12.若三角形三个内角的度数之比为$3:4:9$，则这个三角形一定是（）

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形

12.C

【分析】
要判断三角形的类型，可通过判断三角形最大内角的类型确定，三角形内角和为180°，已知三个内角的度数比，我们可以采用设份数的方法计算最大角的度数：首先设每份角度为x，三个内角分别表示为3x、4x、9x，再结合内角和定理列方程求解，最后根据最大角的度数判断三角形类型即可。
【解析】
设该三角形三个内角的度数分别为3x、4x、9x，
根据三角形内角和定理可得：$3x + 4x + 9x = 180°$，
合并同类项得：$16x = 180°$，
解得：$x = 11.25°$，
则最大内角的度数为$9x = 9×11.25° = 101.25°$，
$\because 101.25° ＞ 90°$，是钝角，
$\therefore$ 这个三角形是钝角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题是三角形分类的基础题型，解题核心是利用内角和定理结合角度比例求出最大内角度数，只需判断最大角的类型即可确定三角形的类型，无需计算另外两个角的度数，可简化计算步骤。
【难度系数】
0.9

13.如图是一副三角板拼成的图形,则$∠ AEC$的度数为 （）

A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$

13.B

【分析】
解题时首先回忆一副三角板各内角的固定度数：等腰直角三角板的两个锐角均为45°，含30°角的直角三角板的两个锐角分别为30°、60°，两个三角板的直角均为90°。要求∠AEC的度数，观察可知∠AEC在△AEC中，已知∠A=90°，只需要求出∠ACE的度数，再利用三角形内角和为180°即可计算出结果。首先计算∠ACE：它等于等腰直角三角板的锐角∠DCB减去30°角三角板的锐角∠ACB，再代入内角和公式计算即可。
【解析】
由三角板的角度特征可知：
∠A=90°，∠ACB=30°，∠DCB=45°，
因此∠ACE=∠DCB - ∠ACB=45°-30°=15°，
在△AEC中，根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
∠AEC=180° - ∠A - ∠ACE=180°-90°-15°=75°。
【答案】
B
【知识点】
三角板角度特征，角度和差计算，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟记三角板的各内角度数，结合三角形内角和定理即可快速求解，是角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.8

14. 新考向 跨生物学 脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有锥体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角＞10°为脊柱侧弯.如图是脊柱侧弯Cobb角(∠O)的检测示意图，$DA ⊥ OC$于点$A$，$CB ⊥ OD$于点$B$，已知Cobb角为$37°$，则$∠ AEC$的度数是（）

A.$37°$
B.$45°$
C.$53°$
D.$63°$

14.A

【分析】
解题时先观察图形中的垂直条件，可得两个直角。第一步先在包含∠O的直角△OBC中，利用三角形内角和求出∠OCB的度数；第二步再在直角△EAC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠AEC的度数。
【解析】
解：
∵ $CB ⊥ OD$，
∴ $∠ OBC = 90°$，
在$△ OBC$中，$∠ O = 37°$，根据三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ OCB = 180° - ∠ OBC - ∠ O = 180° - 90° - 37° = 53°$，
又
∵ $DA ⊥ OC$，
∴ $∠ EAC = 90°$，
在$Rt△ EAC$中，两个锐角互余，即$∠ AEC + ∠ OCB = 90°$，
∴ $∠ AEC = 90° - 53° = 37°$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合脊柱侧弯检测的实际场景考查三角形角度计算，解题的关键是从垂直条件入手，结合三角形内角相关性质推导未知角的度数，体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.8

15.新考向 情境题 如图是可调节躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的度数,使$∠ EFD = 110°$,则图中∠D应(填“增加”或“减少”)°.

15.减少 10

【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再根据对顶角相等得到∠DCE的度数；接着利用三角形外角的性质推导∠EFD与∠D、∠E、∠DCE的数量关系，先算出原∠D对应的∠EFD的度数，再对比目标∠EFD=110°，计算∠D的调整量。
【解析】
1. 计算∠ACB的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=50°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。
2. 由对顶角相等可得：∠DCE=∠ACB=70°。
3. 推导∠EFD的表达式：
延长CF到点G，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
可得∠DFG=∠D+∠DCF，∠EFG=∠E+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFG+∠EFG=∠D+∠E+(∠DCF+∠ECF)=∠D+∠E+∠DCE。
4. 计算调整前后的∠D：
当∠D=20°时，代入得∠EFD=20°+30°+70°=120°；
现要求∠EFD=110°，代入表达式得：110°=∠D+30°+70°，解得∠D=10°。
∴∠D需要减少：20°-10°=10°。
【答案】
减少；10
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活中的躺椅调节情境，考查三角形相关角度的计算，解题关键是通过外角性质建立已知角和未知角的联系，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

16.[2026·合肥五十中期中]如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，则∠CAE＝°；
（2）写出∠BAC，∠B和∠E之间存在的等量关系：.

