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8. ★★★（梧州中考）小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出1个球，然后放回箱子中，轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是（
A.$\frac{1}{27}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{2}{9}$
D
）A.$\frac{1}{27}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{2}{9}$
答案
如图,红球、黄球、白球分别用A,B,C表示,一共有27种等可能的情况,三人摸到球的颜色都不相同的有6种,$\therefore P$(三人摸到球的颜色都不相同)$=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$.故选D.
解析
【分析】
本题为有放回的摸球概率问题，三人摸球相互独立，每次摸球都有3种等可能的结果。解题时可先通过树状图或乘法原理求出所有等可能的总结果数，再找出“三人摸到球的颜色都不相同”的符合条件的结果数，最后利用概率公式“随机事件概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
将红球、黄球、白球分别用A、B、C表示，由于是放回摸球，每人摸球都有3种等可能的结果：
总等可能结果数：$3×3×3=27$种；
三人摸到球的颜色都不相同的结果：第一个人有3种颜色可选，第二个人需选择和第一人不同的2种颜色，第三人选择和前两人都不同的1种颜色，共$3×2×1=6$种。
根据概率公式得：$P(\mathrm{三人摸到球的颜色都不相同})=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
树状图法，概率公式，放回型概率试验
【点评】
本题是典型的概率计算基础题，解题核心是准确梳理总结果数和符合要求的结果数，要注意区分放回试验和不放回试验的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
本题为有放回的摸球概率问题，三人摸球相互独立，每次摸球都有3种等可能的结果。解题时可先通过树状图或乘法原理求出所有等可能的总结果数，再找出“三人摸到球的颜色都不相同”的符合条件的结果数，最后利用概率公式“随机事件概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
将红球、黄球、白球分别用A、B、C表示，由于是放回摸球，每人摸球都有3种等可能的结果：
总等可能结果数：$3×3×3=27$种；
三人摸到球的颜色都不相同的结果：第一个人有3种颜色可选，第二个人需选择和第一人不同的2种颜色，第三人选择和前两人都不同的1种颜色，共$3×2×1=6$种。
根据概率公式得：$P(\mathrm{三人摸到球的颜色都不相同})=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
树状图法，概率公式，放回型概率试验
【点评】
本题是典型的概率计算基础题，解题核心是准确梳理总结果数和符合要求的结果数，要注意区分放回试验和不放回试验的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
9. ★★★(2025·宿州期中)某市中考体育考试考查5个项目,具体规定是:A项目必考,再从B,C,D,E四项中随机抽考两项,小明参加了本次体育考试,则小明的考试项目恰好是A,C,E的概率是
$\frac{1}{6}$
.答案
列表得,
|
选考2
选考1 | B | C | D | E |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| B | - | (C,B) | (D,B) | (E,B) |
| C | (B,C) | - | (D,C) | (E,C) |
| D | (B,D) | (C,D) | - | (E,D) |
| E | (B,E) | (C,E) | (D,E) | - |
$\because A$项目必考,再从B,C,D,E四项中随机抽考两项,$\therefore$ 共有12种等可能的结果,恰好选中C,E两项的有2种情况,
$\therefore P$(小明的考试项目恰好是A,C,E)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.故答案为$\frac{1}{6}$.
