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5. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳.当容器的容积$ V $(单位:$ m^3 $)变化时,气体的密度$ \rho $(单位:$ kg/m^3 $)随之变化.已知密度$ \rho $与容积$ V $是反比例函数关系,它的图象如图所示.
(1)写出密度$ \rho $关于容积$ V $的函数解析式.
(2)当$ V=4 $时,求二氧化碳的密度$ \rho $.
(3)当$ 2≤\rho≤6 $时,求$ V $的取值范围.
(1)写出密度$ \rho $关于容积$ V $的函数解析式.
(2)当$ V=4 $时,求二氧化碳的密度$ \rho $.
(3)当$ 2≤\rho≤6 $时,求$ V $的取值范围.
答案
5.【解】(1)设密度 $\rho$ 关于容积 $V$ 的函数解析式为 $\rho=\frac{k}{V}(k≠0)$.
把 $V=5,\rho=2$ 代入 $\rho=\frac{k}{V}$,得 $2=\frac{k}{5}$.
解得 $k=10$.
因此,密度 $\rho$ 关于容积 $V$ 的函数解析式为 $\rho=\frac{10}{V}$.
(2)当 $V=4$ 时,$\rho=\frac{10}{4}=2.5$.
因此,当 $V=4$ 时,二氧化碳的密度 $\rho$ 为 $2.5\ \mathrm{kg/m^3}$.
(3)观察题图,得当 $\rho=2$ 时,$V=5$.
把 $\rho=6$ 代入 $\rho=\frac{10}{V}$,得 $6=\frac{10}{V}$.
解得 $V=\frac{5}{3}$.
因此,当 $2≤\rho≤6$ 时,$V$ 的取值范围是 $\frac{5}{3}≤V≤5$.
把 $V=5,\rho=2$ 代入 $\rho=\frac{k}{V}$,得 $2=\frac{k}{5}$.
解得 $k=10$.
因此,密度 $\rho$ 关于容积 $V$ 的函数解析式为 $\rho=\frac{10}{V}$.
(2)当 $V=4$ 时,$\rho=\frac{10}{4}=2.5$.
因此,当 $V=4$ 时,二氧化碳的密度 $\rho$ 为 $2.5\ \mathrm{kg/m^3}$.
(3)观察题图,得当 $\rho=2$ 时,$V=5$.
把 $\rho=6$ 代入 $\rho=\frac{10}{V}$,得 $6=\frac{10}{V}$.
解得 $V=\frac{5}{3}$.
因此,当 $2≤\rho≤6$ 时,$V$ 的取值范围是 $\frac{5}{3}≤V≤5$.
解析
【分析】
这是反比例函数在实际问题中的应用题目，解题思路如下：
1. 求函数解析式：题目明确ρ与V是反比例函数关系，先设出反比例函数的一般形式$\rho=\frac{k}{V}(k\ne0)$，再利用图像上已知点P(5,2)的坐标代入解析式，求出参数k的值，即可得到ρ关于V的函数解析式，注意结合实际意义V＞0。
2. 求V=4时的ρ值：属于已知自变量的值求对应函数值，直接将V=4代入第一问求得的解析式计算即可。
3. 求$2\le\rho\le6$时V的取值范围：该反比例函数$k=10＞0$，在第一象限内ρ随V的增大而减小，只需将ρ的两个端点值分别代入解析式，求出对应的V值，再结合函数的增减性即可确定V的取值范围。
【解析】
(1) 设密度$\rho$关于容积$V$的函数解析式为$\rho=\frac{k}{V}(k\ne0)$。
把$V=5$，$\rho=2$代入$\rho=\frac{k}{V}$，得$2=\frac{k}{5}$，解得$k=10$。
因此密度$\rho$关于容积$V$的函数解析式为$\rho=\frac{10}{V}(V＞0)$。
(2) 当$V=4$时，代入$\rho=\frac{10}{V}$得$\rho=\frac{10}{4}=2.5$。
即当$V=4$时，二氧化碳的密度$\rho$为$2.5\ \mathrm{kg/m^3}$。
(3) 该反比例函数$k=10＞0$，当$V＞0$时，$\rho$随$V$的增大而减小。
当$\rho=2$时，对应$V=5$；
把$\rho=6$代入$\rho=\frac{10}{V}$，得$6=\frac{10}{V}$，解得$V=\frac{5}{3}$。
