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7.如图，AD⊥AB，BE⊥AB，点C在AB上，连接CD，CE，若CD⊥CE，CD=CE，AD=3 cm，BE=5 cm，则AB的长为
8 cm
.答案
7.8 cm
解析
【分析】
首先根据已知的垂直条件可得到多个直角，利用同角的余角相等推出一组相等的锐角，结合已知CD=CE，可判定△ACD和△BEC全等，再利用全等三角形对应边相等的性质，将AB的长度转化为AD与BE的和即可计算出结果。
【解析】
∵AD⊥AB，BE⊥AB，CD⊥CE，
∴∠A=∠B=∠DCE=90°，
∴∠D + ∠ACD = 90°，∠ACD + ∠BCE = 180° - ∠DCE = 90°，
∴∠D = ∠BCE。
在△ACD和△BEC中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠B \\∠D=∠BCE \\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BEC（AAS），
∴BC=AD=3cm，AC=BE=5cm，
∴AB=AC+BC=5+3=8cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题核心是通过垂直关系推导相等的角，证明三角形全等，再利用全等的性质将未知线段转化为已知线段求解。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的垂直条件可得到多个直角，利用同角的余角相等推出一组相等的锐角，结合已知CD=CE，可判定△ACD和△BEC全等，再利用全等三角形对应边相等的性质，将AB的长度转化为AD与BE的和即可计算出结果。
【解析】
∵AD⊥AB，BE⊥AB，CD⊥CE，
∴∠A=∠B=∠DCE=90°，
∴∠D + ∠ACD = 90°，∠ACD + ∠BCE = 180° - ∠DCE = 90°，
∴∠D = ∠BCE。
在△ACD和△BEC中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠B \\∠D=∠BCE \\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BEC（AAS），
∴BC=AD=3cm，AC=BE=5cm，
∴AB=AC+BC=5+3=8cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题核心是通过垂直关系推导相等的角，证明三角形全等，再利用全等的性质将未知线段转化为已知线段求解。
【难度系数】
0.7
8.如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝35°，则∠DAO的度数是
85°
。答案
8.85°
解析
【分析】
要求∠DAO的度数，观察可知∠DAO是△OAD的内角，已知△OAD中∠O=60°，若求出∠D的度数，就可以利用三角形内角和为180°计算∠DAO。结合已知条件OA=OB、OC=OD，且△OAD和△OBC有公共角∠O，可通过SAS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到∠D=∠C=35°，进而求解∠DAO。
【解析】
在$△ OAD$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB（已知）\\∠O=∠O（公共角相等）\\OD=OC（已知）\end{cases}$
∴$△ OAD≌△ OBC$（SAS）
∴$∠D=∠C=35°$（全等三角形对应角相等）
在$△ OAD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠DAO=180°-∠O-∠D=180°-60°-35°=85°$
【答案】
$85°$
【知识点】
全等三角形SAS判定，全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是挖掘图形中公共角这一隐含条件，证明三角形全等得到未知角的度数，再结合三角形内角和定理计算目标角，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
要求∠DAO的度数，观察可知∠DAO是△OAD的内角，已知△OAD中∠O=60°，若求出∠D的度数，就可以利用三角形内角和为180°计算∠DAO。结合已知条件OA=OB、OC=OD，且△OAD和△OBC有公共角∠O，可通过SAS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到∠D=∠C=35°，进而求解∠DAO。
【解析】
在$△ OAD$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB（已知）\\∠O=∠O（公共角相等）\\OD=OC（已知）\end{cases}$
∴$△ OAD≌△ OBC$（SAS）
∴$∠D=∠C=35°$（全等三角形对应角相等）
在$△ OAD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠DAO=180°-∠O-∠D=180°-60°-35°=85°$
【答案】
$85°$
【知识点】
