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1. 在平面直角坐标系中, 抛物线 $y = ax^2 - 3ax + 2a + 1(a ＜ 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $A(0, -1)$.
(1)求抛物线对应的函数解析式和顶点坐标.
(2)当 $t ≤ x ≤ 2$ 时, 抛物线的最大值和最小值的差为 $\frac{49}{4}$, 求 $t$ 的值.
(1)求抛物线对应的函数解析式和顶点坐标.
(2)当 $t ≤ x ≤ 2$ 时, 抛物线的最大值和最小值的差为 $\frac{49}{4}$, 求 $t$ 的值.
答案
1. (1)
∵抛物线 $y = ax^2 - 3ax + 2a + 1(a ＜ 0)$ 与y轴交于点A(0,-1)，
∴2a+1=-1.
解得a=-1.
∴抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^2+3x-1$.
∵$y=-x^2+3x-1=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{5}{4}$，
∴该抛物线的顶点坐标为 $(\frac{3}{2},\frac{5}{4})$.
(2) 由(1)可得抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{3}{2}$.
当x=2时，$y=-4+3×2-1=1$.
点(2,1)关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 的对称点为(1,1).
分三种情况讨论.
①第一种情况:$t＜1$.
当$t≤ x≤ 2$时，y的最大值为$\frac{5}{4}$，最小值为$-t^2+3t-1$.
∴$\frac{5}{4}-(-t^2+3t-1)=\frac{49}{4}$.
整理，得$t^2-3t-10=0$.
解得$t_1=-2,t_2=5$(舍去).
②第二种情况:$1≤ t≤ \frac{3}{2}$.
当$t≤ x≤ 2$时，y的最大值为$\frac{5}{4}$，最小值为1.
$\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}≠\frac{49}{4}$，不合题意.
③第三种情况:$\frac{3}{2}＜ t≤ 2$.
当$t≤ x≤ 2$时，y的最大值为$-t^2+3t-1$，最小值为1.
∴$-t^2+3t-1-1=\frac{49}{4}$.
整理，得$t^2-3t+\frac{57}{4}=0$.
∵$\Delta=(-3)^2-4×1×\frac{57}{4}=9-57=-48＜0$，
∴此方程无解，不合题意.
综上所述，t的值为-2.
∵抛物线 $y = ax^2 - 3ax + 2a + 1(a ＜ 0)$ 与y轴交于点A(0,-1)，
∴2a+1=-1.
解得a=-1.
∴抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^2+3x-1$.
∵$y=-x^2+3x-1=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{5}{4}$，
∴该抛物线的顶点坐标为 $(\frac{3}{2},\frac{5}{4})$.
(2) 由(1)可得抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{3}{2}$.
当x=2时，$y=-4+3×2-1=1$.
点(2,1)关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 的对称点为(1,1).
分三种情况讨论.
①第一种情况:$t＜1$.
当$t≤ x≤ 2$时，y的最大值为$\frac{5}{4}$，最小值为$-t^2+3t-1$.
∴$\frac{5}{4}-(-t^2+3t-1)=\frac{49}{4}$.
整理，得$t^2-3t-10=0$.
解得$t_1=-2,t_2=5$(舍去).
②第二种情况:$1≤ t≤ \frac{3}{2}$.
当$t≤ x≤ 2$时，y的最大值为$\frac{5}{4}$，最小值为1.
$\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}≠\frac{49}{4}$，不合题意.
③第三种情况:$\frac{3}{2}＜ t≤ 2$.
当$t≤ x≤ 2$时，y的最大值为$-t^2+3t-1$，最小值为1.
∴$-t^2+3t-1-1=\frac{49}{4}$.
整理，得$t^2-3t+\frac{57}{4}=0$.
∵$\Delta=(-3)^2-4×1×\frac{57}{4}=9-57=-48＜0$，
∴此方程无解，不合题意.
综上所述，t的值为-2.