16.(1)95 (2)$∠ BAC=∠ B+2∠ E$

【分析】
（1）解题思路：首先利用三角形外角的性质求出△BCE的外角∠ECD的度数，再结合角平分线的定义得到∠ACE的度数，最后在△ACE中利用三角形内角和定理即可求出∠CAE的度数。
（2）解题思路：先根据三角形外角性质得到∠BAC与∠E、∠ACE的关系，以及∠ECD与∠B、∠E的关系，再结合角平分线的性质得到∠ACE=∠ECD，联立两个式子即可推导出∠BAC、∠B和∠E的等量关系。
【解析】
（1）
∵∠ECD是△BCE的外角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ECD=∠B+∠E=35°+25°=60°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠ECD=60°，
在△ACE中，三角形内角和为180°，
∴∠CAE=180°-∠ACE-∠E=180°-60°-25°=95°。
（2）推导如下：
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴∠BAC=∠E+∠ACE ①，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD，
又
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴∠ECD=∠B+∠E，即∠ACE=∠B+∠E ②，
将②代入①得：∠BAC=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E。
【答案】
（1）$\boldsymbol{95}$；（2）$\boldsymbol{∠BAC=∠B+2∠E}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的关键是准确识别三角形的外角，结合角平分线的性质灵活转化角度关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7

17.[新定义问题]定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的$\frac{1}{2}$,我们称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫作“友爱三角形”.例如:在$△ ABC$中,$∠ A = 80°$,$∠ B = 40°$,则$∠ A$与$∠ B$互为“友爱角”,$△ ABC$为“友爱三角形”.
(1)如图①,$△ ABC$是“友爱三角形”,且$∠ A$与$∠ B$互为“友爱角”($∠ A ＞ ∠ B$),$∠ ACB=90°$.
①求$∠ A$,$∠ B$的度数;
②若$CD$是$△ ABC$中$AB$边上的高,则$△ ACD$,$△ BCD$都是“友爱三角形”吗?为什么?
(2)如图②,在$△ ABC$中,$∠ ACB=70°$,$∠ A=66°$,$D$是边$AB$上一点(不与点$A$,$B$重合),连接$CD$.若$△ ACD$是“友爱三角形”,直接写出$∠ ACD$的度数.

17.解:(1)①$\because △ ABC$是“友爱三角形”,且$∠ A$与$∠ B$互为“友爱角”($∠ A＞∠ B$),$\therefore ∠ B=\frac{1}{2}∠ A$.
$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ A+∠ B=90°$,即$∠ A+\frac{1}{2}∠ A=90°$,
$\therefore ∠ A=60°$.$\therefore ∠ B=30°$.
②$△ ACD$,$△ BCD$都是“友爱三角形”.理由:
$\because CD$是$△ ABC$中$AB$边上的高,$\therefore ∠ ADC=∠ BDC=90°$.
$\because ∠ A=60°$,$∠ B=30°$,
$\therefore ∠ ACD=90°-∠ A=30°$,$∠ BCD=90°-∠ B=60°$.
在$△ ACD$中,$∠ A=60°$,$∠ ACD=30°$,$\therefore ∠ ACD=\frac{1}{2}∠ A$,
$\therefore △ ACD$为“友爱三角形”.
在$△ BCD$中,$∠ BCD=60°$,$∠ B=30°$,$\therefore ∠ B=\frac{1}{2}∠ BCD$,
$\therefore △ BCD$为“友爱三角形”.
(2)$∠ ACD$的度数为$33°$或$38°$.

【分析】
(1)①首先根据“友爱角”的定义，结合∠A＞∠B的条件，可得∠B=½∠A，再利用直角三角形两锐角和为90°的性质，代入列方程即可求解∠A、∠B的度数。
②要判断△ACD、△BCD是不是“友爱三角形”，先根据高的定义得到两个三角形均为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出两个三角形的所有内角度数，再对照“友爱三角形”的定义验证是否存在一个角是另一个角的½即可。
(2)△ACD是“友爱三角形”，已知∠A=66°，需分两类讨论：一是∠A与∠ACD互为友爱角，二是∠ACD与∠ADC互为友爱角，结合∠ACD＜70°的隐含条件排除不符合题意的解，最终得到∠ACD的度数。
【解析】
(1)①
∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”($∠A＞∠B$)，
∴$∠ B=\frac{1}{2}∠ A$，
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ A+∠ B=90°$，
将$∠ B=\frac{1}{2}∠ A$代入得：$∠ A+\frac{1}{2}∠ A=90°$，
解得$∠ A=60°$，
∴$∠ B=\frac{1}{2}×60°=30°$。
②△ACD，△BCD都是“友爱三角形”，理由如下：
∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴$∠ ADC=∠ BDC=90°$，
在$Rt△ ACD$中，$∠ ACD=90°-∠ A=90°-60°=30°$，
∴$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ A$，满足“友爱角”定义，故△ACD是“友爱三角形”；
在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=90°-30°=60°$，
∴$∠ B=\frac{1}{2}∠ BCD$，满足“友爱角”定义，故△BCD是“友爱三角形”。
(2)在△ACD中，$∠ A=66°$，
∴$∠ ACD+∠ ADC=180°-66°=114°$，
分情况讨论：
情况1：若∠A与∠ACD互为“友爱角”：
当$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ A$时，$∠ ACD=\frac{1}{2}×66°=33°$，符合$∠ ACD＜70°$；
当$∠ A=\frac{1}{2}∠ ACD$时，$∠ ACD=2×66°=132°＞70°$，舍去；
情况2：若∠ACD与∠ADC互为“友爱角”：
当$∠ ADC=\frac{1}{2}∠ ACD$时，$∠ ACD+\frac{1}{2}∠ ACD=114°$，解得$∠ ACD=76°＞70°$，舍去；
当$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ADC$时，即$∠ ADC=2∠ ACD$，得$∠ ACD+2∠ ACD=114°$，解得$∠ ACD=38°$，符合$∠ ACD＜70°$；
综上，∠ACD的度数为$33°$或$38°$。
【答案】
(1)①$∠ A=60°$，$∠ B=30°$；②△ACD、△BCD都是“友爱三角形”，理由见解析；(2)$33°$或$38°$
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，新定义应用
【点评】
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解“友爱三角形”的定义，结合三角形内角和相关性质求解，第二问需要运用分类讨论思想，注意结合隐含条件排除不符合题意的解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65