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10. 若方程$(x^2 + y^2 - 1)^2 = 9$，则$x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_\_$
答案
10 4 已知$(x^2 + y^2 - 1)^2 = 9$,直接开平方,得$x^2 + y^2 - 1 = ±3$,解得$x^2 + y^2 = 4$或$x^2 + y^2 = -2$. $\because x^2 + y^2 ≥ 0$,$\therefore x^2 + y^2 = 4$.
解析
【分析】
首先观察方程结构，左边是含$x^2+y^2$的式子的平方，右边是正数9，符合直接开平方法的适用形式。我们可以把$x^2+y^2$看作一个整体，先通过开平方得到$x^2+y^2$的两个可能取值，再根据平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0，因此$x^2≥0$、$y^2≥0$，二者之和也必然非负），排除不符合要求的负值，即可得到正确结果。
【解析】
解：已知$(x^2 + y^2 - 1)^2 = 9$，
对等式两边直接开平方，得：$x^2 + y^2 - 1 = ±3$，
分两种情况计算：
① 当$x^2 + y^2 - 1 = 3$时，移项得$x^2 + y^2 = 3+1=4$；
② 当$x^2 + y^2 - 1 = -3$时，移项得$x^2 + y^2 = -3+1=-2$。
$\because x^2≥0$，$y^2≥0$，$\therefore x^2 + y^2≥0$，
$\therefore x^2 + y^2=-2$不符合题意，舍去，
因此$x^2 + y^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法，平方的非负性，整体思想
【点评】
本题侧重考察整体思想在解方程中的应用，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对求出的解进行合理性检验，避免遗漏限制条件出现增解。
【难度系数】
0.7
首先观察方程结构，左边是含$x^2+y^2$的式子的平方，右边是正数9，符合直接开平方法的适用形式。我们可以把$x^2+y^2$看作一个整体，先通过开平方得到$x^2+y^2$的两个可能取值，再根据平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0，因此$x^2≥0$、$y^2≥0$，二者之和也必然非负），排除不符合要求的负值，即可得到正确结果。
【解析】
解：已知$(x^2 + y^2 - 1)^2 = 9$，
对等式两边直接开平方，得：$x^2 + y^2 - 1 = ±3$，
分两种情况计算：
① 当$x^2 + y^2 - 1 = 3$时，移项得$x^2 + y^2 = 3+1=4$；
② 当$x^2 + y^2 - 1 = -3$时，移项得$x^2 + y^2 = -3+1=-2$。
$\because x^2≥0$，$y^2≥0$，$\therefore x^2 + y^2≥0$，
$\therefore x^2 + y^2=-2$不符合题意，舍去，
因此$x^2 + y^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法，平方的非负性，整体思想
【点评】
本题侧重考察整体思想在解方程中的应用，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对求出的解进行合理性检验，避免遗漏限制条件出现增解。
【难度系数】
0.7
11. 易错题 若$x=0$是关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 + mx + 4m^2 - 4 = 0$的一个根，则直线$y = mx - 2$不经过第
一
象限。答案
11 一 $\because (m - 1)x^2 + mx + 4m^2 - 4 = 0$ 是一元二次方程,
$\therefore m - 1 ≠ 0$,即$m ≠ 1$(前提条件不可忽略). 将$x = 0$代入$(m - 1)x^2 + mx + 4m^2 - 4 = 0$,得$4m^2 - 4 = 0$,解得$m_1 = -1$,$m_2 = 1$(舍去),$\therefore y = mx - 2 = -x - 2$. $\because k = -1 ＜ 0$,$b = -2 ＜ 0$,
$\therefore$ 直线$y = -x - 2$经过第二、三、四象限,不经过第一象限.
$\therefore m - 1 ≠ 0$,即$m ≠ 1$(前提条件不可忽略). 将$x = 0$代入$(m - 1)x^2 + mx + 4m^2 - 4 = 0$,得$4m^2 - 4 = 0$,解得$m_1 = -1$,$m_2 = 1$(舍去),$\therefore y = mx - 2 = -x - 2$. $\because k = -1 ＜ 0$,$b = -2 ＜ 0$,
$\therefore$ 直线$y = -x - 2$经过第二、三、四象限,不经过第一象限.