全等三角形SAS判定，全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是挖掘图形中公共角这一隐含条件，证明三角形全等得到未知角的度数，再结合三角形内角和定理计算目标角，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
9.如图,在△ABC中,过点A作AD⊥BC,垂足为D,过点B作BF⊥AC,垂足为F,BF交AD于点E,已知AC=BE,BD=5,CD=2,则AE的长为
3
.答案
9.3
解析
【分析】
解题时先结合已知的两组垂直关系，利用直角三角形两锐角互余的性质，推导得到一组相等的角，再结合已知AC=BE的条件，通过AAS判定△BDE和△ADC全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质，计算得到AE的长度。
【解析】
∵AD⊥BC，BF⊥AC
∴∠ADB=∠ADC=∠BFC=90°
∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠CBE=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠CAD=∠CBE（同角的余角相等）
在△BDE和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠CBE=∠CAD \\∠BDE=∠ADC=90° \\BE=AC\end{array} $
∴△BDE≌△ADC（AAS）
∴BD=AD，DE=CD
已知BD=5，CD=2
∴AD=5，DE=2
∴AE=AD-DE=5-2=3
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，解题的核心是结合垂直关系推导角相等，找到全等三角形实现边的关系转化，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的两组垂直关系，利用直角三角形两锐角互余的性质，推导得到一组相等的角，再结合已知AC=BE的条件，通过AAS判定△BDE和△ADC全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质，计算得到AE的长度。
【解析】
∵AD⊥BC，BF⊥AC
∴∠ADB=∠ADC=∠BFC=90°
∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠CBE=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠CAD=∠CBE（同角的余角相等）
在△BDE和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠CBE=∠CAD \\∠BDE=∠ADC=90° \\BE=AC\end{array} $
∴△BDE≌△ADC（AAS）
∴BD=AD，DE=CD
已知BD=5，CD=2
∴AD=5，DE=2
∴AE=AD-DE=5-2=3
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，解题的核心是结合垂直关系推导角相等，找到全等三角形实现边的关系转化，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，连接PC，若△PBC的面积为3，则△ABC的面积为
6
.答案
10.6
解析
【分析】
遇到角平分线与角平分线上的垂线组合的题型，我们通常通过延长垂线与角的另一边相交，构造全等三角形解题。本题先延长AP交BC于点D，先利用角平分线的定义、垂直的性质结合公共边证明△ABP≌△DBP，得到AP=DP，再根据等底同高的三角形面积相等，推出△ABC的面积是△PBC面积的2倍，代入已知面积即可求解。
【解析】
延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP，
∴$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$（等底同高的三角形面积相等），
∴$S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}+S_{△ PBC}=2S_{△ PBC}$，
∵$S_{△ PBC}=3$，
∴$S_{△ ABC}=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形面积计算；角平分线的定义
【点评】
本题的解题突破口是结合角平分线和垂直的特征作辅助线构造全等三角形，将△ABC的面积转化为两倍的△PBC的面积，重点考查了学生对全等三角形判定的掌握和辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线与角平分线上的垂线组合的题型，我们通常通过延长垂线与角的另一边相交，构造全等三角形解题。本题先延长AP交BC于点D，先利用角平分线的定义、垂直的性质结合公共边证明△ABP≌△DBP，得到AP=DP，再根据等底同高的三角形面积相等，推出△ABC的面积是△PBC面积的2倍，代入已知面积即可求解。
【解析】
延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP，
∴$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$（等底同高的三角形面积相等），
∴$S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}+S_{△ PBC}=2S_{△ PBC}$，
