登录
1. 解方程组①$\begin{cases}y=x-3, \\7x+5y=-9,\end{cases}$②$\begin{cases}3x+5y=12, \\3x-15y=-6,\end{cases}$比较简便的方法是（ ）
A.都用代入法
B.都用加减法
C.①用代入法，②用加减法
D.①用加减法，②用代入法
A.都用代入法
B.都用加减法
C.①用代入法，②用加减法
D.①用加减法，②用代入法
答案
1.C
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心思路是消元，常用方法为代入消元法和加减消元法，选择方法时需结合方程组的形式和系数特点判断：当方程组中有一个方程直接给出一个未知数用另一个未知数表示的形式时，优先用代入消元法；当两个方程中同一个未知数的系数相等、互为相反数或成整数倍关系时，优先用加减消元法。我们分别分析两个方程组的特征即可选出正确选项。
【解析】
先分析方程组①：第一个方程为$y=x-3$，已经直接给出y用x表示的代数式，无需额外变形，直接将其代入第二个方程$7x+5y=-9$，就能快速消去y，得到关于x的一元一次方程，因此①用代入法更简便。
再分析方程组②：两个方程中x的系数均为3，数值相等，只需将两个方程左右两边分别相减，就可以直接消去x，无需对未知数的系数进行额外调整，因此②用加减法更简便。
综上，①用代入法，②用加减法，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法；加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组消元方法的选择，解题时要根据方程组的形式和系数特征灵活选用简便的消元方法，能有效减少计算量，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组的核心思路是消元，常用方法为代入消元法和加减消元法，选择方法时需结合方程组的形式和系数特点判断：当方程组中有一个方程直接给出一个未知数用另一个未知数表示的形式时，优先用代入消元法；当两个方程中同一个未知数的系数相等、互为相反数或成整数倍关系时，优先用加减消元法。我们分别分析两个方程组的特征即可选出正确选项。
【解析】
先分析方程组①：第一个方程为$y=x-3$，已经直接给出y用x表示的代数式，无需额外变形，直接将其代入第二个方程$7x+5y=-9$，就能快速消去y，得到关于x的一元一次方程，因此①用代入法更简便。
再分析方程组②：两个方程中x的系数均为3，数值相等，只需将两个方程左右两边分别相减，就可以直接消去x，无需对未知数的系数进行额外调整，因此②用加减法更简便。
综上，①用代入法，②用加减法，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法；加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组消元方法的选择，解题时要根据方程组的形式和系数特征灵活选用简便的消元方法，能有效减少计算量，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
2. 解方程组$\begin{cases}2a + b = 7, ① \\ a - b = 2 ②\end{cases}$的最佳方法是( )
A.代入法消去$a$,由②得$a = b + 2$,代入①
B.代入法消去$b$,由①得$b = 7 - 2a$,代入②
C.加减法消去$a$,①$-$②$× 2$得$3b = 3$
D.加减法消去$b$,①$+$②得$3a = 9$
A.代入法消去$a$,由②得$a = b + 2$,代入①
B.代入法消去$b$,由①得$b = 7 - 2a$,代入②
C.加减法消去$a$,①$-$②$× 2$得$3b = 3$
D.加减法消去$b$,①$+$②得$3a = 9$
答案
2.D
解析
【分析】
要选择解二元一次方程组的最佳方法，首先观察方程组中未知数的系数特点：解二元一次方程组的核心是消元，当两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或相等时，使用加减消元法计算最简便，不需要移项、代入的额外步骤。本题中观察两个方程，b的系数分别是1和-1，互为相反数，因此优先选择加法消去b的方法，再对比各选项选出最简便的即可。
【解析】
观察方程组中两个方程的系数：
方程①中b的系数为1，方程②中b的系数为-1，二者互为相反数，因此将两个方程直接相加即可消去b：
①+②得：$(2a + b)+(a - b)=7+2$，化简得$3a=9$，仅需一步即可消去一个未知数，计算最简便。
对比各选项：
A、B选项为代入消元法，需要先移项变形再代入另一方程，步骤更繁琐；
C选项消去a需要先给②乘2再做减法，计算步骤多于消去b的方法；