解析
【分析】
解题时首先要抓住两个核心条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易忽略的隐含前提；二是x=0是方程的根，代入方程后等式成立。第一步先根据一元二次方程的定义得到m的取值限制，第二步将x=0代入方程求解m的可能值，舍去不符合限制的m值，再将确定的m值代入一次函数解析式，根据一次函数k、b的符号判断直线经过的象限，就能得出不经过的象限。
【解析】
解：$\because (m - 1)x^2 + mx + 4m^2 - 4 = 0$ 是一元二次方程，
$\therefore$ 二次项系数不为0，即$m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$。
将$x = 0$代入方程，得：$4m^2 - 4 = 0$，
解方程得$m^2=1$，即$m_1 = 1$，$m_2 = -1$，
结合$m≠1$的限制，舍去$m=1$，故$m=-1$。
将$m=-1$代入直线解析式得$y = -x - 2$，
$\because$ 一次函数中$k = -1 ＜ 0$，$b = -2 ＜ 0$，
$\therefore$ 直线$y = -x - 2$经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的概念，一次函数图像性质
【点评】
本题为易错题，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误将m=1代入一次函数导致判断错误，解题时要先明确题目中的隐含限制，再结合函数性质求解即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先要抓住两个核心条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易忽略的隐含前提；二是x=0是方程的根，代入方程后等式成立。第一步先根据一元二次方程的定义得到m的取值限制，第二步将x=0代入方程求解m的可能值，舍去不符合限制的m值，再将确定的m值代入一次函数解析式，根据一次函数k、b的符号判断直线经过的象限，就能得出不经过的象限。
【解析】
解：$\because (m - 1)x^2 + mx + 4m^2 - 4 = 0$ 是一元二次方程，
$\therefore$ 二次项系数不为0，即$m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$。
将$x = 0$代入方程，得：$4m^2 - 4 = 0$，
解方程得$m^2=1$，即$m_1 = 1$，$m_2 = -1$，
结合$m≠1$的限制，舍去$m=1$，故$m=-1$。
将$m=-1$代入直线解析式得$y = -x - 2$，
$\because$ 一次函数中$k = -1 ＜ 0$，$b = -2 ＜ 0$，
$\therefore$ 直线$y = -x - 2$经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的概念，一次函数图像性质
【点评】
本题为易错题，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误将m=1代入一次函数导致判断错误，解题时要先明确题目中的隐含限制，再结合函数性质求解即可。
【难度系数】
0.6
12. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$4(2x - 1)^2 - 12 = 0$；
(2)$9(x - 3)^2 = 25(x - 2)^2$。
(1)$4(2x - 1)^2 - 12 = 0$；
(2)$9(x - 3)^2 = 25(x - 2)^2$。
答案
12 解:(1)$4(2x - 1)^2 - 12 = 0$可以变形为$(2x - 1)^2 = 3$,
直接开平方,得$2x - 1 = \sqrt{3}$或$2x - 1 = -\sqrt{3}$,
解得$x_1 = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$,$x_2 = \frac{-\sqrt{3} + 1}{2}$.
(2)$9(x - 3)^2 = 25(x - 2)^2$,
直接开平方,得$3(x - 3) = 5(x - 2)$或$3(x - 3) = -5(x - 2)$,
整理,得$2x = 1$或$8x = 19$,解得$x_1 = \frac{1}{2}$,$x_2 = \frac{19}{8}$.
直接开平方,得$2x - 1 = \sqrt{3}$或$2x - 1 = -\sqrt{3}$,
解得$x_1 = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$,$x_2 = \frac{-\sqrt{3} + 1}{2}$.
(2)$9(x - 3)^2 = 25(x - 2)^2$,
直接开平方,得$3(x - 3) = 5(x - 2)$或$3(x - 3) = -5(x - 2)$,
整理,得$2x = 1$或$8x = 19$,解得$x_1 = \frac{1}{2}$,$x_2 = \frac{19}{8}$.
