7. 若方程$3(x - k)=2(x + 1)$与$x - 3(x - 1)=2-(x + 1)$的解互为相反数，求$k$的值.

由方程$3(x-k)=2(x+1)$,得$x=2+3k$,由方程$x-3(x-1)=2-(x+1)$,得$x=2$,因为两方程的解互为相反数,所以$-2=2+3k$,解得$k=-\frac{4}{3}$.

【分析】
解题时首先明确题目条件：两个一元一次方程的解互为相反数。我们可以按以下思路思考：第一步，先求解不含参数k的第二个方程，得到它的解；第二步，根据“互为相反数的两个数符号相反、和为0”的性质，得到第一个方程的解；第三步，求解第一个方程，将其解用含k的代数式表示，再结合两个解的关系列关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
1. 求解方程$x - 3(x - 1)=2-(x + 1)$：
去括号得：$x - 3x + 3 = 2 - x - 1$
合并同类项得：$-2x + 3 = 1 - x$
移项得：$-2x + x = 1 - 3$
计算得：$-x = -2$，即$x=2$。
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$3(x - k)=2(x + 1)$的解为$x=-2$。
3. 求解方程$3(x - k)=2(x + 1)$，用含k的代数式表示解：
去括号得：$3x - 3k = 2x + 2$
移项得：$3x - 2x = 2 + 3k$
即$x = 3k + 2$。
4. 结合第一个方程的解为$x=-2$，列方程：
$3k + 2 = -2$
移项得：$3k = -2 - 2$
计算得：$3k = -4$
解得：$k=-\frac{4}{3}$。
【答案】
$k=-\frac{4}{3}$
【知识点】
解一元一次方程；相反数的性质；方程的解的应用
【点评】
本题是一元一次方程与相反数性质的综合基础题，解题的关键是先求出不含参数的方程的解，再利用相反数的关系建立关于参数的新方程求解，计算时注意去括号、移项的符号问题，避免运算错误。
【难度系数】
0.7

8. 已知$y_1=6-x$，$y_2=2+7x$。
（1）当$y_1=2y_2$时，求$x$的值；
（2）当$x$取何值时，$y_1$比$y_2$小$-3$？

8. (1) $x=\frac{2}{15}$ (2) $x=\frac{1}{8}$

【分析】
本题考查一元一次方程的应用，两个小问的解题思路一致：首先根据题目给出的数量关系列出关于x的一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可。第（1）问直接代入$y_1=2y_2$的等量关系列方程；第（2）问先将“$y_1$比$y_2$小-3”转化为数学等式$y_2 - y_1 = -3$，再代入表达式列方程求解。
【解析】
（1）根据题意可得方程：
$\begin{aligned}6 - x &= 2(2 + 7x) \\6 - x &= 4 + 14x \\-x - 14x &= 4 - 6 \\-15x &= -2 \\x &= \frac{2}{15}\end{aligned}$
（2）根据“$y_1$比$y_2$小-3”可得等量关系：$y_2 - y_1 = -3$，代入表达式得方程：
$\begin{aligned}(2 + 7x) - (6 - x) &= -3 \\2 + 7x - 6 + x &= -3 \\8x - 4 &= -3 \\8x &= 1 \\x &= \frac{1}{8}\end{aligned}$
【答案】
(1) $x=\frac{2}{15}$；(2) $x=\frac{1}{8}$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程；等量关系转化
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用，核心是准确把文字描述的数量关系转化为方程，解方程时注意移项要变号，去括号时符号不要出错，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75

9. 对于两个不相等的有理数 $ m,n $，规定 $ \min\{m,n\} $ 表示两个数中较小的数，如：$ \min\{3,-2\}=-2 $。求方程 $ \min\{x,-1\}=2(1-x) $ 的解。

当$x＞-1$时,方程为$-1=2(1-x)$,解得$x=\frac{3}{2}$；当$x＜-1$时,方程为$x=2(1-x)$,解得$x=\frac{2}{3}$,不符合题意,舍去.综上所述,方程的解为$x=\frac{3}{2}$.

【分析】
首先明确新定义$\min\{m,n\}$的含义：取两个不相等的有理数中较小的数。要解含$\min\{x,-1\}$的方程，需先确定$x$和$-1$的大小关系，因二者不相等，故分$x＞-1$和$x＜-1$两种情况讨论，将含新定义的方程转化为普通一元一次方程求解，最后验证求出的解是否符合对应情况的取值范围，不符合的要舍去，即可得到正确解。
【解析】
根据$\min\{m,n\}$的定义，$x\ne-1$，分两种情况讨论：
① 当$x＞-1$时，$\min\{x,-1\}=-1$，原方程可化为：
$\begin{aligned}-1&=2(1-x)\\-1&=2-2x\\2x&=3\\x&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
经检验，$\frac{3}{2}＞-1$，符合该情况的前提条件，保留。
② 当$x＜-1$时，$\min\{x,-1\}=x$，原方程可化为：
$\begin{aligned}x&=2(1-x)\\x&=2-2x\\3x&=2\\x&=\frac{2}{3}\end{aligned}$
经检验，$\frac{2}{3}＞-1$，不符合$x＜-1$的前提条件，舍去。
综上所述，原方程的解为$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的求解，解题核心是正确理解新定义的运算规则，根据两个数的大小关系合理分类，求解后要注意验证解是否符合对应分类的取值范围，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6