|
选考2
选考1 | B | C | D | E |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| B | - | (C,B) | (D,B) | (E,B) |
| C | (B,C) | - | (D,C) | (E,C) |
| D | (B,D) | (C,D) | - | (E,D) |
| E | (B,E) | (C,E) | (D,E) | - |
$\because A$项目必考,再从B,C,D,E四项中随机抽考两项,$\therefore$ 共有12种等可能的结果,恰好选中C,E两项的有2种情况,
$\therefore P$(小明的考试项目恰好是A,C,E)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.故答案为$\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
首先明确A项目为必考项，因此问题可简化为求从B、C、D、E四个项目中随机抽取2个，恰好抽中C和E的概率。解题时可通过列表法列举出所有等可能的抽取结果，再统计符合要求的结果数量，最后代入概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）计算即可。
【解析】
∵A项目必考，只需考虑从B、C、D、E四项中随机抽考两项的情况，列表列举所有可能结果如下：
| 选考2\选考1 | B | C | D | E |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| B | - | (C,B) | (D,B) | (E,B) |
| C | (B,C) | - | (D,C) | (E,C) |
| D | (B,D) | (C,D) | - | (E,D) |
| E | (B,E) | (C,E) | (D,E) | - |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中C、E两项的有2种情况。
根据概率公式可得：
$P$(小明的考试项目恰好是A,C,E)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率的常规考查题，解题关键是先通过排除必考项将问题简化，列举所有等可能结果时要注意做到不重复、不遗漏，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6
首先明确A项目为必考项，因此问题可简化为求从B、C、D、E四个项目中随机抽取2个，恰好抽中C和E的概率。解题时可通过列表法列举出所有等可能的抽取结果，再统计符合要求的结果数量，最后代入概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）计算即可。
【解析】
∵A项目必考，只需考虑从B、C、D、E四项中随机抽考两项的情况，列表列举所有可能结果如下：
| 选考2\选考1 | B | C | D | E |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| B | - | (C,B) | (D,B) | (E,B) |
| C | (B,C) | - | (D,C) | (E,C) |
| D | (B,D) | (C,D) | - | (E,D) |
| E | (B,E) | (C,E) | (D,E) | - |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中C、E两项的有2种情况。
根据概率公式可得：
$P$(小明的考试项目恰好是A,C,E)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率的常规考查题，解题关键是先通过排除必考项将问题简化，列举所有等可能结果时要注意做到不重复、不遗漏，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6
10. ★★★（武汉中考）从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a,c，则关于x的一元二次方程$ax^2 +4x +c=0$有实数解的概率为
$\frac{1}{2}$
.答案
画树状图如下：
共有12种等可能的结果,其中使关于x的一元二次方程$ax^2+4x+c=0$有实数解的有6种结果,$\therefore$ 关于x的一元二次方程$ax^2+4x+c=0$有实数解的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：
1. 先明确所有等可能的情况：从1,2,3,4中选两个不同的数分别作为a和c，a和c的顺序不同代表不同的情况，因此可以用树状图列举出所有等可能的结果，得到总结果数。
2. 再确定方程有实数解的条件：一元二次方程$ax^2+4x+c=0$有实数解，首先要满足二次项系数$a≠0$（本题中a取1~4，自然满足），其次要满足判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，代入$b=4$化简可得$ac≤4$，这就是我们筛选符合条件结果的依据。
3. 最后计算概率：统计出所有满足$ac≤4$的结果数，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
首先，一元二次方程$ax^2+4x+c=0$有实数解的条件为：
$\Delta = 4^2 - 4ac ≥ 0$，且$a≠ 0$，
化简得$ac ≤ 4$。
用树状图列举从1,2,3,4中选取两个不同数作为a、c的所有等可能结果：
由树状图可知，共有12种等可能的结果。
其中满足$ac≤4$的结果有：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(3,1)、(4,1)，共6种。
根据概率公式，所求概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
1. 树状图法求概率
2. 一元二次方程根的判别式
3. 概率公式
【点评】
本题将概率计算与一元二次方程的知识结合考查，既需要掌握用树状图有序列举所有等可能结果的方法，又要熟练运用根的判别式判断方程根的情况，解题时要注意a和c是不同的数，避免出现重复或漏数的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：
1. 先明确所有等可能的情况：从1,2,3,4中选两个不同的数分别作为a和c，a和c的顺序不同代表不同的情况，因此可以用树状图列举出所有等可能的结果，得到总结果数。
2. 再确定方程有实数解的条件：一元二次方程$ax^2+4x+c=0$有实数解，首先要满足二次项系数$a≠0$（本题中a取1~4，自然满足），其次要满足判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，代入$b=4$化简可得$ac≤4$，这就是我们筛选符合条件结果的依据。
3. 最后计算概率：统计出所有满足$ac≤4$的结果数，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
首先，一元二次方程$ax^2+4x+c=0$有实数解的条件为：
$\Delta = 4^2 - 4ac ≥ 0$，且$a≠ 0$，
化简得$ac ≤ 4$。
用树状图列举从1,2,3,4中选取两个不同数作为a、c的所有等可能结果：
由树状图可知，共有12种等可能的结果。
其中满足$ac≤4$的结果有：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(3,1)、(4,1)，共6种。
根据概率公式，所求概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
1. 树状图法求概率
2. 一元二次方程根的判别式
3. 概率公式
【点评】
本题将概率计算与一元二次方程的知识结合考查，既需要掌握用树状图有序列举所有等可能结果的方法，又要熟练运用根的判别式判断方程根的情况，解题时要注意a和c是不同的数，避免出现重复或漏数的错误。
【难度系数】
0.7
11. 如图①,在一个不透明的袋中装有四个球,分别标有数字1,2,3,4,这些球除了所标数字外都相同.图②中有一个小球,从A开始,按A→B→C→A→B→C→……的顺序依次跳动.从袋子里一次取两个小球,记它们的数字和为m,小球从A开始按顺序跳m次,例:m=3,小球从A出发又跳到A.求小球跳到B位置的概率.