因此当$2\le\rho\le6$时，$V$的取值范围是$\frac{5}{3}\le V\le5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\rho=\dfrac{10}{V}(V＞0)}$
(2) $\boldsymbol{2.5\ \mathrm{kg/m^3}}$
(3) $\boldsymbol{\dfrac{5}{3}\le V\le 5}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理学科中密度、质量、体积的关系考查反比例函数的相关知识，侧重基础，解题核心是正确求出反比例函数解析式，再结合函数性质求解相关问题，同时要注意实际问题中自变量的取值需要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
这是反比例函数在实际问题中的应用题目，解题思路如下：
1. 求函数解析式：题目明确ρ与V是反比例函数关系，先设出反比例函数的一般形式$\rho=\frac{k}{V}(k\ne0)$，再利用图像上已知点P(5,2)的坐标代入解析式，求出参数k的值，即可得到ρ关于V的函数解析式，注意结合实际意义V＞0。
2. 求V=4时的ρ值：属于已知自变量的值求对应函数值，直接将V=4代入第一问求得的解析式计算即可。
3. 求$2\le\rho\le6$时V的取值范围：该反比例函数$k=10＞0$，在第一象限内ρ随V的增大而减小，只需将ρ的两个端点值分别代入解析式，求出对应的V值，再结合函数的增减性即可确定V的取值范围。
【解析】
(1) 设密度$\rho$关于容积$V$的函数解析式为$\rho=\frac{k}{V}(k\ne0)$。
把$V=5$，$\rho=2$代入$\rho=\frac{k}{V}$，得$2=\frac{k}{5}$，解得$k=10$。
因此密度$\rho$关于容积$V$的函数解析式为$\rho=\frac{10}{V}(V＞0)$。
(2) 当$V=4$时，代入$\rho=\frac{10}{V}$得$\rho=\frac{10}{4}=2.5$。
即当$V=4$时，二氧化碳的密度$\rho$为$2.5\ \mathrm{kg/m^3}$。
(3) 该反比例函数$k=10＞0$，当$V＞0$时，$\rho$随$V$的增大而减小。
当$\rho=2$时，对应$V=5$；
把$\rho=6$代入$\rho=\frac{10}{V}$，得$6=\frac{10}{V}$，解得$V=\frac{5}{3}$。
因此当$2\le\rho\le6$时，$V$的取值范围是$\frac{5}{3}\le V\le5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\rho=\dfrac{10}{V}(V＞0)}$
(2) $\boldsymbol{2.5\ \mathrm{kg/m^3}}$
(3) $\boldsymbol{\dfrac{5}{3}\le V\le 5}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理学科中密度、质量、体积的关系考查反比例函数的相关知识，侧重基础，解题核心是正确求出反比例函数解析式，再结合函数性质求解相关问题，同时要注意实际问题中自变量的取值需要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
6.已知电阻器的电阻$R$(单位:$\Omega$)、功率$P$(单位:$\mathrm{W}$)与它两端的电压$U$(单位:$\mathrm{V}$)之间的关系为$P=\frac{U^2}{R}$.若某电阻器的电阻为$12\ \Omega$,功率为$1\ 200\ \mathrm{W}$,求该电阻器两端的电压.
答案
6.【解】根据题意,得 $1\ 200=\frac{U^2}{12}$.
整理,得 $U^2=14\ 400$.
$\because U＞0$,
$\therefore U=\sqrt{14\ 400}=120(\mathrm{V})$.
因此,该电阻器两端的电压为 120 V.
整理,得 $U^2=14\ 400$.
$\because U＞0$,
$\therefore U=\sqrt{14\ 400}=120(\mathrm{V})$.
因此,该电阻器两端的电压为 120 V.
