[2024 盐城中考]发现问题
小明买菠萝时发现,通常情况下,销售员都是先削去菠萝的皮,再斜着铲去菠萝的籽.
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽,除了方便操作,是否还蕴含着什么数学道理呢?
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体,若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度,那么籽在侧面展开图上可以看成点,每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列,每行有$n$个籽,每列有$k$个籽,行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为$d$($n,k$均为正整数,$n＞k≥3,d＞0$),如图1所示.
小明设计了如下三种铲籽方案.
方案1:图2是横向铲籽示意图,每行铲的路径长为,共铲行,则铲除全部籽的路径总长为.
方案2:图3是纵向铲籽示意图,则铲除全部籽的路径总长为.
方案3:图4是销售员斜着铲籽示意图,写出该方案铲除全部籽的路径总长.
解决问题
在三个方案中,哪种方案铲籽的路径总长最短?请写出比较过程,并对销售员的操作方法进行评价.

方案3解答：由题图4，得斜着铲时每两个籽之间的距离为$\dfrac{\sqrt{d^2 + d^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}d}{2}$。
根据题意，得一共有$2n$列，$2k$行，斜着铲相当于有$n$条线段长，同时有$(2k-1)$个长度为$\dfrac{\sqrt{2}d}{2}$的线段，
$\therefore$ 铲除全部籽的路径总长为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}nd(2k-1)$。
解决问题：
设方案1、方案2和方案3中铲除全部籽的路径总长分别为$l_1,l_2,l_3$。
$l_1 - l_2$，得$2kd(n-1) - 2nd(k-1) = 2ndk - 2dk - 2ndk + 2dn = 2d(n - k)$。
$\because d＞0,n＞k,\therefore 2d(n-k)＞0,\therefore l_1＞l_2$，
$\therefore$ 方案1的路径总长大于方案2的路径总长。
$l_2 - l_3$，得$2nd(k-1) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}nd(2k-1) = nd[(2-\sqrt{2})k - 2 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}]$。
$\because n＞k≥3,d＞0,2-\sqrt{2}＞0$，
$\therefore$ 当$k=3$时，$(2-\sqrt{2}) × 3 - 2 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 4 - \dfrac{5\sqrt{2}}{2} ＞ 0$，
$\therefore 2nd(k-1) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}nd(2k-1) ＞ 0,\therefore l_2＞l_3,\therefore l_1＞l_2＞l_3$，
$\therefore$ 方案3铲籽的路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，以减少对菠萝的损耗。

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，结合三种铲籽方案的图形排列规律，分别计算各方案的总路径长：①方案1横向铲，先求单行路径长，再乘总行数得总长度；②方案2纵向铲，先求单列路径长，再乘总列数得总长度；③方案3斜向铲，先用勾股定理求出斜向相邻两籽的路径长度，再结合斜向路径的条数和每段的段数求总长度。第二步，用作差法比较三个总长度的大小，差值大于0则被减数对应的路径更长，最终确定最短路径。第三步，结合实际场景评价销售员的操作。
【解析】
各方案路径长计算
1. 方案1（横向铲）：
每行有$n$个籽，行上相邻籽间距为$d$，因此单行路径长为$(n-1)d$；
籽为交错排列，总共有$2k$行，因此总路径长$l_1=2k×(n-1)d=2kd(n-1)$。
2. 方案2（纵向铲）：
每列有$k$个籽，列上相邻籽间距为$d$，因此单列路径长为$(k-1)d$；
总共有$2n$列，因此总路径长$l_2=2n×(k-1)d=2nd(k-1)$。
3. 方案3（斜向铲）：
斜向相邻两籽的水平、竖直间距均为$d$，由勾股定理得每段斜向路径长为$\frac{\sqrt{d^2+d^2}}{2}=\frac{\sqrt{2}d}{2}$；
斜向铲共有$n$条路径，每条路径包含$(2k-1)$段短路径，因此总路径长$l_3=n×(2k-1)×\frac{\sqrt{2}d}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}nd(2k-1)$。
路径长比较
1. 比较$l_1$和$l_2$：
$l_1-l_2=2kd(n-1)-2nd(k-1)=2dnk-2dk-2dnk+2dn=2d(n-k)$
已知$d＞0，n＞k$，因此$2d(n-k)＞0$，即$l_1＞l_2$。
2. 比较$l_2$和$l_3$：
$l_2-l_3=2nd(k-1)-\frac{\sqrt{2}}{2}nd(2k-1)=nd[(2-\sqrt{2})k-2+\frac{\sqrt{2}}{2}]$
已知$n＞k≥3，d＞0，2-\sqrt{2}＞0$，代入$k=3$得：
$(2-\sqrt{2})×3-2+\frac{\sqrt{2}}{2}=4-\frac{5\sqrt{2}}{2}＞0$，当$k$取更大值时差值仍为正，因此$l_2＞l_3$。
综上可得$l_1＞l_2＞l_3$，方案3路径总长最短，销售员斜铲的操作能减少果肉损耗。
【答案】
方案1：$\boldsymbol{(n-1)d}$，$\boldsymbol{2k}$，$\boldsymbol{2kd(n-1)}$；
方案2：$\boldsymbol{2nd(k-1)}$；
方案3：路径总长为$\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}nd(2k-1)}$；
解决问题：方案3铲籽的路径总长最短，销售员的操作可减少铲籽路径长度，降低菠萝果肉的损耗，非常巧妙。
【知识点】
列代数式，作差法比较大小，勾股定理的应用
【点评】
本题结合生活中削菠萝的实际场景命题，将几何计算与代数式比较大小结合，考查学生用数学知识解决实际问题的能力，解题核心是准确分析图形规律，正确表示各方案的路径长度。
【难度系数】
0.6