D选项的方法步骤最少、计算最简单，是最佳方法。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法；加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组最优解法的选择，解题的关键是观察未知数的系数特征，灵活选择消元方法，系数互为相反数或相等时优先选择加减消元法，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.9
要选择解二元一次方程组的最佳方法，首先观察方程组中未知数的系数特点：解二元一次方程组的核心是消元，当两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或相等时，使用加减消元法计算最简便，不需要移项、代入的额外步骤。本题中观察两个方程，b的系数分别是1和-1，互为相反数，因此优先选择加法消去b的方法，再对比各选项选出最简便的即可。
【解析】
观察方程组中两个方程的系数：
方程①中b的系数为1，方程②中b的系数为-1，二者互为相反数，因此将两个方程直接相加即可消去b：
①+②得：$(2a + b)+(a - b)=7+2$，化简得$3a=9$，仅需一步即可消去一个未知数，计算最简便。
对比各选项：
A、B选项为代入消元法，需要先移项变形再代入另一方程，步骤更繁琐；
C选项消去a需要先给②乘2再做减法，计算步骤多于消去b的方法；
D选项的方法步骤最少、计算最简单，是最佳方法。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法；加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组最优解法的选择，解题的关键是观察未知数的系数特征，灵活选择消元方法，系数互为相反数或相等时优先选择加减消元法，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.9
3. 用代入法解方程组$\begin{cases}4x - 3y = 17, ① \\5x + y = 7, ②\end{cases}$使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A.由①得 $x=\frac{17 + 3y}{4}$
B.由①得 $y=\frac{17 - 4x}{-3}$
C.由②得 $y=7 - 5x$
D.由②得 $x=\frac{7 - y}{5}$
A.由①得 $x=\frac{17 + 3y}{4}$
B.由①得 $y=\frac{17 - 4x}{-3}$
C.由②得 $y=7 - 5x$
D.由②得 $x=\frac{7 - y}{5}$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断哪种变形代入后化简更容易，首先明确代入法变形的原则：尽量选择未知数系数为±1的方程进行变形，这样变形后的表达式不含分母，代入后计算、化简更简便。先观察两个方程的未知数系数：方程①中x、y的系数分别是4和-3，都不是±1，变形后会出现分数，计算繁琐；方程②中y的系数是1，变形表示y时只需移项，不会出现分母，是最优的变形选择。
【解析】
代入消元法变形时，优先选取未知数系数为±1的方程变形，可避免出现分数，简化后续计算。
选项A、B：由方程①变形，x、y系数均不为±1，变形后表达式含分母，代入后化简麻烦，排除；
选项C：方程②中y的系数为1，移项可得y=7-5x，表达式不含分母，代入①后直接替换y即可，化简非常容易；
选项D：由方程②变形表示x，表达式含分母，不如C简便，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法，方程变形
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的变形技巧，掌握“优先变形系数为±1的未知数”的原则，能大幅提高解题效率，是解二元一次方程组的基础考点。
【难度系数】
0.85
要判断哪种变形代入后化简更容易，首先明确代入法变形的原则：尽量选择未知数系数为±1的方程进行变形，这样变形后的表达式不含分母，代入后计算、化简更简便。先观察两个方程的未知数系数：方程①中x、y的系数分别是4和-3，都不是±1，变形后会出现分数，计算繁琐；方程②中y的系数是1，变形表示y时只需移项，不会出现分母，是最优的变形选择。
【解析】
代入消元法变形时，优先选取未知数系数为±1的方程变形，可避免出现分数，简化后续计算。
选项A、B：由方程①变形，x、y系数均不为±1，变形后表达式含分母，代入后化简麻烦，排除；
选项C：方程②中y的系数为1，移项可得y=7-5x，表达式不含分母，代入①后直接替换y即可，化简非常容易；