解析
【分析】
本题给出了功率P、电压U、电阻R三者的关系式，已知R和P的数值要求电压U，解题思路如下：首先将已知的$R=12\ \Omega$、$P=1200\ \mathrm{W}$代入给定的公式$P=\frac{U^2}{R}$，得到关于U的方程；接下来对方程变形求出$U^2$的值；最后结合电压为正数的实际意义，取$U^2$的算术平方根即可得到U的数值。
【解析】
将$R=12\ \Omega$，$P=1200\ \mathrm{W}$代入公式$P=\frac{U^2}{R}$，可得：
$1200=\frac{U^2}{12}$
方程两边同时乘12，整理得：
$U^2=1200×12=14400$
$\because$电压U为正数，即$U＞0$
$\therefore U=\sqrt{14400}=120(\mathrm{V})$
【答案】
120 V
【知识点】
1. 算术平方根计算
2. 公式代入求值
3. 平方根实际应用
【点评】
本题是跨学科的基础应用题，将数学计算与物理公式相结合，解题时需要注意结合实际场景判断未知数的取值范围，避免出现不符合实际的负根。
【难度系数】
0.9
本题给出了功率P、电压U、电阻R三者的关系式，已知R和P的数值要求电压U，解题思路如下：首先将已知的$R=12\ \Omega$、$P=1200\ \mathrm{W}$代入给定的公式$P=\frac{U^2}{R}$，得到关于U的方程；接下来对方程变形求出$U^2$的值；最后结合电压为正数的实际意义，取$U^2$的算术平方根即可得到U的数值。
【解析】
将$R=12\ \Omega$，$P=1200\ \mathrm{W}$代入公式$P=\frac{U^2}{R}$，可得：
$1200=\frac{U^2}{12}$
方程两边同时乘12，整理得：
$U^2=1200×12=14400$
$\because$电压U为正数，即$U＞0$
$\therefore U=\sqrt{14400}=120(\mathrm{V})$
【答案】
120 V
【知识点】
1. 算术平方根计算
2. 公式代入求值
3. 平方根实际应用
【点评】
本题是跨学科的基础应用题，将数学计算与物理公式相结合，解题时需要注意结合实际场景判断未知数的取值范围，避免出现不符合实际的负根。
【难度系数】
0.9
7.某用电器的电阻$R$(单位: kΩ)随温度$t$(单位:℃)变化的大致图象如图所示.通电后,当该用电器的温度由$10\ °\mathrm{C}$上升到$30\ °\mathrm{C}$时,电阻$R$与温度$t$近似成反比例函数关系,且当该用电器的温度达到$30\ °\mathrm{C}$时,电阻下降到最小值,随后电阻随温度的升高而增大,此时将电阻$R$与温度$t$之间的函数关系近似看成一次函数,其函数解析式为$R=\frac{4}{15}t -6(t≥30)$.
(1)当$10≤ t＜30$时,求$R$关于$t$的函数解析式.
(2)该用电器在使用过程中,若电阻$R$不超过$5\ \mathrm{k}\Omega$,求温度$t$的取值范围.
(1)当$10≤ t＜30$时,求$R$关于$t$的函数解析式.
(2)该用电器在使用过程中,若电阻$R$不超过$5\ \mathrm{k}\Omega$,求温度$t$的取值范围.
答案
7.【解】(1)当 $10≤t＜30$ 时,设 $R$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $R=\frac{k}{t}(k≠0)$.
把 $t=10,R=6$ 代入 $R=\frac{k}{t}$,得 $6=\frac{k}{10}$.
解得 $k=60$.
因此,当 $10≤t＜30$ 时,$R$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $R=\frac{60}{t}$.
(2)把 $R=5$ 代入 $R=\frac{60}{t}$,得 $5=\frac{60}{t}$. 解得 $t=12$.
把 $R=5$ 代入 $R=\frac{4}{15}t-6$,得 $5=\frac{4}{15}t-6$. 解得 $t=\frac{165}{4}$.
因此,温度 $t$ 的取值范围是 $12≤t≤\frac{165}{4}$.
把 $t=10,R=6$ 代入 $R=\frac{k}{t}$,得 $6=\frac{k}{10}$.
解得 $k=60$.
因此,当 $10≤t＜30$ 时,$R$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $R=\frac{60}{t}$.
(2)把 $R=5$ 代入 $R=\frac{60}{t}$,得 $5=\frac{60}{t}$. 解得 $t=12$.
把 $R=5$ 代入 $R=\frac{4}{15}t-6$,得 $5=\frac{4}{15}t-6$. 解得 $t=\frac{165}{4}$.
因此,温度 $t$ 的取值范围是 $12≤t≤\frac{165}{4}$.
