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14.如图，$AD// BC$，$∠ BAD=90°$，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作$CF⊥ BE$，垂足为F.不添加辅助线，找出图中与BF相等的线段，然后再加以证明.
答案
14.$AE$;证明过程略
解析
【分析】
要找出与BF相等的线段，通常可通过证明三角形全等得到对应边相等。首先观察图形初步猜测AE与BF相等，接下来逐步验证：①由AD//BC、∠BAD=90°可推出∠ABC=90°，即∠A=∠BFC=90°；②由AD//BC可得内错角∠AEB=∠FBC；③由作图规则可知BE=BC（同圆半径相等），即可证明△ABE和△FCB全等，进而得到对应边BF=AE。
【解析】
与BF相等的线段是AE，证明如下：
∵$AD// BC$，$∠ BAD=90°$，
∴$∠ ABC=180°-∠ BAD=90°$，
∴$∠ A=∠ BFC=90°$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ AEB=∠ FBC$。
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E，
∴$BE=BC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ BFC \\∠ AEB=∠ FBC \\BE=BC\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ FCB$（AAS），
∴$BF=AE$。
【答案】
$AE$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是证明线段相等的典型基础题，核心解题思路是通过挖掘已知条件中的角、边等量关系证明三角形全等，再利用全等的性质得到对应边相等，需熟练掌握全等三角形的判定定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
要找出与BF相等的线段，通常可通过证明三角形全等得到对应边相等。首先观察图形初步猜测AE与BF相等，接下来逐步验证：①由AD//BC、∠BAD=90°可推出∠ABC=90°，即∠A=∠BFC=90°；②由AD//BC可得内错角∠AEB=∠FBC；③由作图规则可知BE=BC（同圆半径相等），即可证明△ABE和△FCB全等，进而得到对应边BF=AE。
【解析】
与BF相等的线段是AE，证明如下：
∵$AD// BC$，$∠ BAD=90°$，
∴$∠ ABC=180°-∠ BAD=90°$，
∴$∠ A=∠ BFC=90°$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ AEB=∠ FBC$。
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E，
∴$BE=BC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ BFC \\∠ AEB=∠ FBC \\BE=BC\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ FCB$（AAS），
∴$BF=AE$。
【答案】
$AE$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是证明线段相等的典型基础题，核心解题思路是通过挖掘已知条件中的角、边等量关系证明三角形全等，再利用全等的性质得到对应边相等，需熟练掌握全等三角形的判定定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
15.在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$l$是过点$A$的一条直线，$BD⊥ AE$，$CE⊥ AE$.
(1)当直线$l$绕点$A$旋转到如图1所示位置时，试证明$DE=BD+CE$；
(2)当直线$l$绕点$A$旋转到如图2所示位置时，试证明$DE=BD-CE$；
(3)当直线$l$绕点$A$旋转到如图3所示位置时，$BD$与$DE$，$CE$具有怎样的等量关系？请写出结果，不必证明.
(1)当直线$l$绕点$A$旋转到如图1所示位置时，试证明$DE=BD+CE$；
(2)当直线$l$绕点$A$旋转到如图2所示位置时，试证明$DE=BD-CE$；
(3)当直线$l$绕点$A$旋转到如图3所示位置时，$BD$与$DE$，$CE$具有怎样的等量关系？请写出结果，不必证明.