选项D：由方程②变形表示x，表达式含分母，不如C简便，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法，方程变形
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的变形技巧，掌握“优先变形系数为±1的未知数”的原则，能大幅提高解题效率，是解二元一次方程组的基础考点。
【难度系数】
0.85
4.选择合适的方法解下列方程组：
(1)$\begin{cases} y=2+x, ① \\ 2x+y=8; ② \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 3x-2y=1, ① \\ 7x+4y=11. ② \end{cases}$
(1)$\begin{cases} y=2+x, ① \\ 2x+y=8; ② \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 3x-2y=1, ① \\ 7x+4y=11. ② \end{cases}$
答案
4.解:(1)把①代入②,得$2x+(2+x)=8.3x=6.\quad x=2.$把$x=2$代入①,得$y=2+2.\quad y=4.$所以$\begin{cases} x=2,\\y=4; \end{cases}$(2)$①×2$,得$6x-4y=2.$ ③ ③$+$②,得$13x=13.\quad x=1.$把$x=1$代入①,得$3×1-2y=1.\quad -2y=-2.y=1.$所以$\begin{cases} x=1,\\y=1. \end{cases}$
解析
【分析】
对于(1)中的方程组，方程①已直接给出y用x表示的形式，适合选用代入消元法，将①代入②消去y，先求解x，再回代求y即可；对于(2)中的方程组，y的系数分别为-2和4，存在2倍的数量关系，适合选用加减消元法，将①乘2后与②相加即可消去y，先求解x，再回代求y即可。
【解析】
(1) 把①代入②，得$2x+(2+x)=8$，
整理得$3x=6$，解得$x=2$，
把$x=2$代入①，得$y=2+2=4$；
(2) 给①的左右两边同时乘2，得$6x-4y=2$ ③，
用③+②，得$13x=13$，解得$x=1$，
把$x=1$代入①，得$3×1-2y=1$，
整理得$-2y=-2$，解得$y=1$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2,\\y=4; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=1,\\y=1. \end{cases}$
【知识点】
1.代入消元法
2.加减消元法
3.二元一次方程组求解
【点评】
本题主要考查二元一次方程组的解法，解题时需结合方程组的系数特点灵活选择消元方法，可有效降低计算量，提升解题准确率。
【难度系数】
0.85
对于(1)中的方程组，方程①已直接给出y用x表示的形式，适合选用代入消元法，将①代入②消去y，先求解x，再回代求y即可；对于(2)中的方程组，y的系数分别为-2和4，存在2倍的数量关系，适合选用加减消元法，将①乘2后与②相加即可消去y，先求解x，再回代求y即可。
【解析】
(1) 把①代入②，得$2x+(2+x)=8$，
整理得$3x=6$，解得$x=2$，
把$x=2$代入①，得$y=2+2=4$；
(2) 给①的左右两边同时乘2，得$6x-4y=2$ ③，
用③+②，得$13x=13$，解得$x=1$，
把$x=1$代入①，得$3×1-2y=1$，
整理得$-2y=-2$，解得$y=1$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2,\\y=4; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=1,\\y=1. \end{cases}$
【知识点】
1.代入消元法
2.加减消元法
3.二元一次方程组求解
【点评】
本题主要考查二元一次方程组的解法，解题时需结合方程组的系数特点灵活选择消元方法，可有效降低计算量，提升解题准确率。
【难度系数】
0.85
5. 用加减消元法解方程组$\begin{cases}2x+5y=8,①\\3x-4y=5②\end{cases}$先消去$y$，下面运算正确的是（ ）
A.①×5+②×4
B.①×5−②×4
C.①×4+②×5
D.①×4−②×5
A.①×5+②×4
B.①×5−②×4
C.①×4+②×5
D.①×4−②×5
答案
5.C
解析
【分析】
