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1. [2026张掖一中期末]如图是小明设计的用手电筒测量某古城墙高度的示意图，点P处水平放置一面平面镜，从点A发出的光线经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，测得AB = 1.2 m，BP = 1.8 m，PD = 12 m，则该古城墙的高度为 (
A.6 m
B.8 m
C.18 m
D.24 m
B
)A.6 m
B.8 m
C.18 m
D.24 m
答案
1 B 根据题意可得∠APB = ∠CPD (入射角的度数与反射角的度数相等,等角的余角相等), ∠ABP = ∠CDP,
∴ Rt△ABP∽ Rt△CDP,
∴ AB/CD = BP/DP.
∵ AB = 1.2 m, BP = 1.8 m,PD = 12 m,
∴ CD = (1.2×12)/1.8 = 8(m).
∴ Rt△ABP∽ Rt△CDP,
∴ AB/CD = BP/DP.
∵ AB = 1.2 m, BP = 1.8 m,PD = 12 m,
∴ CD = (1.2×12)/1.8 = 8(m).
解析
【分析】
解题时先结合平面镜反射的性质：入射角等于反射角，可得二者的余角∠APB=∠CPD；再由AB⊥BD、CD⊥BD得到两个直角相等，即可证明△ABP和△CDP相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出古城墙CD的高度。
【解析】
根据镜面反射原理，入射角等于反射角，二者的余角相等，即∠APB=∠CPD。
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴相似三角形对应边成比例：$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$。
将AB=1.2 m，BP=1.8 m，PD=12 m代入比例式：
$\frac{1.2}{CD}=\frac{1.8}{12}$，
解得$CD=\frac{1.2×12}{1.8}=8(m)$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；镜面反射原理
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是结合镜面反射的性质找到相等的角证明三角形相似，再利用相似三角形边的比例关系求解，将数学知识和生活实际结合，能锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先结合平面镜反射的性质：入射角等于反射角，可得二者的余角∠APB=∠CPD；再由AB⊥BD、CD⊥BD得到两个直角相等，即可证明△ABP和△CDP相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出古城墙CD的高度。
【解析】
根据镜面反射原理，入射角等于反射角，二者的余角相等，即∠APB=∠CPD。
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴相似三角形对应边成比例：$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$。
将AB=1.2 m，BP=1.8 m，PD=12 m代入比例式：
$\frac{1.2}{CD}=\frac{1.8}{12}$，
解得$CD=\frac{1.2×12}{1.8}=8(m)$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；镜面反射原理
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是结合镜面反射的性质找到相等的角证明三角形相似，再利用相似三角形边的比例关系求解，将数学知识和生活实际结合，能锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.8
2. 教材习题变式 [2026 成都高新区期末]太阳能路灯的使用既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排.某同学想测量一盏太阳能路灯离地面的高度，如图，他先将竹竿直立在 C 处，测得竹竿的影长 CG 为 2 m，再将竹竿直立在 E 处，测得竹竿的影长 EH 为 4 m，记路灯 A 的正下方为 B，点 B,C,G,E,H 在同一条直线上，竹竿长 2 m，CE = 6 m，求该太阳能路灯 A 到地面的高度 AB. 
答案
2 解:根据题意可得AB⊥BH,DC⊥BH,FE⊥BH,
∴ AB//CD//EF,
∴ △DCG∽△ABG,△FEH∽△ABH,
∴ DC/AB = CG/BG, FE/AB = EH/BH.
∵ CD = EF = 2 m,CG = 2 m,EH = 4 m,CE = 6 m,
∴ 2/AB = 2/(BC+2), 2/AB = 4/(BC+6+4),
∴ 2/(BC+2) = 4/(BC+10),
∴ BC = 6 m,
∴ 2/AB = 2/8,
∴ AB = 8 m.
答:该太阳能路灯 A 到地面的高度 AB 为 8 m.
∴ AB//CD//EF,
∴ △DCG∽△ABG,△FEH∽△ABH,
∴ DC/AB = CG/BG, FE/AB = EH/BH.
∵ CD = EF = 2 m,CG = 2 m,EH = 4 m,CE = 6 m,
∴ 2/AB = 2/(BC+2), 2/AB = 4/(BC+6+4),
∴ 2/(BC+2) = 4/(BC+10),
∴ BC = 6 m,
∴ 2/AB = 2/8,
∴ AB = 8 m.
答:该太阳能路灯 A 到地面的高度 AB 为 8 m.
