1. (玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a. 两组对边分别相等
b. 一组对边平行且相等
c. 一组邻边相等
d. 一个角是直角
顺次添加的条件:①$a→c→d$, ②$b→d→c$, ③$a→b→c$,则正确的是 ()

A.仅①
B.仅③
C.①②
D.②③

1. C 解析:①由a.两组对边分别相等得到四边形是平行四边形,添加c.一组邻边相等得到平行四边形是菱形,再添加d.一个角是直角得到菱形是正方形,故①正确;②由b.一组对边平行且相等得到四边形是平行四边形,添加d.一个角是直角得到平行四边形是矩形,再添加c.一组邻边相等得到矩形是正方形,故②正确;③由a.两组对边分别相等得到四边形是平行四边形,添加b.一组对边平行且相等得到平行四边形仍是平行四边形,再添加c.一组邻边相等得到平行四边形是菱形,不能得到四边形是正方形,故③不正确.
故选 C.
归纳总结 由矩形和菱形判定正方形,容易混淆二者需要添加的条件.由菱形到正方形只需一个角是直角,由矩形到正方形只需一组邻边相等.

2.（抚顺中考）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（）

A.$AB=CD,AB⊥ CD$
B.$AB=CD,AD=BC$
C.$AB=CD,AC⊥ BD$
D.$AB=CD,AD// BC$
（第2题）

2. A 解析:
∵ 点 E,F 分别是 AD,BC 的中点,点 M,N 分别是 AC,BD 的中点,
∴ EN, NF, FM, ME 分别是 $△ABD$, $△BCD,△ABC,△ACD$ 的中位线, $\therefore EN// AB// FM,ME// CD// NF,EN=\frac{1}{2}AB=FM,ME=\frac{1}{2}CD=NF,\therefore$ 四边形 EMFN 为平行四边形. 当 $AB=CD$ 时, $EN=FM=ME=NF,\therefore$ 平行四边形 EMFN 是菱形; 当 $AB ⊥ CD$ 时, $EN ⊥ ME$, 则 $∠MEN= 90°,\therefore$ 菱形 EMFN 是正方形.故选 A.

3. (2025·郑州模拟)如图所示,将一张矩形纸片对折两次,然后剪下一个角,保证剪口线与折痕夹角的角度为$45°$,将这个剪下的角打开,得到的图形是.如果剪口线与折痕夹角的角度不为$45°$,那么得到的图形是.

3. 正方形 菱形 解析:剪口线与折痕夹角的角度为$45°$时,如图①,由题意得$AB=BC=CD=DA$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形.$\because$ 剪口线与折痕夹角的角度为 $45°,\therefore ∠ABC=90°,\therefore$ 四边形 ABCD 是正方形,故答案为正方形;
当剪口线与折痕夹角的角度不为 $45°$时,如图②,由题意得$EF=FG=GH=HE$,$\therefore$ 四边形 EFGH 是菱形,故答案为菱形.

4. 如图,正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,分别过点C,D作$CE// BD$,$DE// AC$.求证:四边形OCED是正方形.

4. $\because CE// BD,DE// AC,\therefore$ 四边形 OCED 是平行四边形.$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,\therefore$ 平行四边形 OCED 是正方形.

5.（兴安盟中考）如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别是$E$，$F$，连接$EF$，$EF$与$AD$相交于点$H$.
(1)求证:$AD ⊥ EF$.
(2)当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$AEDF$是正方形？说明理由.

5. (1)$\because AD$ 是$△ABC$ 的角平分线,$\therefore ∠EAD=∠FAD.∵ DE ⊥ AB$, $DF ⊥ AC,\therefore ∠AED = ∠AFD = 90°$. 在 $△AED$ 和 $△AFD$ 中, $\because ∠AED = ∠AFD,∠EAD = ∠FAD,AD = AD,\therefore △AED ≌△AFD,\therefore AE=AF,\therefore AD⊥EF$.
(2)当$△ABC$满足$∠BAC=90°$时,四边形 AEDF 是正方形.
理由如下:$\because ∠AED=∠AFD=∠BAC=90°,\therefore$ 四边形 AEDF 是矩形.$\because EF⊥AD,\therefore$ 矩形 AEDF 是正方形.

6. 如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是 ()

A.$3\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$\frac{9}{2}$

6. C 解析:如图,过点 D 作 $DE ⊥ BC$ 交 BC 的延长线于点 E. $\because ∠ABC=90°$,$DP⊥AB$,$\therefore$ 四边形 DPBE 是矩形, $\therefore ∠CDE+∠CDP=90°.\because ∠ADC=90°$,$\therefore ∠ADP + ∠CDP = 90°$,$\therefore ∠ADP = ∠CDE.∵ DP ⊥ AB$,$\therefore ∠APD = 90°$,$\therefore ∠APD=∠CED=90°$.在 $△ADP$ 和 $△CDE$ 中,$∠ADP = ∠CDE$,$∠APD = ∠CED$,$AD = CD$,$\therefore △ADP ≌ △CDE$,$\therefore DE=DP$,$S_{四边形ABCD} = S_{四边形DPBE} = 18$.易得矩形 DPBE 是正方形,$\therefore DP^2=18$,则 $DP=3\sqrt{2}$.故选 C.

7. (郴州中考)如图,在正方形$ABCD$中,$△ ABE$和$△ CDF$为直角三角形,$∠ AEB = ∠ CFD = 90°$,$AE = CF = 5$,$BE = DF = 12$,则$EF$的长是
（）

A.7
B.8
C.$7\sqrt{2}$
D.$7\sqrt{3}$

7. C 解析:如图,设 CF 的延长线与 BE 交于点 H,AE 的延长线与 DF 交于点 G. $\because$ 四边形 ABCD 是正方形, $\therefore ∠BAD = ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC =90°$,$AB = BC = CD = AD$,$\therefore ∠BAE + ∠DAG = 90°$. 在 $△ABE$ 和 $△CDF$ 中,$\because AB=CD$,$AE=CF$,$BE=DF$,$\therefore △ABE≌△CDF$,$\therefore ∠ABE = ∠CDF.∵ ∠AEB = ∠CFD = 90°$,$\therefore ∠ABE + ∠BAE = 90°$,$\therefore ∠ABE = ∠DAG = ∠CDF$.同理$∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCF$,$\therefore ∠DAG + ∠ADG =∠CDF+∠ADG=90°$,即$∠DGA=90°$.同理$∠CHB=90°$.在$△ABE$ 和 $△DAG$ 中,$\because ∠ABE = ∠DAG$,$∠AEB = ∠DGA =90°$,$AB = DA$,$\therefore △ABE ≌ △DAG$,$\therefore AE = DG$,$BE = AG$.同理$AE=DG=CF=BH=5$,$BE=AG=DF=CH=12$,$\therefore EG=GF=FH=EH=12-5=7.∵ ∠GEH = 180°-90° = 90°$,$\therefore$ 四边形EGFH是正方形,$\therefore EF=\sqrt{2} EG=7\sqrt{2}$,故选 C.