解析
【分析】
（1）已知抛物线与y轴交点A的坐标，将A(0,-1)代入抛物线解析式即可求出参数a，得到完整的函数解析式后，通过配方法变形即可求出顶点坐标。
（2）先确定抛物线的对称轴，计算x=2对应的函数值，找到该点关于对称轴的对称点横坐标为1，由于抛物线开口向下，区间t≤x≤2内的最值随t的位置变化而变化，因此分t＜1、1≤t≤3/2、3/2＜t≤2三种情况，分别确定区间内的最大值和最小值，根据二者差值为49/4列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可得到t的值。
【解析】
(1)
∵抛物线 $y = ax^2 - 3ax + 2a + 1(a ＜ 0)$ 与y轴交于点A(0,-1)，
∴将x=0，y=-1代入解析式得：$2a+1=-1$，
解得$a=-1$，
∴抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^2+3x-1$，
∵$y=-x^2+3x-1=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{5}{4}$，
∴该抛物线的顶点坐标为 $(\frac{3}{2},\frac{5}{4})$。
(2) 由(1)可得抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{3}{2}$，且开口向下，
当x=2时，$y=-4+3×2-1=1$，
点(2,1)关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 的对称点为(1,1)，分三种情况讨论：
①当$t＜1$时：
在$t≤ x≤ 2$区间内，y在$x=\frac{3}{2}$处取最大值$\frac{5}{4}$，在$x=t$处取最小值$-t^2+3t-1$，
由题意得：$\frac{5}{4}-(-t^2+3t-1)=\frac{49}{4}$，
整理得$t^2-3t-10=0$，
解得$t_1=-2,t_2=5$，
∵$t＜1$，
∴$t=5$舍去，$t=-2$符合条件；
②当$1≤ t≤ \frac{3}{2}$时：
在$t≤ x≤ 2$区间内，y的最大值为顶点处的$\frac{5}{4}$，最小值为1，
此时最大值与最小值的差为$\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}≠\frac{49}{4}$，不合题意，舍去；
③当$\frac{3}{2}＜ t≤ 2$时：
在$t≤ x≤ 2$区间内，y随x的增大而减小，故最大值为$x=t$处的$-t^2+3t-1$，最小值为$x=2$处的1，
由题意得：$-t^2+3t-1-1=\frac{49}{4}$，
整理得$t^2-3t+\frac{57}{4}=0$，
∵$\Delta=(-3)^2-4×1×\frac{57}{4}=9-57=-48＜0$，
∴此方程无实数根，不合题意，舍去；
综上所述，t的值为-2。
【答案】
(1) 函数解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+3x-1}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(\frac{3}{2},\frac{5}{4})}$；
(2) $\boldsymbol{t=-2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数的基础应用与区间最值求解，第一问较为基础，直接代入点坐标即可计算；第二问的核心是结合二次函数的开口方向、对称轴对给定区间的位置进行分类讨论，解题时要注意验证解是否符合对应区间的取值范围，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
（1）已知抛物线与y轴交点A的坐标，将A(0,-1)代入抛物线解析式即可求出参数a，得到完整的函数解析式后，通过配方法变形即可求出顶点坐标。
（2）先确定抛物线的对称轴，计算x=2对应的函数值，找到该点关于对称轴的对称点横坐标为1，由于抛物线开口向下，区间t≤x≤2内的最值随t的位置变化而变化，因此分t＜1、1≤t≤3/2、3/2＜t≤2三种情况，分别确定区间内的最大值和最小值，根据二者差值为49/4列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可得到t的值。
【解析】
(1)
∵抛物线 $y = ax^2 - 3ax + 2a + 1(a ＜ 0)$ 与y轴交于点A(0,-1)，
∴将x=0，y=-1代入解析式得：$2a+1=-1$，
解得$a=-1$，
∴抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^2+3x-1$，
∵$y=-x^2+3x-1=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{5}{4}$，
∴该抛物线的顶点坐标为 $(\frac{3}{2},\frac{5}{4})$。
(2) 由(1)可得抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{3}{2}$，且开口向下，
当x=2时，$y=-4+3×2-1=1$，
点(2,1)关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 的对称点为(1,1)，分三种情况讨论：
①当$t＜1$时：
在$t≤ x≤ 2$区间内，y在$x=\frac{3}{2}$处取最大值$\frac{5}{4}$，在$x=t$处取最小值$-t^2+3t-1$，
由题意得：$\frac{5}{4}-(-t^2+3t-1)=\frac{49}{4}$，
整理得$t^2-3t-10=0$，
解得$t_1=-2,t_2=5$，
∵$t＜1$，
∴$t=5$舍去，$t=-2$符合条件；
②当$1≤ t≤ \frac{3}{2}$时：
在$t≤ x≤ 2$区间内，y的最大值为顶点处的$\frac{5}{4}$，最小值为1，
此时最大值与最小值的差为$\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}≠\frac{49}{4}$，不合题意，舍去；
③当$\frac{3}{2}＜ t≤ 2$时：
在$t≤ x≤ 2$区间内，y随x的增大而减小，故最大值为$x=t$处的$-t^2+3t-1$，最小值为$x=2$处的1，
由题意得：$-t^2+3t-1-1=\frac{49}{4}$，
整理得$t^2-3t+\frac{57}{4}=0$，
∵$\Delta=(-3)^2-4×1×\frac{57}{4}=9-57=-48＜0$，
∴此方程无实数根，不合题意，舍去；
综上所述，t的值为-2。
【答案】
(1) 函数解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+3x-1}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(\frac{3}{2},\frac{5}{4})}$；
(2) $\boldsymbol{t=-2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数的基础应用与区间最值求解，第一问较为基础，直接代入点坐标即可计算；第二问的核心是结合二次函数的开口方向、对称轴对给定区间的位置进行分类讨论，解题时要注意验证解是否符合对应区间的取值范围，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
2. 如图,已知抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0),B(3,0)$ 两点,与 $y$ 轴交于点 $C$.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)点 $M$ 是抛物线对称轴上的一个动点,当 $MA+MC$ 的值最小时,求点 $M$ 的坐标及 $MA+MC$ 的最小值.