用加减消元法消去指定未知数的核心是：让该未知数在两个方程中的系数绝对值相等，若系数互为相反数则相加消元，若系数相等则相减消元。本题要消去y，先找到两个方程中y的系数分别是5和-4，二者的最小公倍数是20，因此需给①乘4将y的系数变为20，给②乘5将y的系数变为-20，此时y的系数互为相反数，将两个变形后的式子相加即可消去y，对应运算再匹配选项即可。
【解析】
要消去y，需使两个方程中y的系数绝对值相等：
1. 方程①中y的系数为5，方程②中y的系数为-4，5和4的最小公倍数为20；
2. 对①两边同乘4，得：$①×4：8x+20y=32$，此时y的系数为20；
3. 对②两边同乘5，得：$②×5：15x-20y=25$，此时y的系数为-20；
4. 两个变形后的式子中y的系数互为相反数，相加即可消去y，对应运算为$①×4+②×5$，符合选项C。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查加减消元法的基础操作，解题关键是根据待消未知数的系数确定两个方程的乘系数规则，是解二元一次方程组的基础性题型，熟练掌握该方法能大幅提升复杂方程组的解题效率。
【难度系数】
0.8
用加减消元法消去指定未知数的核心是：让该未知数在两个方程中的系数绝对值相等，若系数互为相反数则相加消元，若系数相等则相减消元。本题要消去y，先找到两个方程中y的系数分别是5和-4，二者的最小公倍数是20，因此需给①乘4将y的系数变为20，给②乘5将y的系数变为-20，此时y的系数互为相反数，将两个变形后的式子相加即可消去y，对应运算再匹配选项即可。
【解析】
要消去y，需使两个方程中y的系数绝对值相等：
1. 方程①中y的系数为5，方程②中y的系数为-4，5和4的最小公倍数为20；
2. 对①两边同乘4，得：$①×4：8x+20y=32$，此时y的系数为20；
3. 对②两边同乘5，得：$②×5：15x-20y=25$，此时y的系数为-20；
4. 两个变形后的式子中y的系数互为相反数，相加即可消去y，对应运算为$①×4+②×5$，符合选项C。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查加减消元法的基础操作，解题关键是根据待消未知数的系数确定两个方程的乘系数规则，是解二元一次方程组的基础性题型，熟练掌握该方法能大幅提升复杂方程组的解题效率。
【难度系数】
0.8
6. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases} \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 1, \\ 3x - 4y = 2; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2(x - 150) = 5(3y + 50), \\ 10\% x + 60\% y = \dfrac{8.5}{100} × 800. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 1, \\ 3x - 4y = 2; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2(x - 150) = 5(3y + 50), \\ 10\% x + 60\% y = \dfrac{8.5}{100} × 800. \end{cases}$
答案
6.解:(1)把原方程组化简,得$\begin{cases} 4x-3y=12,① \\3x-4y=2. ② \end{cases}$ ①$×3$,得$12x-9y=36.$ ③ ②$×4$,得$12x-16y=8.$ ④ ③$-$④,得$7y=28.\quad y=4.$把$y=4$代入①,得$4x-12=12.\quad x=6.$所以$\begin{cases} x=6,\\y=4; \end{cases}$(2)把原方程组化简,得$\begin{cases} 2x-15y=550,① \\x+6y=680. ② \end{cases}$ ②$×2$,得$2x+12y=1\ 360.$ ③ ③$-$①,得$27y=810.\quad y=30.$把$y=30$代入②,得$x+180=680.\quad x=500.$所以$\begin{cases} x=500,\\y=30. \end{cases}$
解析
【分析】
解这两个二元一次方程组的核心思路是先化简原方程组，通过去分母、去括号、整理系数，将其转化为标准的二元一次方程组形式，再用加减消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值，最后代入方程求出剩余未知数的解。具体来说：(1)第一个方程含分母，先给方程两边同乘分母的最小公倍数12消去分母，得到两个整式方程，观察x的系数最小公倍数是12，给两个方程分别乘3和4使x的系数相等，再相减消去x求出y，最后代入求x；(2)第一个方程先去括号移项化简，第二个方程先把百分数转化为整数，两边同乘100消去百分号，化简后给第二个方程乘2使x的系数和第一个方程相同，相减消去x求出y，最后代入求x。