答案
列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | |
所有等可能的情况有12种,其中小球跳到B位置的情况有4种,所以小球跳到B位置的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | |
所有等可能的情况有12种,其中小球跳到B位置的情况有4种,所以小球跳到B位置的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
解题需分三步思考：第一步，先明确一次取两个球的所有等可能结果，可通过列表法清晰列举所有情况，得到两个球的数字和m；第二步，分析小球跳动规律，小球按A→B→C循环跳动，周期为3，结合示例m=3时跳3次回到A，可推出：m除以3余1时小球跳到B，余2跳到C，整除时跳到A；第三步，统计满足跳到B位置的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
1. 列表列举所有等可能的取球结果，计算对应数字和m：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | |
由表可得，所有等可能的情况共12种。
2. 根据跳动周期判断符合条件的m：小球跳动周期为3，当m除以3余1时，小球跳到B位置，上述m值中满足该条件的是4、4、7、7，共4种情况。
3. 计算概率：$P(\mathrm{小球跳到B位置})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，周期规律，概率计算
【点评】
本题结合周期规律与概率计算考查知识应用能力，需要先理清跳动的周期特征，再准确列举所有等可能结果，整体思路清晰，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
解题需分三步思考：第一步，先明确一次取两个球的所有等可能结果，可通过列表法清晰列举所有情况，得到两个球的数字和m；第二步，分析小球跳动规律，小球按A→B→C循环跳动，周期为3，结合示例m=3时跳3次回到A，可推出：m除以3余1时小球跳到B，余2跳到C，整除时跳到A；第三步，统计满足跳到B位置的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
1. 列表列举所有等可能的取球结果，计算对应数字和m：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | |
由表可得，所有等可能的情况共12种。
2. 根据跳动周期判断符合条件的m：小球跳动周期为3，当m除以3余1时，小球跳到B位置，上述m值中满足该条件的是4、4、7、7，共4种情况。
3. 计算概率：$P(\mathrm{小球跳到B位置})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，周期规律，概率计算
【点评】
本题结合周期规律与概率计算考查知识应用能力，需要先理清跳动的周期特征，再准确列举所有等可能结果，整体思路清晰，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
12. 如图,管中放置着三根同样的绳子$AA_1$,$BB_1$,$CC_1$.
(1)若在管子的左边随机选择两个绳头打一个结,求恰好将$AA_1$和$BB_1$连成一条的概率;
(2)若在管子的左边和右边各随机选择两个绳头打一个结,求这三根绳子可以连成一条长绳的概率.
(1)若在管子的左边随机选择两个绳头打一个结,求恰好将$AA_1$和$BB_1$连成一条的概率;
(2)若在管子的左边和右边各随机选择两个绳头打一个结,求这三根绳子可以连成一条长绳的概率.
答案
(1) $\because$ 共有三根同样的绳子,且抽出每两根绳子打结的可能性相同,$\therefore$ 从中任意选择两根绳子打结,恰好将绳子$AA_1$,$BB_1$连成一条的概率是$\frac{1}{3}$.
