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13 如图(1)，路灯 AB 与路灯 CD 都与地面垂直，且相距 18 m，路灯 AB 的高度比路灯 CD 的高度低 1.6 m. 夜晚，身高为 1.6 m 的小明(PQ)以 1.5 m/s的速度从路灯 AB 沿 BD 走向路灯 CD，记其行走时间为 t s. 2 s 时，他走到了 P 处，发现身后影子头顶正好触到路灯 AB 的底部(点 B). 如图(2)，设在行走过程中，小明(FE)在路灯 AB 下的影子为 FM，在路灯 CD 下的影子为 FN.
(1) 求路灯 CD 的高度.
(2) 当$t=4$时，求影子 FN 的长.
(3) 小明从路灯 AB 走向路灯 CD 的过程中，两路灯下的影子总长$MN=$
(4) 小明发现，在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的. 请写出小明在路灯 CD 下的影子的头顶 N 在地面上移动的速度.
(1) 求路灯 CD 的高度.
(2) 当$t=4$时，求影子 FN 的长.
(3) 小明从路灯 AB 走向路灯 CD 的过程中，两路灯下的影子总长$MN=$
$\frac{144+3t}{40}\ \mathrm{m}$
. (用含 t 的代数式表示)(4) 小明发现，在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的. 请写出小明在路灯 CD 下的影子的头顶 N 在地面上移动的速度.
答案
13. (1) 9.6 m. (2) $\frac{12}{5}$ m.
(3) $\frac{144+3t}{40}$ m. 提示：由(1)(2)，得$\frac{MF}{MB}=\frac{1}{5}$，$\frac{NF}{ND}=\frac{1}{6}$. $t$秒时，$BF=\frac{3}{2}t$，$FD=18-\frac{3}{2}t$. 设$NF=a$，$FM=b$，则$\frac{a}{a+18-\frac{3}{2}t}=\frac{1}{6}$，$\frac{b}{b+\frac{3}{2}t}=\frac{1}{5}$. 解得：$a=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}$，$b=\frac{3t}{8}$，$MN=a+b=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}+\frac{3t}{8}=\frac{144+3t}{40}$.
(4) 1.8 m/s. 提示：由题意可知，$t$时刻影子的顶端$N$在地面上移动的距离是$BN$，$BN=BF-NF=\frac{3}{2}t-(\frac{18}{5}-\frac{3t}{10})=1.8t-3.6$. 因此，影子顶端$N$在地面上移动速度是1.8 m/s.
(3) $\frac{144+3t}{40}$ m. 提示：由(1)(2)，得$\frac{MF}{MB}=\frac{1}{5}$，$\frac{NF}{ND}=\frac{1}{6}$. $t$秒时，$BF=\frac{3}{2}t$，$FD=18-\frac{3}{2}t$. 设$NF=a$，$FM=b$，则$\frac{a}{a+18-\frac{3}{2}t}=\frac{1}{6}$，$\frac{b}{b+\frac{3}{2}t}=\frac{1}{5}$. 解得：$a=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}$，$b=\frac{3t}{8}$，$MN=a+b=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}+\frac{3t}{8}=\frac{144+3t}{40}$.
(4) 1.8 m/s. 提示：由题意可知，$t$时刻影子的顶端$N$在地面上移动的距离是$BN$，$BN=BF-NF=\frac{3}{2}t-(\frac{18}{5}-\frac{3t}{10})=1.8t-3.6$. 因此，影子顶端$N$在地面上移动速度是1.8 m/s.
解析
【分析】
本题是中心投影结合相似三角形的实际应用问题，解题核心是利用“垂直于地面的物体互相平行，可推出相似三角形”，结合相似三角形对应边成比例列式计算。(1)先计算t=2s时小明行走的距离，再通过△BPQ与△BDC相似列比例式求CD高度；(2)t=4时先求出小明到B、D的距离，再通过△NEF与△NCD相似求FN；(3)用含t的式子表示小明到B、D的距离，分别用相似表示出FM和FN，相加得到MN的表达式；(4)先求出影子顶端N到B点的距离关于t的表达式，一次项系数即为移动速度。
【解析】
(1) 当t=2s时，小明行走的路程$BP=1.5×2=3\mathrm{m}$，
∵$PQ⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
∴$PQ// CD$，
∴$△ BPQ ∽ △ BDC$，
∴$\frac{PQ}{CD}=\frac{BP}{BD}$，
代入$PQ=1.6\mathrm{m}$，$BD=18\mathrm{m}$，得$\frac{1.6}{CD}=\frac{3}{18}$，
解得$CD=9.6\mathrm{m}$。
(2) 当$t=4$时，小明行走的路程$BF=1.5×4=6\mathrm{m}$，
∴$FD=BD-BF=18-6=12\mathrm{m}$，
∵$FE⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
∴$FE// CD$，
∴$△ NFE ∽ △ NDC$，
设$FN=x\mathrm{m}$，则$ND=NF+FD=x+12$，
代入得$\frac{1.6}{9.6}=\frac{x}{x+12}$，化简得$\frac{1}{6}=\frac{x}{x+12}$，