∵$S_{△ PBC}=3$，
∴$S_{△ ABC}=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形面积计算；角平分线的定义
【点评】
本题的解题突破口是结合角平分线和垂直的特征作辅助线构造全等三角形，将△ABC的面积转化为两倍的△PBC的面积，重点考查了学生对全等三角形判定的掌握和辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图, 在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,$CE ⊥ AB$, 垂足分别是$D$,$E$,$AD$,$CE$交于点$H$,要使$△ AEH ≌ △ CEB$,可添加一个适当的条件是
$EH=EB$(答案不唯一)
.答案
11.$EH=EB$(答案不唯一)
解析
【分析】首先根据已知的垂直关系，可得出△AEH和△CEB中已有两组角对应相等：一是两个直角相等（∠AEH=∠CEB=90°），二是利用“同角的余角相等”可推出∠EAH=∠ECB。此时要证明两个三角形全等，根据全等三角形的AAS或ASA判定定理，只需再添加一组对应边相等即可，常见的可添加边如EH=EB、AE=CE、AH=CB等。
【解析】已知$AD⊥BC$，$CE⊥AB$，因此$∠ AEH=∠ CEB=∠ ADB=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ B = 90°$；在$Rt△ BCE$中，$∠ BCE + ∠ B = 90°$，因此$∠ EAH=∠ BCE$（同角的余角相等）。
若添加条件$EH=EB$：
在$△ AEH$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ AEH=∠ CEB \\∠ EAH=∠ ECB \\EH=EB\end{cases}$
因此$△ AEH ≌ △ CEB$（AAS）。
（注：添加$AE=CE$可通过ASA判定全等，添加$AH=CB$可通过AAS判定全等，均成立）
【答案】$EH=EB$（答案不唯一）
【知识点】三角形全等判定、余角的性质、垂直的定义
【点评】本题为条件开放类题目，解题时需先从已知条件出发推导得到已有的相等的角，再结合全等三角形的判定定理补充缺失的对应边相等条件即可，注意对应边、对应角要匹配正确。
【难度系数】0.7
【解析】已知$AD⊥BC$，$CE⊥AB$，因此$∠ AEH=∠ CEB=∠ ADB=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ B = 90°$；在$Rt△ BCE$中，$∠ BCE + ∠ B = 90°$，因此$∠ EAH=∠ BCE$（同角的余角相等）。
若添加条件$EH=EB$：
在$△ AEH$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ AEH=∠ CEB \\∠ EAH=∠ ECB \\EH=EB\end{cases}$
因此$△ AEH ≌ △ CEB$（AAS）。
（注：添加$AE=CE$可通过ASA判定全等，添加$AH=CB$可通过AAS判定全等，均成立）
【答案】$EH=EB$（答案不唯一）
【知识点】三角形全等判定、余角的性质、垂直的定义
【点评】本题为条件开放类题目，解题时需先从已知条件出发推导得到已有的相等的角，再结合全等三角形的判定定理补充缺失的对应边相等条件即可，注意对应边、对应角要匹配正确。
【难度系数】0.7
12.在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ CBA$的外角平分线交$AC$的延长线于点$F$，交斜边上的高$CD$的延长线于点$E$，$EG// AC$交$AB$的延长线于点$G$，则下列结论：①$∠ F=∠ CEF$；②$GE=CE$；③$EF⊥ CG$，其中正确的有________（填序号）.
A
A
答案
12.①②③
解析
【分析】
我们逐个验证3个结论：
1. 验证结论①：先利用角平分线得到相等的角，再结合直角三角形两锐角互余、对顶角相等，推导∠F和∠CEF的关系；
2. 验证结论②：先由平行线的性质得到角相等，结合角相等的结论，证明△GBE和△CBE全等，即可得到边相等；
3. 验证结论③：由前两步得到的边相等、角相等，可知△CEG是等腰三角形，EF是其顶角平分线，根据等腰三角形三线合一即可判断EF与CG垂直。
【解析】
已知BF是∠CBA的外角平分线，故∠CBF=∠GBF。
1. 证明①成立：
∵∠ACB=90°，
∴在Rt△FCB中，∠F+∠CBF=90°。
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB，即∠EDB=90°，在Rt△EDB中，∠BED+∠GBF=90°。
又
∵∠CEF=∠BED（对顶角相等），且∠CBF=∠GBF，
∴∠F=∠CEF，故①正确。
2. 证明②成立：
∵EG//AC，
∴∠GEF=∠F（两直线平行，内错角相等），
结合①的结论∠F=∠CEF，得∠GEF=∠CEF。
在△GBE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠GBE=∠CBE \\BE=BE \\∠GEB=∠CEB\end{array} $
∴△GBE≌△CBE（ASA），
∴GE=CE，故②正确。
3. 证明③成立：
由②得GE=CE，即△CEG是等腰三角形，
又
∵∠CEF=∠GEF，即EF平分∠CEG，