解析
【分析】
直接开平方法的核心是将方程转化为“完全平方式等于非负常数”或“两边都是完全平方式”的形式，通过开平方把一元二次方程降为两个一元一次方程求解。
对于(1)题，先把常数项移到等号右侧，再将平方项的系数化为1，得到符合开平方要求的形式后开方求解即可；对于(2)题，方程左右两边都是非负系数的完全平方式，可直接开平方，注意开平方后右侧有正负两种情况，不要漏解，再分别解得到的一元一次方程即可。
【解析】
(1) 对$4(2x - 1)^2 - 12 = 0$移项，得$4(2x - 1)^2 = 12$，两边同时除以4，得$(2x - 1)^2 = 3$，
直接开平方，得$2x - 1 = \sqrt{3}$或$2x - 1 = -\sqrt{3}$，
解得$x_1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$。
(2) 对$9(x - 3)^2 = 25(x - 2)^2$直接开平方，得$3(x - 3) = 5(x - 2)$或$3(x - 3) = -5(x - 2)$，
整理第一个方程：$3x - 9 = 5x - 10$，合并同类项得$2x = 1$，解得$x_1 = \frac{1}{2}$；
整理第二个方程：$3x - 9 = -5x + 10$，合并同类项得$8x = 19$，解得$x_2 = \frac{19}{8}$。
【答案】
(1) $x_1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$；
(2) $x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = \frac{19}{8}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质，一元一次方程解法
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是正确将方程变形为可开平方的形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免遗漏负根导致丢解。
【难度系数】
0.8
直接开平方法的核心是将方程转化为“完全平方式等于非负常数”或“两边都是完全平方式”的形式，通过开平方把一元二次方程降为两个一元一次方程求解。
对于(1)题，先把常数项移到等号右侧，再将平方项的系数化为1，得到符合开平方要求的形式后开方求解即可；对于(2)题，方程左右两边都是非负系数的完全平方式，可直接开平方，注意开平方后右侧有正负两种情况，不要漏解，再分别解得到的一元一次方程即可。
【解析】
(1) 对$4(2x - 1)^2 - 12 = 0$移项，得$4(2x - 1)^2 = 12$，两边同时除以4，得$(2x - 1)^2 = 3$，
直接开平方，得$2x - 1 = \sqrt{3}$或$2x - 1 = -\sqrt{3}$，
解得$x_1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$。
(2) 对$9(x - 3)^2 = 25(x - 2)^2$直接开平方，得$3(x - 3) = 5(x - 2)$或$3(x - 3) = -5(x - 2)$，
整理第一个方程：$3x - 9 = 5x - 10$，合并同类项得$2x = 1$，解得$x_1 = \frac{1}{2}$；
整理第二个方程：$3x - 9 = -5x + 10$，合并同类项得$8x = 19$，解得$x_2 = \frac{19}{8}$。
【答案】
(1) $x_1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$；
(2) $x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = \frac{19}{8}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质，一元一次方程解法
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是正确将方程变形为可开平方的形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免遗漏负根导致丢解。
【难度系数】
0.8
13. 一题多解 [2025 徐州新沂钟吾中学月考] 若关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为2，求关于y的方程$m(y + 1)^2 + n = 0$的两根之和。
答案
13 解:将$x = 2$代入$mx^2 + n = 0$,
得$4m + n = 0$,$\therefore n = -4m$,
$\therefore m(y + 1)^2 + n = 0$可化为$m(y + 1)^2 - 4m = 0$.
$\because mx^2 + n = 0$是关于$x$的一元二次方程,$\therefore m ≠ 0$,$\therefore n ≠ 0$,
将方程$m(y + 1)^2 - 4m = 0$的两边都除以$m$,得$(y + 1)^2 - 4 = 0$,
移项,得$(y + 1)^2 = 4$,则$y + 1 = 2$或$y + 1 = -2$,
解得$y_1 = 1$,$y_2 = -3$,$\therefore y_1 + y_2 = -2$.
根据题意,得$mx^2 + n = 0$的另一个根为 -2.
将$y + 1$看作一个整体,则$y + 1$表示方程$mx^2 + n = 0$的根,
$\therefore y + 1 = 2$或$y + 1 = -2$,
解得$y_1 = 1$,$y_2 = -3$,$\therefore y_1 + y_2 = -2$.
得$4m + n = 0$,$\therefore n = -4m$,
$\therefore m(y + 1)^2 + n = 0$可化为$m(y + 1)^2 - 4m = 0$.