(2) 画树状图如下：
共有9种等可能的结果,三根绳子连成一条长绳的情况有6种,故所求概率是$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
(1) 第一问为基础古典概型问题，解题思路为：先明确左侧任选两个绳头打结的所有等可能结果总数，再找到恰好选中A、B绳头打结（即可将$AA_1$和$BB_1$连成一条）的结果数，最后代入概率公式计算即可。
(2) 第二问是两步试验的概率问题，需用树状图列举所有等可能结果：左侧选两个绳头打结有3种等可能情况，右侧选两个绳头打结也有3种等可能情况，组合后共9种等可能结果；再判断符合要求的结果：若左右两侧打结的是同一对绳的绳头，会形成闭环，无法连成整根长绳，排除3种不符合的情况后剩余6种均符合要求，最后代入概率公式计算。
【解析】
(1) 左侧共有A、B、C三个绳头，随机选两个打结，所有等可能的结果为AB、AC、BC，共3种，其中恰好选中A、B打结，将$AA_1$和$BB_1$连成一条的结果有1种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{恰好将}AA_1\mathrm{和}BB_1\mathrm{连成一条})=\frac{1}{3}$。
(2) 列举左右两侧选两个绳头打结的所有可能，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果。
其中能让三根绳子连成一条长绳的情况为：左侧结AB对应右侧结$A_1C_1$、$B_1C_1$；左侧结AC对应右侧结$A_1B_1$、$B_1C_1$；左侧结BC对应右侧结$A_1B_1$、$A_1C_1$，共6种结果。
故所求概率为：$P(\mathrm{三根绳子连成一条长绳})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；
(2) 画树状图如下：，所求概率为$\frac{2}{3}$。
【知识点】
古典概型计算、树状图法求概率、列举法计数
【点评】
本题重点考查概率的求解，解题核心是准确不重不漏地列举出所有等可能的结果，第二问需要结合实际情景判断符合要求的结果，注意排除形成闭环的情况，能够有效锻炼学生的逻辑分析能力和情景化数学问题的处理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为基础古典概型问题，解题思路为：先明确左侧任选两个绳头打结的所有等可能结果总数，再找到恰好选中A、B绳头打结（即可将$AA_1$和$BB_1$连成一条）的结果数，最后代入概率公式计算即可。
(2) 第二问是两步试验的概率问题，需用树状图列举所有等可能结果：左侧选两个绳头打结有3种等可能情况，右侧选两个绳头打结也有3种等可能情况，组合后共9种等可能结果；再判断符合要求的结果：若左右两侧打结的是同一对绳的绳头，会形成闭环，无法连成整根长绳，排除3种不符合的情况后剩余6种均符合要求，最后代入概率公式计算。
【解析】
(1) 左侧共有A、B、C三个绳头，随机选两个打结，所有等可能的结果为AB、AC、BC，共3种，其中恰好选中A、B打结，将$AA_1$和$BB_1$连成一条的结果有1种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{恰好将}AA_1\mathrm{和}BB_1\mathrm{连成一条})=\frac{1}{3}$。
(2) 列举左右两侧选两个绳头打结的所有可能，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果。
其中能让三根绳子连成一条长绳的情况为：左侧结AB对应右侧结$A_1C_1$、$B_1C_1$；左侧结AC对应右侧结$A_1B_1$、$B_1C_1$；左侧结BC对应右侧结$A_1B_1$、$A_1C_1$，共6种结果。
故所求概率为：$P(\mathrm{三根绳子连成一条长绳})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；
(2) 画树状图如下：
，所求概率为$\frac{2}{3}$。【知识点】
古典概型计算、树状图法求概率、列举法计数
【点评】
本题重点考查概率的求解，解题核心是准确不重不漏地列举出所有等可能的结果，第二问需要结合实际情景判断符合要求的结果，注意排除形成闭环的情况，能够有效锻炼学生的逻辑分析能力和情景化数学问题的处理能力。
【难度系数】
0.7
13. 某校课程安排中,各班每天下午安排三节课.
(1)某班星期一下午安排了数学、美术、音乐课各一节,通过画树状图的方法求出把数学课安排在最后一节的概率.
(2)某天下午,九(1)班安排了数学、社会、音乐课各一节,九(2)班安排了数学、美术、体育课各一节.已知这两个班的数学课由同一个老师担任,其他课由另外四位老师担任,通过画树状图或列表格的方法求这两个班数学课没有冲突的概率.
(1)某班星期一下午安排了数学、美术、音乐课各一节,通过画树状图的方法求出把数学课安排在最后一节的概率.
(2)某天下午,九(1)班安排了数学、社会、音乐课各一节,九(2)班安排了数学、美术、体育课各一节.已知这两个班的数学课由同一个老师担任,其他课由另外四位老师担任,通过画树状图或列表格的方法求这两个班数学课没有冲突的概率.