【解析】
(1) 先化简原方程组，给第一个方程两边同乘12消去分母，得：
$\begin{cases} 4x-3y=12,① \\3x-4y=2. ② \end{cases}$
①×3，得$12x-9y=36$ ③
②×4，得$12x-16y=8$ ④
③-④，得$7y=28$，解得$y=4$
把$y=4$代入①，得$4x-3×4=12$，即$4x-12=12$，解得$x=6$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=6,\\y=4; \end{cases}$
(2) 先化简原方程组，第一个方程去括号移项，第二个方程两边同乘100消去百分号计算，得：
$\begin{cases} 2x-15y=550,① \\x+6y=680. ② \end{cases}$
②×2，得$2x+12y=1360$ ③
③-①，得$27y=810$，解得$y=30$
把$y=30$代入②，得$x+6×30=680$，即$x+180=680$，解得$x=500$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=500,\\y=30. \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=6,\\y=4; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=500,\\y=30. \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 去分母与去括号运算
3. 等式的基本性质
【点评】
这两道题是解复杂二元一次方程组的常规题型，解题关键是先将非标准形式的方程组通过去分母、去括号、系数化简等操作转化为标准形式，再选用加减消元法求解，计算过程中要注意避免去分母时漏乘常数项、去括号时符号出错等问题。
【难度系数】
0.7
解这两个二元一次方程组的核心思路是先化简原方程组，通过去分母、去括号、整理系数，将其转化为标准的二元一次方程组形式，再用加减消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值，最后代入方程求出剩余未知数的解。具体来说：(1)第一个方程含分母，先给方程两边同乘分母的最小公倍数12消去分母，得到两个整式方程，观察x的系数最小公倍数是12，给两个方程分别乘3和4使x的系数相等，再相减消去x求出y，最后代入求x；(2)第一个方程先去括号移项化简，第二个方程先把百分数转化为整数，两边同乘100消去百分号，化简后给第二个方程乘2使x的系数和第一个方程相同，相减消去x求出y，最后代入求x。
【解析】
(1) 先化简原方程组，给第一个方程两边同乘12消去分母，得：
$\begin{cases} 4x-3y=12,① \\3x-4y=2. ② \end{cases}$
①×3，得$12x-9y=36$ ③
②×4，得$12x-16y=8$ ④
③-④，得$7y=28$，解得$y=4$
把$y=4$代入①，得$4x-3×4=12$，即$4x-12=12$，解得$x=6$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=6,\\y=4; \end{cases}$
(2) 先化简原方程组，第一个方程去括号移项，第二个方程两边同乘100消去百分号计算，得：
$\begin{cases} 2x-15y=550,① \\x+6y=680. ② \end{cases}$
②×2，得$2x+12y=1360$ ③
③-①，得$27y=810$，解得$y=30$
把$y=30$代入②，得$x+6×30=680$，即$x+180=680$，解得$x=500$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=500,\\y=30. \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=6,\\y=4; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=500,\\y=30. \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 去分母与去括号运算
3. 等式的基本性质
【点评】
这两道题是解复杂二元一次方程组的常规题型，解题关键是先将非标准形式的方程组通过去分母、去括号、系数化简等操作转化为标准形式，再选用加减消元法求解，计算过程中要注意避免去分母时漏乘常数项、去括号时符号出错等问题。
【难度系数】
0.7