$\because mx^2 + n = 0$是关于$x$的一元二次方程,$\therefore m ≠ 0$,$\therefore n ≠ 0$,
将方程$m(y + 1)^2 - 4m = 0$的两边都除以$m$,得$(y + 1)^2 - 4 = 0$,
移项,得$(y + 1)^2 = 4$,则$y + 1 = 2$或$y + 1 = -2$,
解得$y_1 = 1$,$y_2 = -3$,$\therefore y_1 + y_2 = -2$.
根据题意,得$mx^2 + n = 0$的另一个根为 -2.
将$y + 1$看作一个整体,则$y + 1$表示方程$mx^2 + n = 0$的根,
$\therefore y + 1 = 2$或$y + 1 = -2$,
解得$y_1 = 1$,$y_2 = -3$,$\therefore y_1 + y_2 = -2$.
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：思路一：利用一元二次方程根的定义，将x=2代入方程$mx^2 + n = 0$，得到m与n的数量关系，再将关系代入关于y的方程，结合一元二次方程定义可知m≠0，化简后用直接开平方法求出y的两个根，最后计算两根之和；思路二：观察两个方程的结构共性，将$(y+1)$看作整体，先求出方程$mx^2 + n = 0$的两个根，令$y+1$等于这两个根，直接求出y的两根后计算和即可。
【解析】
方法1：将$x = 2$代入$mx^2 + n = 0$，得$4m + n = 0$，即$n = -4m$。
把$n=-4m$代入方程$m(y + 1)^2 + n = 0$，得$m(y + 1)^2 - 4m = 0$。
∵$mx^2 + n = 0$是关于x的一元二次方程，
∴$m ≠ 0$，
方程两边同时除以m，得$(y + 1)^2 - 4 = 0$，移项得$(y + 1)^2 = 4$，
开平方得$y + 1 = 2$或$y + 1 = -2$，
解得$y_1 = 1$，$y_2 = -3$，两根之和为$1 + (-3) = -2$。
方法2：
∵关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为2，根据直接开平方法的特征，该方程的另一个根为-2。
将$(y+1)$看作整体，可得$y+1$是方程$mx^2 + n = 0$的根，
∴$y + 1 = 2$或$y + 1 = -2$，
解得$y_1 = 1$，$y_2 = -3$，两根之和为$1 + (-3) = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义、直接开平方法解方程、整体换元思想
【点评】
这道题支持一题多解，既可以通过代入根得到参数关系化简方程求解，也可以利用方程结构的共性使用整体思想简化运算，能很好地锻炼发散思维和灵活运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
解题可从两种思路入手：思路一：利用一元二次方程根的定义，将x=2代入方程$mx^2 + n = 0$，得到m与n的数量关系，再将关系代入关于y的方程，结合一元二次方程定义可知m≠0，化简后用直接开平方法求出y的两个根，最后计算两根之和；思路二：观察两个方程的结构共性，将$(y+1)$看作整体，先求出方程$mx^2 + n = 0$的两个根，令$y+1$等于这两个根，直接求出y的两根后计算和即可。
【解析】
方法1：将$x = 2$代入$mx^2 + n = 0$，得$4m + n = 0$，即$n = -4m$。
把$n=-4m$代入方程$m(y + 1)^2 + n = 0$，得$m(y + 1)^2 - 4m = 0$。
∵$mx^2 + n = 0$是关于x的一元二次方程，
∴$m ≠ 0$，
方程两边同时除以m，得$(y + 1)^2 - 4 = 0$，移项得$(y + 1)^2 = 4$，
开平方得$y + 1 = 2$或$y + 1 = -2$，
解得$y_1 = 1$，$y_2 = -3$，两根之和为$1 + (-3) = -2$。
方法2：
∵关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为2，根据直接开平方法的特征，该方程的另一个根为-2。
将$(y+1)$看作整体，可得$y+1$是方程$mx^2 + n = 0$的根，
∴$y + 1 = 2$或$y + 1 = -2$，
解得$y_1 = 1$，$y_2 = -3$，两根之和为$1 + (-3) = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义、直接开平方法解方程、整体换元思想
【点评】
这道题支持一题多解，既可以通过代入根得到参数关系化简方程求解，也可以利用方程结构的共性使用整体思想简化运算，能很好地锻炼发散思维和灵活运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
14. [2025重庆北碚区期中]某三角形的两边长分别为4和6,第三边的长是方程$(x-5)^2 -9=0$的一个根,求该三角形的周长.