解析
【分析】
本题是中心投影下的高度测量问题，解题核心是利用相似三角形的性质建立比例关系。首先根据垂直于同一直线的多条直线互相平行，可得竹竿与路灯杆平行，进而推出两组相似三角形：$△ DCG∽△ ABG$、$△ FEH∽△ ABH$；再结合已知的竹竿长度、影长、CE的长度，分别列出两个包含AB和BC的比例式，通过两个比例式中都含有的$\frac{2}{AB}$建立关于BC的方程，求解出BC后再代入比例式即可求出AB的长度。
【解析】
解：根据题意可得$AB⊥ BH$，$DC⊥ BH$，$FE⊥ BH$，
$\therefore AB// CD// EF$，
$\therefore △ DCG∽ △ ABG$，$△ FEH∽ △ ABH$，
$\therefore \frac{DC}{AB}=\frac{CG}{BG}$，$\frac{FE}{AB}=\frac{EH}{BH}$。
$\because CD = EF = 2\ \mathrm{m}$，$CG = 2\ \mathrm{m}$，$EH = 4\ \mathrm{m}$，$CE = 6\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{2}{AB}=\frac{2}{BC+2}$，$\frac{2}{AB}=\frac{4}{BC+6+4}$，
$\therefore \frac{2}{BC+2}=\frac{4}{BC+10}$，
解得$BC = 6\ \mathrm{m}$，
将$BC=6\ \mathrm{m}$代入$\frac{2}{AB}=\frac{2}{BC+2}$得$\frac{2}{AB}=\frac{2}{8}$，
$\therefore AB = 8\ \mathrm{m}$。
答：该太阳能路灯A到地面的高度AB为8 m。
【答案】
$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影；解方程
【点评】
本题结合生活中的路灯高度测量场景，考查了相似三角形在实际测量问题中的应用，需要学生能够将实际的中心投影问题转化为相似三角形的数学模型，通过联立比例式求解未知量，解题关键是找到两组相似三角形的公共比例项建立方程。
【难度系数】
0.7
本题是中心投影下的高度测量问题，解题核心是利用相似三角形的性质建立比例关系。首先根据垂直于同一直线的多条直线互相平行，可得竹竿与路灯杆平行，进而推出两组相似三角形：$△ DCG∽△ ABG$、$△ FEH∽△ ABH$；再结合已知的竹竿长度、影长、CE的长度，分别列出两个包含AB和BC的比例式，通过两个比例式中都含有的$\frac{2}{AB}$建立关于BC的方程，求解出BC后再代入比例式即可求出AB的长度。
【解析】
解：根据题意可得$AB⊥ BH$，$DC⊥ BH$，$FE⊥ BH$，
$\therefore AB// CD// EF$，
$\therefore △ DCG∽ △ ABG$，$△ FEH∽ △ ABH$，
$\therefore \frac{DC}{AB}=\frac{CG}{BG}$，$\frac{FE}{AB}=\frac{EH}{BH}$。
$\because CD = EF = 2\ \mathrm{m}$，$CG = 2\ \mathrm{m}$，$EH = 4\ \mathrm{m}$，$CE = 6\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{2}{AB}=\frac{2}{BC+2}$，$\frac{2}{AB}=\frac{4}{BC+6+4}$，
$\therefore \frac{2}{BC+2}=\frac{4}{BC+10}$，
解得$BC = 6\ \mathrm{m}$，
将$BC=6\ \mathrm{m}$代入$\frac{2}{AB}=\frac{2}{BC+2}$得$\frac{2}{AB}=\frac{2}{8}$，
$\therefore AB = 8\ \mathrm{m}$。
答：该太阳能路灯A到地面的高度AB为8 m。
【答案】
$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影；解方程
【点评】
本题结合生活中的路灯高度测量场景，考查了相似三角形在实际测量问题中的应用，需要学生能够将实际的中心投影问题转化为相似三角形的数学模型，通过联立比例式求解未知量，解题关键是找到两组相似三角形的公共比例项建立方程。
【难度系数】
0.7
3. 教材练习变式 [2026 银川十二中期末]如图，某校九年级两位同学想测量风筝C飞的高度，进行了如下操作：①测得水平距离BD为5 m；②利用手中的余线算出风筝线BC长13 m；③牵线放风筝的小明身高为1.5 m. 风筝飞的高度CE为
13.5
m. 答案
3 13.5 在Rt△BDC中,由勾股定理可得CD = √(BC²-BD²) = √(13²-5²) = 12(m),则CE = CD + DE = 12 + 1.5 = 13.5(m),故风筝飞的高度 CE 为 13.5 m.
解析
【分析】
解题时先观察图形，可得BD⊥CD，因此△BDC是直角三角形。已知直角边BD=5m，斜边BC=13m，首先可利用勾股定理求出直角边CD的长度；又因为四边形ABDE是矩形，DE的长度等于小明的身高1.5m，最终风筝高度CE为CD与DE的长度之和，按这个思路逐步计算即可。
【解析】
解：由题意可知BD⊥CD，即△BDC为直角三角形，
在Rt△BDC中，BC=13m，BD=5m，根据勾股定理：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12(m)$
又DE为小明的身高，即DE=1.5m，
因此$CE=CD+DE=12+1.5=13.5(m)$
【答案】
13.5
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，实际测量应用
【点评】
本题是勾股定理在实际高度测量中的典型基础题，解题的核心是把实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，计算时要注意不要遗漏观测者身高对应的DE段长度。
【难度系数】
0.85
解题时先观察图形，可得BD⊥CD，因此△BDC是直角三角形。已知直角边BD=5m，斜边BC=13m，首先可利用勾股定理求出直角边CD的长度；又因为四边形ABDE是矩形，DE的长度等于小明的身高1.5m，最终风筝高度CE为CD与DE的长度之和，按这个思路逐步计算即可。
【解析】
解：由题意可知BD⊥CD，即△BDC为直角三角形，
在Rt△BDC中，BC=13m，BD=5m，根据勾股定理：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12(m)$
又DE为小明的身高，即DE=1.5m，
因此$CE=CD+DE=12+1.5=13.5(m)$
【答案】
13.5
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，实际测量应用
【点评】
本题是勾股定理在实际高度测量中的典型基础题，解题的核心是把实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，计算时要注意不要遗漏观测者身高对应的DE段长度。
【难度系数】
0.85
4. [2026 儋州期末]如图,在岸上点 C 处有人用绳子拉船靠岸,点 C 到正下方水面点 A 的距离为 8 m,开始时绳长 BC 为 17 m,此人以 1 m/s 的速度收绳,7 s 时船移动到点 D 处,求船向岸边移动的距离 BD.(注:绳子始终保持拉直状态)
答案
4 解:根据题意可得BD = AB - AD.