答案
(1) 画树状图如下：
等可能的情况共有6种,数学课安排在最后一节的情况有2种,$\therefore P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
(2) 列表如下：
| | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 第一节 | 数 | 数 | 社 | 社 | 音 | 音 | 数 | 数 | 美 | 美 | 体 | 体 |
| 第二节 | 社 | 音 | 数 | 音 | 数 | 社 | 美 | 体 | 数 | 体 | 数 | 美 |
| 第三节 | 音 | 社 | 音 | 数 | 社 | 数 | 体 | 美 | 体 | 数 | 美 | 数 |
由上表可知课表排法共$6×6=36$(种),其中两个班数学课有冲突的课表排法共12种,则这两个班数学课没有冲突的概率为$P=\frac{36-12}{36}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
(1) 第一问是三节课的全排列概率问题，首先确定所有排课方式都是等可能的，我们可以通过树状图不重不漏地列举出所有排课结果，再统计出数学课在最后一节的结果数量，代入概率公式计算即可。
(2) 第二问涉及两个独立的排课事件，先分别得到两个班各自的排课总情况，相乘得到总组合数；由于直接统计“数学课不冲突”的情况较繁琐，我们可以先统计对立事件“数学课冲突（即两班数学课在同一时段）”的情况数，用总情况数减去冲突情况数得到符合要求的结果数，再计算概率，能简化计算过程。
【解析】
(1) 画树状图如下：
由树状图可知，等可能的排课情况共有6种，其中数学课安排在最后一节的情况有2种，
$\therefore P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
(2) 列表如下：
| | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 第一节 | 数 | 数 | 社 | 社 | 音 | 音 | 数 | 数 | 美 | 美 | 体 | 体 |
| 第二节 | 社 | 音 | 数 | 音 | 数 | 社 | 美 | 体 | 数 | 体 | 数 | 美 |
| 第三节 | 音 | 社 | 音 | 数 | 社 | 数 | 体 | 美 | 体 | 数 | 美 | 数 |
由上表可知课表排法共$6×6=36$(种)，其中两个班数学课有冲突的课表排法共12种，则这两个班数学课没有冲突的概率为：
$P=\frac{36-12}{36}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
树状图求概率、列表法求概率、古典概型计算
【点评】
本题考查用列举法求解随机事件的概率，解题核心是准确梳理所有等可能的结果，也可灵活运用对立事件简化计算过程，是概率应用的典型常规题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是三节课的全排列概率问题，首先确定所有排课方式都是等可能的，我们可以通过树状图不重不漏地列举出所有排课结果，再统计出数学课在最后一节的结果数量，代入概率公式计算即可。
(2) 第二问涉及两个独立的排课事件，先分别得到两个班各自的排课总情况，相乘得到总组合数；由于直接统计“数学课不冲突”的情况较繁琐，我们可以先统计对立事件“数学课冲突（即两班数学课在同一时段）”的情况数，用总情况数减去冲突情况数得到符合要求的结果数，再计算概率，能简化计算过程。
【解析】
(1) 画树状图如下：
由树状图可知，等可能的排课情况共有6种，其中数学课安排在最后一节的情况有2种，
$\therefore P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
(2) 列表如下：
| | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(1)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 | 九(2)班 |
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| 第一节 | 数 | 数 | 社 | 社 | 音 | 音 | 数 | 数 | 美 | 美 | 体 | 体 |
| 第二节 | 社 | 音 | 数 | 音 | 数 | 社 | 美 | 体 | 数 | 体 | 数 | 美 |
| 第三节 | 音 | 社 | 音 | 数 | 社 | 数 | 体 | 美 | 体 | 数 | 美 | 数 |
由上表可知课表排法共$6×6=36$(种)，其中两个班数学课有冲突的课表排法共12种，则这两个班数学课没有冲突的概率为：
$P=\frac{36-12}{36}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
树状图求概率、列表法求概率、古典概型计算
【点评】
本题考查用列举法求解随机事件的概率，解题核心是准确梳理所有等可能的结果，也可灵活运用对立事件简化计算过程，是概率应用的典型常规题型。
【难度系数】
0.7