答案
14 解:$(x - 5)^2 - 9 = 0$,移项,得$(x - 5)^2 = 9$,
直接开平方,得$x - 5 = 3$或$x - 5 = -3$,
解得$x_1 = 8$,$x_2 = 2$.
①当第三边的长为2时,$2 + 4 = 6$,构不成三角形;
②当第三边的长为8时,$4 + 6 = 10 ＞ 8$,符合题意.
故该三角形的周长为$8 + 6 + 4 = 18$.
直接开平方,得$x - 5 = 3$或$x - 5 = -3$,
解得$x_1 = 8$,$x_2 = 2$.
①当第三边的长为2时,$2 + 4 = 6$,构不成三角形;
②当第三边的长为8时,$4 + 6 = 10 ＞ 8$,符合题意.
故该三角形的周长为$8 + 6 + 4 = 18$.
解析
【分析】
解题时可按三步思路推导：第一步，用直接开平方法求解给定的一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；第二步，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两个根进行验证，舍去无法构成三角形的根；第三步，将符合条件的第三边长与已知两边长相加，即可求出三角形周长。
【解析】
先解方程$(x - 5)^2 - 9 = 0$：
移项，得$(x - 5)^2 = 9$，
直接开平方，得$x - 5 = \pm 3$，
即$x - 5 = 3$或$x - 5 = -3$，
解得$x_1 = 8$，$x_2 = 2$。
再根据三角形三边关系验证根的合理性：
①当第三边的长为2时，$2 + 4 = 6$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该值；
②当第三边的长为8时，$4 + 6 = 10 ＞ 8$，满足三角形三边关系，符合题意。
因此该三角形的周长为$4 + 6 + 8 = 18$。
【答案】
18
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 三角形三边关系
【点评】
本题结合了一元二次方程求解与三角形性质的应用，易错点是求出方程的根后，忽略验证三边能否构成三角形，直接代入计算得到错误结果，解这类结合几何性质的方程题时要注意检验根的实际合理性。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思路推导：第一步，用直接开平方法求解给定的一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；第二步，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两个根进行验证，舍去无法构成三角形的根；第三步，将符合条件的第三边长与已知两边长相加，即可求出三角形周长。
【解析】
先解方程$(x - 5)^2 - 9 = 0$：
移项，得$(x - 5)^2 = 9$，
直接开平方，得$x - 5 = \pm 3$，
即$x - 5 = 3$或$x - 5 = -3$，
解得$x_1 = 8$，$x_2 = 2$。
再根据三角形三边关系验证根的合理性：
①当第三边的长为2时，$2 + 4 = 6$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该值；
②当第三边的长为8时，$4 + 6 = 10 ＞ 8$，满足三角形三边关系，符合题意。
因此该三角形的周长为$4 + 6 + 8 = 18$。
【答案】
18
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 三角形三边关系
【点评】
本题结合了一元二次方程求解与三角形性质的应用，易错点是求出方程的根后，忽略验证三边能否构成三角形，直接代入计算得到错误结果，解这类结合几何性质的方程题时要注意检验根的实际合理性。
【难度系数】
0.7
15. 运算能力 对于实数 $ p, q $, 用符号 $ \min\{p, q\} $ 表示 $ p, q $ 两数中较小的数, 如 $ \min\{1, 2\} = 1 $. 若 $ \min\{(x-1)^2, x^2\} = 1 $, 求 $ x $ 的值.
答案
15 解:已知$\min\{(x - 1)^2 , x^2 \} = 1$,
①当$(x - 1)^2 ＜ x^2$时,$(x - 1)^2 = 1$,
$\therefore x - 1 = ±1$,解得$x = 2$或$x = 0$.
当$x = 0$时,$(x - 1)^2 ＞ x^2$,与$(x - 1)^2 ＜ x^2$矛盾,$\therefore x = 2$.
②当$(x - 1)^2 ＞ x^2$时,$x^2 = 1$,解得$x = 1$或$x = -1$.
当$x = 1$时,$(x - 1)^2 ＜ x^2$,与$(x - 1)^2 ＞ x^2$矛盾,$\therefore x = -1$.
综上,$x$的值为2或 -1.