在Rt△ABC中,BC = 17 m,AC = 8 m,
由勾股定理可得AB = √(BC²-AC²) = √(17²-8²) = 15(m).
∵ 此人以 1 m/s 的速度收绳,
∴ 7 s 时 CD = 17 - 1×7 = 10(m).
在Rt△ACD中,CD = 10 m,AC = 8 m,
由勾股定理可得AD = √(CD²-AC²) = √(10²-8²) = 6(m),
∴ BD = AB - AD = 15 - 6 = 9(m).
答:船向岸边移动的距离 BD 为 9 m.
在Rt△ABC中,BC = 17 m,AC = 8 m,
由勾股定理可得AB = √(BC²-AC²) = √(17²-8²) = 15(m).
∵ 此人以 1 m/s 的速度收绳,
∴ 7 s 时 CD = 17 - 1×7 = 10(m).
在Rt△ACD中,CD = 10 m,AC = 8 m,
由勾股定理可得AD = √(CD²-AC²) = √(10²-8²) = 6(m),
∴ BD = AB - AD = 15 - 6 = 9(m).
答:船向岸边移动的距离 BD 为 9 m.
解析
【分析】
要求船向岸边移动的距离BD，由图可知BD=AB-AD，因此只需分别求出AB、AD的长度即可。首先△ABC与△ACD均为直角三角形，且公共直角边AC=8m：第一步先在Rt△ABC中，已知斜边BC和直角边AC的长度，利用勾股定理计算AB的长度；第二步根据收绳速度和收绳时间，计算7秒后剩余绳子CD的长度；第三步在Rt△ACD中，已知斜边CD和直角边AC的长度，利用勾股定理计算AD的长度；最后用AB减去AD即可得到BD的长度。
【解析】
解：根据题意可得BD = AB - AD。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC = 17 m，AC = 8 m，
由勾股定理可得：
$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15(m)$。
∵ 收绳速度为1 m/s，收绳时长为7 s，
∴ 7 s后绳子缩短的长度为$1×7=7(m)$，此时绳长$CD = 17 - 7 = 10(m)$。
在Rt△ACD中，∠CAD=90°，CD = 10 m，AC = 8 m，
由勾股定理可得：
$AD = \sqrt{CD^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6(m)$，
∴ $BD = AB - AD = 15 - 6 = 9(m)$。
答：船向岸边移动的距离BD为9 m。
【答案】
9 m
【知识点】
勾股定理，行程计算，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，以两个直角三角形的公共直角边AC为计算桥梁，解题时需注意收绳后绳长的计算，避免因绳长计算错误导致结果出错，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.75
要求船向岸边移动的距离BD，由图可知BD=AB-AD，因此只需分别求出AB、AD的长度即可。首先△ABC与△ACD均为直角三角形，且公共直角边AC=8m：第一步先在Rt△ABC中，已知斜边BC和直角边AC的长度，利用勾股定理计算AB的长度；第二步根据收绳速度和收绳时间，计算7秒后剩余绳子CD的长度；第三步在Rt△ACD中，已知斜边CD和直角边AC的长度，利用勾股定理计算AD的长度；最后用AB减去AD即可得到BD的长度。
【解析】
解：根据题意可得BD = AB - AD。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC = 17 m，AC = 8 m，
由勾股定理可得：
$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15(m)$。
∵ 收绳速度为1 m/s，收绳时长为7 s，
∴ 7 s后绳子缩短的长度为$1×7=7(m)$，此时绳长$CD = 17 - 7 = 10(m)$。
在Rt△ACD中，∠CAD=90°，CD = 10 m，AC = 8 m，
由勾股定理可得：
$AD = \sqrt{CD^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6(m)$，
∴ $BD = AB - AD = 15 - 6 = 9(m)$。
答：船向岸边移动的距离BD为9 m。
【答案】
9 m
【知识点】
勾股定理，行程计算，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，以两个直角三角形的公共直角边AC为计算桥梁，解题时需注意收绳后绳长的计算，避免因绳长计算错误导致结果出错，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.75
