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三、解答题
11. 如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为$4π \ \mathrm{m}^2$的圆盘. 已知圆桌的高度为1 m，圆桌面的半径为0.5 m，求吊灯距圆桌面的距离.
11. 如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为$4π \ \mathrm{m}^2$的圆盘. 已知圆桌的高度为1 m，圆桌面的半径为0.5 m，求吊灯距圆桌面的距离.
答案
11. $\frac{1}{3}$ m. 提示：先算出圆盘半径$CD=2\ \mathrm{m}$，由$△ PAB ∽ △ PCD$，得$\frac{PA}{PC}=\frac{AB}{CD}$. 所以$\frac{PA}{PA+1}=\frac{0.5}{2}·$
解析
【分析】
解题时首先结合投影圆盘的面积求出其半径，再根据中心投影的特征，桌面与地面平行，可得桌面半径和投影半径构成的两个三角形相似，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比，设未知量建立方程即可求解吊灯距圆桌面的距离。
【解析】
解：设吊灯距圆桌面的距离为$ PA = x\ \mathrm{m} $。
1. 求地面投影圆盘的半径：
设地面投影圆盘的半径为$ R $，由圆的面积公式$ S=π R^2 $，已知投影面积为$ 4π\ \mathrm{m}^2 $，则：
$ π R^2 = 4π $，解得$ R=2\ \mathrm{m} $，即$ CD=2\ \mathrm{m} $。
2. 证明相似三角形并建立方程：
∵ 圆桌面与地面平行，
∴ $ AB // CD $，
∴ $ △ PAB ∽ △ PCD $，
根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，可得：
$ \frac{PA}{PC}=\frac{AB}{CD} $
其中$ PC = PA + AC = x + 1 $，$ AB=0.5\ \mathrm{m} $，代入得：
$ \frac{x}{x+1}=\frac{0.5}{2} $
3. 解方程：
交叉相乘得$ 2x = 0.5(x + 1) $，
整理得$ 2x = 0.5x + 0.5 $，
$ 1.5x = 0.5 $，解得$ x=\frac{1}{3} $。
【答案】
$\frac{1}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
中心投影，相似三角形的应用，圆的面积计算
【点评】
本题是中心投影在实际生活中的应用问题，解题的核心是通过平行关系得到相似三角形，利用相似比建立方程求解，需要熟练掌握相似三角形的性质和圆的面积公式。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合投影圆盘的面积求出其半径，再根据中心投影的特征，桌面与地面平行，可得桌面半径和投影半径构成的两个三角形相似，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比，设未知量建立方程即可求解吊灯距圆桌面的距离。
【解析】
解：设吊灯距圆桌面的距离为$ PA = x\ \mathrm{m} $。
1. 求地面投影圆盘的半径：
设地面投影圆盘的半径为$ R $，由圆的面积公式$ S=π R^2 $，已知投影面积为$ 4π\ \mathrm{m}^2 $，则：
$ π R^2 = 4π $，解得$ R=2\ \mathrm{m} $，即$ CD=2\ \mathrm{m} $。
2. 证明相似三角形并建立方程：
∵ 圆桌面与地面平行，
∴ $ AB // CD $，
∴ $ △ PAB ∽ △ PCD $，
根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，可得：
$ \frac{PA}{PC}=\frac{AB}{CD} $
其中$ PC = PA + AC = x + 1 $，$ AB=0.5\ \mathrm{m} $，代入得：
$ \frac{x}{x+1}=\frac{0.5}{2} $
3. 解方程：
交叉相乘得$ 2x = 0.5(x + 1) $，
整理得$ 2x = 0.5x + 0.5 $，
$ 1.5x = 0.5 $，解得$ x=\frac{1}{3} $。
【答案】
$\frac{1}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
中心投影，相似三角形的应用，圆的面积计算
【点评】
本题是中心投影在实际生活中的应用问题，解题的核心是通过平行关系得到相似三角形，利用相似比建立方程求解，需要熟练掌握相似三角形的性质和圆的面积公式。
【难度系数】
0.7
12. 小华晚上在广场散步的示意图如图所示，图中线段AB表示站立在广场上的小华，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置.
（1）在小华由B处沿BO行走到达O处的过程中，她在地面上的影子长度的变化情况为：
（2）请在图中画出小华站在AB处的影子BE.
（3）当小华和灯杆的距离$OB=3.2\ \mathrm{m}$时，身高为$1.6\ \mathrm{m}$的小华的影长为$1.6\ \mathrm{m}$. 当小华离开灯杆的距离$OD=6\ \mathrm{m}$时，小华的影长$DF$是多少？
（1）在小华由B处沿BO行走到达O处的过程中，她在地面上的影子长度的变化情况为：
变短
.（2）请在图中画出小华站在AB处的影子BE.
（3）当小华和灯杆的距离$OB=3.2\ \mathrm{m}$时，身高为$1.6\ \mathrm{m}$的小华的影长为$1.6\ \mathrm{m}$. 当小华离开灯杆的距离$OD=6\ \mathrm{m}$时，小华的影长$DF$是多少？
答案
12. (1) 变短. (2) 作图略.