根据等腰三角形三线合一的性质，可知EF⊥CG，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
①②③
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线、全等三角形、等腰三角形的相关性质，解题时需要从角的等量关系入手，逐步推导边和角的关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
我们逐个验证3个结论：
1. 验证结论①：先利用角平分线得到相等的角，再结合直角三角形两锐角互余、对顶角相等，推导∠F和∠CEF的关系；
2. 验证结论②：先由平行线的性质得到角相等，结合角相等的结论，证明△GBE和△CBE全等，即可得到边相等；
3. 验证结论③：由前两步得到的边相等、角相等，可知△CEG是等腰三角形，EF是其顶角平分线，根据等腰三角形三线合一即可判断EF与CG垂直。
【解析】
已知BF是∠CBA的外角平分线，故∠CBF=∠GBF。
1. 证明①成立：
∵∠ACB=90°，
∴在Rt△FCB中，∠F+∠CBF=90°。
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB，即∠EDB=90°，在Rt△EDB中，∠BED+∠GBF=90°。
又
∵∠CEF=∠BED（对顶角相等），且∠CBF=∠GBF，
∴∠F=∠CEF，故①正确。
2. 证明②成立：
∵EG//AC，
∴∠GEF=∠F（两直线平行，内错角相等），
结合①的结论∠F=∠CEF，得∠GEF=∠CEF。
在△GBE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠GBE=∠CBE \\BE=BE \\∠GEB=∠CEB\end{array} $
∴△GBE≌△CBE（ASA），
∴GE=CE，故②正确。
3. 证明③成立：
由②得GE=CE，即△CEG是等腰三角形，
又
∵∠CEF=∠GEF，即EF平分∠CEG，
根据等腰三角形三线合一的性质，可知EF⊥CG，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
①②③
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线、全等三角形、等腰三角形的相关性质，解题时需要从角的等量关系入手，逐步推导边和角的关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 如图,要测量一池塘的宽度,已知测量点B,F,C,E在直线l上,测量点A,D在直线l的异侧,且AC=DF,∠A=∠D,AB//DE.若BE=110 m,BF=30 m,则CF的长为
50
m.答案
13.50
解析
【分析】
要求CF的长，首先观察图形和已知条件：由AB//DE可得到一组同位角相等，结合已知的∠A=∠D、AC=DF，可利用AAS证明△ABC和△DEF全等，得到对应边BC=EF，进而推导出BF=CE，最后结合BE、BF的长度即可计算出CF的长度。
【解析】
解：
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等）。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠D \\∠B=∠DEF \\AC=DF\end{array} $
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC=EF（全等三角形对应边相等）。
∵BC=BF+CF，EF=CE+CF，
∴BF+CF=CE+CF，
∴BF=CE=30m。
又
∵BE=BF+CF+CE=110m，
∴CF=BE - BF - CE=110 - 30 - 30=50(m)。
【答案】
50
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是利用全等三角形测量不可直接测量距离的典型题型，解题的关键是结合平行线性质找到全等的条件，通过全等三角形的对应边相等转化线段之间的数量关系，进而求出待求线段的长度。
【难度系数】
0.7
要求CF的长，首先观察图形和已知条件：由AB//DE可得到一组同位角相等，结合已知的∠A=∠D、AC=DF，可利用AAS证明△ABC和△DEF全等，得到对应边BC=EF，进而推导出BF=CE，最后结合BE、BF的长度即可计算出CF的长度。
【解析】
解：
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等）。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠D \\∠B=∠DEF \\AC=DF\end{array} $
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC=EF（全等三角形对应边相等）。
∵BC=BF+CF，EF=CE+CF，
∴BF+CF=CE+CF，
∴BF=CE=30m。
又
∵BE=BF+CF+CE=110m，
∴CF=BE - BF - CE=110 - 30 - 30=50(m)。
【答案】
50
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是利用全等三角形测量不可直接测量距离的典型题型，解题的关键是结合平行线性质找到全等的条件，通过全等三角形的对应边相等转化线段之间的数量关系，进而求出待求线段的长度。
【难度系数】
0.7