(3)在直线 $BC$ 上方的抛物线上是否存在点 $D$,使 $△ BCD$ 的面积最大? 若存在,求出点 $D$ 的坐标及 $△ BCD$ 面积的最大值;若不存在,请说明理由.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)点 $M$ 是抛物线对称轴上的一个动点,当 $MA+MC$ 的值最小时,求点 $M$ 的坐标及 $MA+MC$ 的最小值.
(3)在直线 $BC$ 上方的抛物线上是否存在点 $D$,使 $△ BCD$ 的面积最大? 若存在,求出点 $D$ 的坐标及 $△ BCD$ 面积的最大值;若不存在,请说明理由.
答案
2. (1) 将(-1,0),(3,0)分别代入$y=-x^2+bx+c$，
得$\begin{cases}-1-b+c=0,\\-9+3b+c=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$
∴该抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^2+2x+3$.
(2)
∵点M是抛物线对称轴上的一个动点，
∴MA=MB.
∴MA+MC=MB+MC.
∵两点之间，线段最短，
∴MB+MC的最小值为线段BC的长，此时点M为直线BC与抛物线对称轴的公共点.
如图.
当x=0时，$y=-x^2+2x+3=3$.
∴点C的坐标为(0,3).
设BC所在直线对应的函数解析式为$y=mx+n(m≠0)$.
∵点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，
∴$\begin{cases}3m+n=0,\\n=3.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-1,\\n=3.\end{cases}$
∴BC所在直线对应的函数解析式为$y=-x+3$.
∵抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+2x+3$，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1.
当x=1时，$y=-x+3=2$.
∴点M的坐标为(1,2)，
$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}$.
∴当MA+MC的值最小时，点M的坐标为(1,2)，MA+MC的最小值为$3\sqrt{2}$.
(3) 存在.
如图，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，连接CD,BD.
设点D的坐标为$(t,-t^2+2t+3)$，则点E的坐标为(t,3-t)，其中0＜t＜3.
∴$DE=-t^2+2t+3-(3-t)=-t^2+3t$.
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}DE·(x_B-x_C)=\frac{3}{2}(-t^2+3t)=-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$.
∵$-\frac{3}{2}＜0$，
∴当$t=\frac{3}{2}$时，$S_{△ BCD}$取最大值，最大值为$\frac{27}{8}$，此时点D的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$.
∴点D的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，△BCD面积的最大值为$\frac{27}{8}$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，直接将两点代入抛物线一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到解析式。
(2) 本题为将军饮马类最短路径问题：抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，因此对称轴上的点M满足MA=MB，可将MA+MC转化为MB+MC。根据两点之间线段最短，当B、M、C三点共线时，MB+MC最小，最小值为BC的长度，此时M为直线BC与对称轴的交点。先求C点坐标，再求直线BC解析式，结合对称轴即可求出M点坐标，用勾股定理计算BC长度即可得到最小值。
(3) 求△BCD的最大面积可采用铅垂高法：过D作DE垂直x轴交直线BC于E，△BCD的面积可表示为$\frac{1}{2}×DE×B、C$的水平距离。设D的横坐标为t，用含t的式子表示DE的长度，将面积转化为关于t的二次函数，根据二次函数性质即可求出最大值及对应D点坐标。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$、$B(3,0)$分别代入$y=-x^2+bx+c$，
得$\begin{cases}-1-b+c=0,\\-9+3b+c=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$
∴该抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^2+2x+3$.
(2)
∵点M在抛物线对称轴上，抛物线对称轴垂直平分AB，
∴MA=MB.
∴MA+MC=MB+MC.
根据两点之间线段最短，MB+MC的最小值为线段BC的长，此时点M为直线BC与抛物线对称轴的公共点，如图：
当x=0时，$y=-x^2+2x+3=3$，
∴点C的坐标为$(0,3)$.
设BC所在直线对应的函数解析式为$y=mx+n(m≠0)$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3m+n=0,\\n=3.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-1,\\n=3.\end{cases}$
∴BC所在直线对应的函数解析式为$y=-x+3$.