答案
15.(1)$△ ABD≌△ CAE$(AAS),得$DE=CE+BD$;
(2)$△ ABD≌△ CAE$(AAS),得$DE=BD-CE$;
(3)$DE=CE-BD$
(2)$△ ABD≌△ CAE$(AAS),得$DE=BD-CE$;
(3)$DE=CE-BD$
解析
【分析】
本题以等腰直角三角形为背景，结合过直角顶点的旋转直线解题，核心思路如下：1.先由垂直得到直角，结合∠BAC=90°，通过“同角的余角相等”推出一组锐角相等；2.结合已知AB=AC，用AAS判定△ABD和△CAE全等，得到两组对应边相等；3.根据不同图形中线段的位置关系，用线段和差运算推导DE与BD、CE的数量关系，第三问可类比前两问的推导思路直接得出结论。
【解析】
(1)证明：
∵BD⊥直线$l$，CE⊥直线$l$，
∴$∠ ADB=∠ CEA=90°$，
∴$∠ ABD+∠ BAD=90°$。
又
∵$∠ BAC=90°$，
∴$∠ BAD+∠ CAE=180°-90°=90°$，
∴$∠ ABD=∠ CAE$。
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CEA \\∠ ABD=∠ CAE \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ CAE$（AAS），
∴$BD=AE$，$AD=CE$。
∵$DE=AD+AE$，
∴$DE=CE+BD=BD+CE$。
(2)证明：
∵BD⊥直线$l$，CE⊥直线$l$，
∴$∠ ADB=∠ CEA=90°$，
∴$∠ ABD+∠ BAD=90°$。
又
∵$∠ BAC=90°$，
∴$∠ BAD+∠ CAE=90°$，
∴$∠ ABD=∠ CAE$。
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CEA \\∠ ABD=∠ CAE \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ CAE$（AAS），
∴$BD=AE$，$AD=CE$。
∵$DE=AE-AD$，
∴$DE=BD-CE$。
(3)类比前两问的推导逻辑，可直接得到结论。
【答案】
(1)$△ ABD≌△ CAE$(AAS)，得$DE=BD+CE$；
(2)$△ ABD≌△ CAE$(AAS)，得$DE=BD-CE$；
(3)$DE=CE-BD$
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 等腰直角三角形性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是“一线三垂直”全等模型的典型应用，通过直线的旋转变化考察动态几何分析能力，解题核心是抓住旋转过程中不变的全等关系，熟练运用角的互余性质和全等三角形对应边相等的性质解决问题。
【难度系数】
0.7
本题以等腰直角三角形为背景，结合过直角顶点的旋转直线解题，核心思路如下：1.先由垂直得到直角，结合∠BAC=90°，通过“同角的余角相等”推出一组锐角相等；2.结合已知AB=AC，用AAS判定△ABD和△CAE全等，得到两组对应边相等；3.根据不同图形中线段的位置关系，用线段和差运算推导DE与BD、CE的数量关系，第三问可类比前两问的推导思路直接得出结论。
【解析】
(1)证明：
∵BD⊥直线$l$，CE⊥直线$l$，
∴$∠ ADB=∠ CEA=90°$，
∴$∠ ABD+∠ BAD=90°$。
又
∵$∠ BAC=90°$，
∴$∠ BAD+∠ CAE=180°-90°=90°$，
∴$∠ ABD=∠ CAE$。
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CEA \\∠ ABD=∠ CAE \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ CAE$（AAS），
∴$BD=AE$，$AD=CE$。
∵$DE=AD+AE$，
∴$DE=CE+BD=BD+CE$。
(2)证明：
∵BD⊥直线$l$，CE⊥直线$l$，
∴$∠ ADB=∠ CEA=90°$，
∴$∠ ABD+∠ BAD=90°$。
又
∵$∠ BAC=90°$，
∴$∠ BAD+∠ CAE=90°$，
∴$∠ ABD=∠ CAE$。
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CEA \\∠ ABD=∠ CAE \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ CAE$（AAS），
∴$BD=AE$，$AD=CE$。
∵$DE=AE-AD$，
∴$DE=BD-CE$。
(3)类比前两问的推导逻辑，可直接得到结论。
【答案】
(1)$△ ABD≌△ CAE$(AAS)，得$DE=BD+CE$；
(2)$△ ABD≌△ CAE$(AAS)，得$DE=BD-CE$；
(3)$DE=CE-BD$
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 等腰直角三角形性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是“一线三垂直”全等模型的典型应用，通过直线的旋转变化考察动态几何分析能力，解题核心是抓住旋转过程中不变的全等关系，熟练运用角的互余性质和全等三角形对应边相等的性质解决问题。
【难度系数】
0.7