(3) 3 m. 提示：设$OP=x\ \mathrm{m}$，由$\frac{AB}{OP}=\frac{BE}{OE}$，得$\frac{1.6}{x}=\frac{1.6}{3.2+1.6}$，即$x=4.8$. 当$OD=6\ \mathrm{m}$时，设此时影长是$y\ \mathrm{m}$. 由$\frac{DF}{DF+OD}=\frac{CD}{OP}$，得$\frac{y}{6+y}=\frac{1.6}{4.8}$，即$y=3$.
(3) 3 m. 提示：设$OP=x\ \mathrm{m}$，由$\frac{AB}{OP}=\frac{BE}{OE}$，得$\frac{1.6}{x}=\frac{1.6}{3.2+1.6}$，即$x=4.8$. 当$OD=6\ \mathrm{m}$时，设此时影长是$y\ \mathrm{m}$. 由$\frac{DF}{DF+OD}=\frac{CD}{OP}$，得$\frac{y}{6+y}=\frac{1.6}{4.8}$，即$y=3$.
解析
【分析】
（1）根据中心投影的规律：等高的物体垂直地面放置时，离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长。小华从B到O是靠近灯杆（点光源），由此可判断影子长度变化。
（2）中心投影下，物体的影子是点光源与物体顶端的连线延长后和地面的交点，到物体底部的线段。因此连接点P和A，延长交地面于E，BE即为所求影子。
（3）人和灯杆都垂直于地面，互相平行，因此人和灯杆、影子分别构成的两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，先通过已知的OB、影长、身高求出灯杆PO的高度，再代入OD的数值，即可求出此时的影长DF。
【解析】
（1）小华由B处沿BO走到O处的过程中，距离点光源P越来越近，根据中心投影的性质，等高物体垂直地面时，离光源越近影子越短，因此影子长度变短。
（2）作图步骤：连接PA并延长，交地面所在的直线于点E，线段BE就是小华站在AB处的影子。
（3）解：设灯杆高度$OP=x\ \mathrm{m}$。
∵$AB⊥ BD$，$PO⊥ BD$，
∴$AB// PO$，
∴$△ ABE ∽ △ POE$，
∴$\frac{AB}{OP}=\frac{BE}{OE}$，其中$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$BE=1.6\ \mathrm{m}$，$OE=OB+BE=3.2+1.6=4.8\ \mathrm{m}$，
代入得$\frac{1.6}{x}=\frac{1.6}{4.8}$，解得$x=4.8$，即灯杆高$4.8\ \mathrm{m}$。
当$OD=6\ \mathrm{m}$时，设此时小华影长$DF=y\ \mathrm{m}$，同理$CD// PO$，
∴$△ CDF ∽ △ POF$，
∴$\frac{CD}{OP}=\frac{DF}{OF}$，其中$CD=1.6\ \mathrm{m}$，$OF=OD+DF=6+y$，
代入得$\frac{1.6}{4.8}=\frac{y}{6+y}$，
化简得$4.8y=1.6(6+y)$，
解得$y=3$。
【答案】
(1) 变短；(2) 作图略；(3) $\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的影子问题，考查中心投影的性质和相似三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为相似三角形模型，利用对应边成比例建立方程求解，体现了数学在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
（1）根据中心投影的规律：等高的物体垂直地面放置时，离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长。小华从B到O是靠近灯杆（点光源），由此可判断影子长度变化。
（2）中心投影下，物体的影子是点光源与物体顶端的连线延长后和地面的交点，到物体底部的线段。因此连接点P和A，延长交地面于E，BE即为所求影子。
（3）人和灯杆都垂直于地面，互相平行，因此人和灯杆、影子分别构成的两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，先通过已知的OB、影长、身高求出灯杆PO的高度，再代入OD的数值，即可求出此时的影长DF。
【解析】
（1）小华由B处沿BO走到O处的过程中，距离点光源P越来越近，根据中心投影的性质，等高物体垂直地面时，离光源越近影子越短，因此影子长度变短。
（2）作图步骤：连接PA并延长，交地面所在的直线于点E，线段BE就是小华站在AB处的影子。
（3）解：设灯杆高度$OP=x\ \mathrm{m}$。
∵$AB⊥ BD$，$PO⊥ BD$，
∴$AB// PO$，
∴$△ ABE ∽ △ POE$，
∴$\frac{AB}{OP}=\frac{BE}{OE}$，其中$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$BE=1.6\ \mathrm{m}$，$OE=OB+BE=3.2+1.6=4.8\ \mathrm{m}$，
代入得$\frac{1.6}{x}=\frac{1.6}{4.8}$，解得$x=4.8$，即灯杆高$4.8\ \mathrm{m}$。
当$OD=6\ \mathrm{m}$时，设此时小华影长$DF=y\ \mathrm{m}$，同理$CD// PO$，
∴$△ CDF ∽ △ POF$，
∴$\frac{CD}{OP}=\frac{DF}{OF}$，其中$CD=1.6\ \mathrm{m}$，$OF=OD+DF=6+y$，
代入得$\frac{1.6}{4.8}=\frac{y}{6+y}$，
化简得$4.8y=1.6(6+y)$，
解得$y=3$。
【答案】
(1) 变短；(2) 作图略；(3) $\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的影子问题，考查中心投影的性质和相似三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为相似三角形模型，利用对应边成比例建立方程求解，体现了数学在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