①当$(x - 1)^2 ＜ x^2$时,$(x - 1)^2 = 1$,
$\therefore x - 1 = ±1$,解得$x = 2$或$x = 0$.
当$x = 0$时,$(x - 1)^2 ＞ x^2$,与$(x - 1)^2 ＜ x^2$矛盾,$\therefore x = 2$.
②当$(x - 1)^2 ＞ x^2$时,$x^2 = 1$,解得$x = 1$或$x = -1$.
当$x = 1$时,$(x - 1)^2 ＜ x^2$,与$(x - 1)^2 ＞ x^2$矛盾,$\therefore x = -1$.
综上,$x$的值为2或 -1.
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，核心是先理解$\min\{p,q\}$表示取$p、q$两个数中较小的数。已知两个代数式的最小值为1，需分两种情况讨论：①当$(x-1)^2$小于$x^2$时，可得$(x-1)^2=1$；②当$x^2$小于$(x-1)^2$时，可得$x^2=1$。分别求解出$x$的取值后，需要验证结果是否符合当前分类的大小关系前提，舍去不符合的解，最终得到正确的$x$值。
【解析】
解：$\because \min\{(x - 1)^2 , x^2 \} = 1$，
$\therefore$分两种情况讨论：
① 当$(x - 1)^2 ＜ x^2$时，较小数为$(x - 1)^2$，即$(x - 1)^2 = 1$，
开平方得$x - 1 = ±1$，
解得$x = 2$或$x = 0$。
验证：当$x = 0$时，$(x - 1)^2 = 1$，$x^2 = 0$，此时$(x - 1)^2 ＞ x^2$，不符合前提$(x - 1)^2 ＜ x^2$，故舍去，
$\therefore$此情况符合条件的解为$x = 2$；
② 当$(x - 1)^2 ＞ x^2$时，较小数为$x^2$，即$x^2 = 1$，
开平方得$x = ±1$，
解得$x = 1$或$x = -1$。
验证：当$x = 1$时，$(x - 1)^2 = 0$，$x^2 = 1$，此时$(x - 1)^2 ＜ x^2$，不符合前提$(x - 1)^2 ＞ x^2$，故舍去，
$\therefore$此情况符合条件的解为$x = -1$。
综上，$x$的值为2或-1。
【答案】
$x$的值为$2$或$-1$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解方程，分类讨论思想
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的解法结合考查，解题的核心是准确理解min的含义，合理进行分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合对应分类的大小前提，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
本题属于新定义运算类题目，核心是先理解$\min\{p,q\}$表示取$p、q$两个数中较小的数。已知两个代数式的最小值为1，需分两种情况讨论：①当$(x-1)^2$小于$x^2$时，可得$(x-1)^2=1$；②当$x^2$小于$(x-1)^2$时，可得$x^2=1$。分别求解出$x$的取值后，需要验证结果是否符合当前分类的大小关系前提，舍去不符合的解，最终得到正确的$x$值。
【解析】
解：$\because \min\{(x - 1)^2 , x^2 \} = 1$，
$\therefore$分两种情况讨论：
① 当$(x - 1)^2 ＜ x^2$时，较小数为$(x - 1)^2$，即$(x - 1)^2 = 1$，
开平方得$x - 1 = ±1$，
解得$x = 2$或$x = 0$。
验证：当$x = 0$时，$(x - 1)^2 = 1$，$x^2 = 0$，此时$(x - 1)^2 ＞ x^2$，不符合前提$(x - 1)^2 ＜ x^2$，故舍去，
$\therefore$此情况符合条件的解为$x = 2$；
② 当$(x - 1)^2 ＞ x^2$时，较小数为$x^2$，即$x^2 = 1$，
开平方得$x = ±1$，
解得$x = 1$或$x = -1$。
验证：当$x = 1$时，$(x - 1)^2 = 0$，$x^2 = 1$，此时$(x - 1)^2 ＜ x^2$，不符合前提$(x - 1)^2 ＞ x^2$，故舍去，
$\therefore$此情况符合条件的解为$x = -1$。
综上，$x$的值为2或-1。
【答案】
$x$的值为$2$或$-1$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解方程，分类讨论思想
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的解法结合考查，解题的核心是准确理解min的含义，合理进行分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合对应分类的大小前提，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