解析
【分析】
(1) 题目明确10≤t＜30区间内R与t成反比例函数关系，因此先设反比例函数的一般形式为$R=\frac{k}{t}(k≠0)$，再从图像中提取已知点$t=10、R=6$代入解析式，求出未知参数k即可得到该区间的函数解析式。
(2) 求$R≤5\mathrm{k}\Omega$时t的取值范围需分段讨论：先在10≤t＜30区间代入反比例函数解析式，求出满足$R≤5$的t范围；再在t≥30区间代入给定的一次函数解析式，求出满足$R≤5$的t范围，最后合并两个范围即可得到最终结果。
【解析】
(1) 当$10≤t＜30$时，设$R$关于$t$的函数解析式为$R=\frac{k}{t}(k≠0)$。
把$t=10,R=6$代入解析式得：$6=\frac{k}{10}$，解得$k=60$。
因此当$10≤t＜30$时，$R$关于$t$的函数解析式为$R=\frac{60}{t}$。
(2) ① 当$10≤t＜30$时，把$R=5$代入$R=\frac{60}{t}$，得$5=\frac{60}{t}$，解得$t=12$。
由于该区间内R随t增大而减小，因此$R≤5$时$t≥12$，即该区间满足条件的范围为$12≤t＜30$。
② 当$t≥30$时，把$R=5$代入$R=\frac{4}{15}t -6$，得$5=\frac{4}{15}t -6$，解得$t=\frac{165}{4}$。
由于该区间内R随t增大而增大，因此$R≤5$时$t≤\frac{165}{4}$，即该区间满足条件的范围为$30≤t≤\frac{165}{4}$。
合并两个区间的范围，可得温度t的取值范围。
【答案】
(1) $R=\frac{60}{t}(10≤t＜30)$
(2) $12≤t≤\frac{165}{4}$
【知识点】
反比例函数、一次函数、分段函数应用
【点评】
本题结合函数图像考查分段函数的实际应用，解题核心是根据不同区间的函数类型分别计算，需要学生具备从题干和图像中提取有效信息的能力，同时注意自变量的取值范围，避免分段讨论时出现范围错漏。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确10≤t＜30区间内R与t成反比例函数关系，因此先设反比例函数的一般形式为$R=\frac{k}{t}(k≠0)$，再从图像中提取已知点$t=10、R=6$代入解析式，求出未知参数k即可得到该区间的函数解析式。
(2) 求$R≤5\mathrm{k}\Omega$时t的取值范围需分段讨论：先在10≤t＜30区间代入反比例函数解析式，求出满足$R≤5$的t范围；再在t≥30区间代入给定的一次函数解析式，求出满足$R≤5$的t范围，最后合并两个范围即可得到最终结果。
【解析】
(1) 当$10≤t＜30$时，设$R$关于$t$的函数解析式为$R=\frac{k}{t}(k≠0)$。
把$t=10,R=6$代入解析式得：$6=\frac{k}{10}$，解得$k=60$。
因此当$10≤t＜30$时，$R$关于$t$的函数解析式为$R=\frac{60}{t}$。
(2) ① 当$10≤t＜30$时，把$R=5$代入$R=\frac{60}{t}$，得$5=\frac{60}{t}$，解得$t=12$。
由于该区间内R随t增大而减小，因此$R≤5$时$t≥12$，即该区间满足条件的范围为$12≤t＜30$。
② 当$t≥30$时，把$R=5$代入$R=\frac{4}{15}t -6$，得$5=\frac{4}{15}t -6$，解得$t=\frac{165}{4}$。
由于该区间内R随t增大而增大，因此$R≤5$时$t≤\frac{165}{4}$，即该区间满足条件的范围为$30≤t≤\frac{165}{4}$。
合并两个区间的范围，可得温度t的取值范围。
【答案】
(1) $R=\frac{60}{t}(10≤t＜30)$
(2) $12≤t≤\frac{165}{4}$
【知识点】
反比例函数、一次函数、分段函数应用
【点评】
本题结合函数图像考查分段函数的实际应用，解题核心是根据不同区间的函数类型分别计算，需要学生具备从题干和图像中提取有效信息的能力，同时注意自变量的取值范围，避免分段讨论时出现范围错漏。
【难度系数】
0.7