解得$x=\frac{12}{5}$，即FN长为$\frac{12}{5}\mathrm{m}$。
(3) t秒时，小明行走的路程$BF=1.5t=\frac{3t}{2}\mathrm{m}$，$FD=18-\frac{3t}{2}\mathrm{m}$，
由(1)得$CD=9.6\mathrm{m}$，$AB=CD-1.6=8\mathrm{m}$，
设$NF=a$，$FM=b$：
①在路灯CD的投影下：$\frac{FE}{CD}=\frac{NF}{ND}$，即$\frac{1.6}{9.6}=\frac{a}{a+18-\frac{3t}{2}}$，解得$a=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}$；
②在路灯AB的投影下：$\frac{FE}{AB}=\frac{FM}{BM}$，即$\frac{1.6}{8}=\frac{b}{b+\frac{3t}{2}}$，解得$b=\frac{3t}{8}$；
∴$MN=a+b=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}+\frac{3t}{8}=\frac{144+3t}{40}\mathrm{m}$。
(4) 影子顶端N到点B的距离：$BN=BF-NF=\frac{3t}{2}-(\frac{18}{5}-\frac{3t}{10})=1.8t-3.6$，
该式是关于t的一次函数，一次项系数为1.8，即影子头顶N移动的速度为$1.8\mathrm{m/s}$。
【答案】
(1) $9.6\mathrm{m}$；(2) $\frac{12}{5}\mathrm{m}$；(3) $\frac{144+3t}{40}\mathrm{m}$；(4) $1.8\mathrm{m/s}$
【知识点】
中心投影、相似三角形的应用、一次函数的应用
【点评】
本题结合生活中的投影现象考查相似三角形的实际应用，解题关键是从投影光线中找到平行关系，构造相似三角形，再利用对应边成比例列式求解，最后一问将位置随时间的变化转化为函数关系求速度，贴近生活实际，综合性较强。
【难度系数】
0.65
本题是中心投影结合相似三角形的实际应用问题，解题核心是利用“垂直于地面的物体互相平行，可推出相似三角形”，结合相似三角形对应边成比例列式计算。(1)先计算t=2s时小明行走的距离，再通过△BPQ与△BDC相似列比例式求CD高度；(2)t=4时先求出小明到B、D的距离，再通过△NEF与△NCD相似求FN；(3)用含t的式子表示小明到B、D的距离，分别用相似表示出FM和FN，相加得到MN的表达式；(4)先求出影子顶端N到B点的距离关于t的表达式，一次项系数即为移动速度。
【解析】
(1) 当t=2s时，小明行走的路程$BP=1.5×2=3\mathrm{m}$，
∵$PQ⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
∴$PQ// CD$，
∴$△ BPQ ∽ △ BDC$，
∴$\frac{PQ}{CD}=\frac{BP}{BD}$，
代入$PQ=1.6\mathrm{m}$，$BD=18\mathrm{m}$，得$\frac{1.6}{CD}=\frac{3}{18}$，
解得$CD=9.6\mathrm{m}$。
(2) 当$t=4$时，小明行走的路程$BF=1.5×4=6\mathrm{m}$，
∴$FD=BD-BF=18-6=12\mathrm{m}$，
∵$FE⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
∴$FE// CD$，
∴$△ NFE ∽ △ NDC$，
设$FN=x\mathrm{m}$，则$ND=NF+FD=x+12$，
代入得$\frac{1.6}{9.6}=\frac{x}{x+12}$，化简得$\frac{1}{6}=\frac{x}{x+12}$，
解得$x=\frac{12}{5}$，即FN长为$\frac{12}{5}\mathrm{m}$。
(3) t秒时，小明行走的路程$BF=1.5t=\frac{3t}{2}\mathrm{m}$，$FD=18-\frac{3t}{2}\mathrm{m}$，
由(1)得$CD=9.6\mathrm{m}$，$AB=CD-1.6=8\mathrm{m}$，
设$NF=a$，$FM=b$：
①在路灯CD的投影下：$\frac{FE}{CD}=\frac{NF}{ND}$，即$\frac{1.6}{9.6}=\frac{a}{a+18-\frac{3t}{2}}$，解得$a=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}$；
②在路灯AB的投影下：$\frac{FE}{AB}=\frac{FM}{BM}$，即$\frac{1.6}{8}=\frac{b}{b+\frac{3t}{2}}$，解得$b=\frac{3t}{8}$；
∴$MN=a+b=\frac{18}{5}-\frac{3t}{10}+\frac{3t}{8}=\frac{144+3t}{40}\mathrm{m}$。
(4) 影子顶端N到点B的距离：$BN=BF-NF=\frac{3t}{2}-(\frac{18}{5}-\frac{3t}{10})=1.8t-3.6$，
该式是关于t的一次函数，一次项系数为1.8，即影子头顶N移动的速度为$1.8\mathrm{m/s}$。
【答案】
(1) $9.6\mathrm{m}$；(2) $\frac{12}{5}\mathrm{m}$；(3) $\frac{144+3t}{40}\mathrm{m}$；(4) $1.8\mathrm{m/s}$
【知识点】
中心投影、相似三角形的应用、一次函数的应用
【点评】
本题结合生活中的投影现象考查相似三角形的实际应用，解题关键是从投影光线中找到平行关系，构造相似三角形，再利用对应边成比例列式求解，最后一问将位置随时间的变化转化为函数关系求速度，贴近生活实际，综合性较强。
【难度系数】
0.65