抛物线$y=-x^2+2x+3$的对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
将x=1代入$y=-x+3$，得$y=-1+3=2$，
∴点M的坐标为$(1,2)$，
由勾股定理得$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}$，即MA+MC的最小值为$3\sqrt{2}$.
(3) 存在，理由如下：
如图，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，连接CD、BD：
设点D的坐标为$(t,-t^2+2t+3)$（$0＜t＜3$），则点E的坐标为$(t,3-t)$，
∴$DE=-t^2+2t+3-(3-t)=-t^2+3t$，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}DE·(x_B-x_C)=\frac{3}{2}(-t^2+3t)=-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$，
∵$-\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，
∴当$t=\frac{3}{2}$时，$S_{△ BCD}$取最大值$\frac{27}{8}$，
此时D点纵坐标为$-(\frac{3}{2})^2+2×\frac{3}{2}+3=\frac{15}{4}$，即D点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$.
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) M点坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$，MA+MC的最小值为$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$，图示：；
(3) 存在，D点坐标为$\boldsymbol{(\frac{3}{2},\frac{15}{4})}$，△BCD面积最大值为$\boldsymbol{\frac{27}{8}}$，图示：。
【知识点】
待定系数法求解析式，最短路径问题，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数综合经典题型，融合了一次函数求解、将军饮马最短路径、动态面积最值等高频考点，解题过程需灵活运用数形结合思想，掌握铅垂法求三角形面积、二次函数求最值的方法，对逻辑推导和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，直接将两点代入抛物线一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到解析式。
(2) 本题为将军饮马类最短路径问题：抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，因此对称轴上的点M满足MA=MB，可将MA+MC转化为MB+MC。根据两点之间线段最短，当B、M、C三点共线时，MB+MC最小，最小值为BC的长度，此时M为直线BC与对称轴的交点。先求C点坐标，再求直线BC解析式，结合对称轴即可求出M点坐标，用勾股定理计算BC长度即可得到最小值。
(3) 求△BCD的最大面积可采用铅垂高法：过D作DE垂直x轴交直线BC于E，△BCD的面积可表示为$\frac{1}{2}×DE×B、C$的水平距离。设D的横坐标为t，用含t的式子表示DE的长度，将面积转化为关于t的二次函数，根据二次函数性质即可求出最大值及对应D点坐标。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$、$B(3,0)$分别代入$y=-x^2+bx+c$，
得$\begin{cases}-1-b+c=0,\\-9+3b+c=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$
∴该抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^2+2x+3$.
(2)
∵点M在抛物线对称轴上，抛物线对称轴垂直平分AB，
∴MA=MB.
∴MA+MC=MB+MC.
根据两点之间线段最短，MB+MC的最小值为线段BC的长，此时点M为直线BC与抛物线对称轴的公共点，如图：
当x=0时，$y=-x^2+2x+3=3$，
∴点C的坐标为$(0,3)$.
设BC所在直线对应的函数解析式为$y=mx+n(m≠0)$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3m+n=0,\\n=3.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-1,\\n=3.\end{cases}$
∴BC所在直线对应的函数解析式为$y=-x+3$.
抛物线$y=-x^2+2x+3$的对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
将x=1代入$y=-x+3$，得$y=-1+3=2$，
∴点M的坐标为$(1,2)$，
由勾股定理得$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}$，即MA+MC的最小值为$3\sqrt{2}$.
(3) 存在，理由如下：
如图，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，连接CD、BD：
设点D的坐标为$(t,-t^2+2t+3)$（$0＜t＜3$），则点E的坐标为$(t,3-t)$，
∴$DE=-t^2+2t+3-(3-t)=-t^2+3t$，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}DE·(x_B-x_C)=\frac{3}{2}(-t^2+3t)=-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$，
∵$-\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，
∴当$t=\frac{3}{2}$时，$S_{△ BCD}$取最大值$\frac{27}{8}$，
此时D点纵坐标为$-(\frac{3}{2})^2+2×\frac{3}{2}+3=\frac{15}{4}$，即D点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$.
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) M点坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$，MA+MC的最小值为$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$，图示：
；(3) 存在，D点坐标为$\boldsymbol{(\frac{3}{2},\frac{15}{4})}$，△BCD面积最大值为$\boldsymbol{\frac{27}{8}}$，图示：
。【知识点】
待定系数法求解析式，最短路径问题，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数综合经典题型，融合了一次函数求解、将军饮马最短路径、动态面积最值等高频考点，解题过程需灵活运用数形结合思想，掌握铅垂法求三角形面积、二次函数求最值的方法，对逻辑推导和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
