x-5)^2 -(x+4)^2=0$.
答案
(1)方程两边不能同时除以$(x - 1)$,这样会漏解,故甲错误;移项时$3(x - 1)$没有变号,故乙错误;没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式,所以$c$的值错误,故丙错误;利用配方法解方程,计算正确,故丁正确. 故答案为丁.
(2)①整理得$(x + 2)^2 = 4$,开方得$x + 2 = \pm 2$,$\therefore x_1 = 0,x_2 = -4$.
②$x(x - 3) = 2x - 6$,移项,得$x(x - 3) - (2x - 6) = 0$,$\therefore x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$,$\therefore (x - 3)(x - 2) = 0,\therefore x - 3 = 0$或$x - 2 = 0$,$\therefore x_1 = 3,x_2 = 2$.
③$2x^2 - 5x - 2 = 0$,$\Delta = (-5)^2 - 4 × 2 × (-2) = 41 ＞ 0$,则$x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2 × 2},\therefore x_1 = \frac{5 - \sqrt{41}}{4},x_2 = \frac{5 + \sqrt{41}}{4}$.
④因式分解得$(2x - 5 + x + 4)(2x - 5 - x - 4) = 0$,$\therefore 3x - 1 = 0$或$x - 9 = 0,\therefore x_1 = \frac{1}{3},x_2 = 9$.
(2)①整理得$(x + 2)^2 = 4$,开方得$x + 2 = \pm 2$,$\therefore x_1 = 0,x_2 = -4$.
②$x(x - 3) = 2x - 6$,移项,得$x(x - 3) - (2x - 6) = 0$,$\therefore x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$,$\therefore (x - 3)(x - 2) = 0,\therefore x - 3 = 0$或$x - 2 = 0$,$\therefore x_1 = 3,x_2 = 2$.
③$2x^2 - 5x - 2 = 0$,$\Delta = (-5)^2 - 4 × 2 × (-2) = 41 ＞ 0$,则$x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2 × 2},\therefore x_1 = \frac{5 - \sqrt{41}}{4},x_2 = \frac{5 + \sqrt{41}}{4}$.
④因式分解得$(2x - 5 + x + 4)(2x - 5 - x - 4) = 0$,$\therefore 3x - 1 = 0$或$x - 9 = 0,\therefore x_1 = \frac{1}{3},x_2 = 9$.
