登录
12. 用简便方法计算 $-\dfrac{1}{3} -5\dfrac{1}{2} - (-\dfrac{5}{6}) + (-\dfrac{2}{3}) -6\dfrac{1}{2}$
答案
解：
原式$=-\dfrac{1}{3} -5\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} -\dfrac{2}{3} -6\dfrac{1}{2}$
$=(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3})+(-5\dfrac{1}{2}-6\dfrac{1}{2})+\dfrac{5}{6}$
$=-1 -12 + \dfrac{5}{6}$
$=-13 + \dfrac{5}{6}$
$=-12\dfrac{1}{6}$
原式$=-\dfrac{1}{3} -5\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} -\dfrac{2}{3} -6\dfrac{1}{2}$
$=(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3})+(-5\dfrac{1}{2}-6\dfrac{1}{2})+\dfrac{5}{6}$
$=-1 -12 + \dfrac{5}{6}$
$=-13 + \dfrac{5}{6}$
$=-12\dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
解决这道有理数加减混合简便计算题时，首先要根据去括号法则把所有减法转化为加法，简化原式；接下来观察各项特征，可发现有两个分母为3的分数，还有两个带分数的整数部分、分数部分分别相加可凑成整数，因此可以利用加法交换律和结合律，把同分母的、能凑整的项分别组合优先计算，最后再算总和，能避免多次通分，减少运算量，降低出错概率。
【解析】
解：先去括号，将减法统一为加法：
原式$=-\dfrac{1}{3} -5\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} -\dfrac{2}{3} -6\dfrac{1}{2}$
利用加法交换律、结合律分组，把同分母分数、能凑整的项放在一起：
$=(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3})+(-5\dfrac{1}{2}-6\dfrac{1}{2})+\dfrac{5}{6}$
分别计算每组的结果：
$=-1 -12 + \dfrac{5}{6}$
先算整数部分的和：
$=-13 + \dfrac{5}{6}$
最终计算得：
$=-12\dfrac{1}{6}$
【答案】
$-12\dfrac{1}{6}$
【知识点】
有理数加减混合运算、加法运算律的应用、去括号法则
【点评】
本题考查有理数加减混合运算的简便计算，解题核心是先通过去括号统一运算形式，再根据项的特征灵活运用加法运算律分组，大幅简化运算过程，做题时要注意移动项时连同项前面的符号一起移动，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
解决这道有理数加减混合简便计算题时，首先要根据去括号法则把所有减法转化为加法，简化原式；接下来观察各项特征，可发现有两个分母为3的分数，还有两个带分数的整数部分、分数部分分别相加可凑成整数，因此可以利用加法交换律和结合律，把同分母的、能凑整的项分别组合优先计算，最后再算总和，能避免多次通分，减少运算量，降低出错概率。
【解析】
解：先去括号，将减法统一为加法：
原式$=-\dfrac{1}{3} -5\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} -\dfrac{2}{3} -6\dfrac{1}{2}$
利用加法交换律、结合律分组，把同分母分数、能凑整的项放在一起：
$=(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3})+(-5\dfrac{1}{2}-6\dfrac{1}{2})+\dfrac{5}{6}$
分别计算每组的结果：
$=-1 -12 + \dfrac{5}{6}$
先算整数部分的和：
$=-13 + \dfrac{5}{6}$
最终计算得：
$=-12\dfrac{1}{6}$
【答案】
$-12\dfrac{1}{6}$
【知识点】
有理数加减混合运算、加法运算律的应用、去括号法则
【点评】
本题考查有理数加减混合运算的简便计算，解题核心是先通过去括号统一运算形式，再根据项的特征灵活运用加法运算律分组，大幅简化运算过程，做题时要注意移动项时连同项前面的符号一起移动，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
13.为了改善青少年体质健康状况，云南省中考改革把体育成绩与语文、数学、英语成绩并列，按100分计入升学成绩.为此，小健同学天天坚持跑步锻炼，他每天以1000 m为标准，超过标准的跑步距离记为正数，不足标准的记为负数，下表记录了小健同学上周的跑步情况(单位:m).
(1)上周，小健同学跑步距离最多的一天比跑步距离最少的一天多跑了多少米？
(2)若小健同学跑步的平均速度为250 m/min，则上周他累计用了多少分钟跑步？
(1)上周，小健同学跑步距离最多的一天比跑步距离最少的一天多跑了多少米？
(2)若小健同学跑步的平均速度为250 m/min，则上周他累计用了多少分钟跑步？
答案
解：
(1) 由题意可知，跑步距离最多的一天超出标准200m，跑步距离最少的一天不足标准100m。
200 - (-100) = 300(m)
(2) 计算上周超出或不足标准的总距离：
(+140)+(+120)+(-65)+(-100)+(+80)+(+125)+(+200)
=140+120-65-100+80+125+200
=500(m)
上周跑步的总距离为：
7×1000 + 500 = 7500(m)
累计跑步时间为：
7500 ÷ 250 = 30(min)
答：(1) 小健同学跑步距离最多的一天比跑步距离最少的一天多跑了300米；(2) 上周他累计用了30分钟跑步。
(1) 由题意可知，跑步距离最多的一天超出标准200m，跑步距离最少的一天不足标准100m。
200 - (-100) = 300(m)
(2) 计算上周超出或不足标准的总距离：
(+140)+(+120)+(-65)+(-100)+(+80)+(+125)+(+200)
=140+120-65-100+80+125+200
=500(m)
上周跑步的总距离为：
7×1000 + 500 = 7500(m)
累计跑步时间为：
7500 ÷ 250 = 30(min)
答：(1) 小健同学跑步距离最多的一天比跑步距离最少的一天多跑了300米；(2) 上周他累计用了30分钟跑步。
解析
【分析】
(1) 首先明确表格中正负数的含义：正数代表超过标准1000m的距离，负数代表不足1000m的距离。先从表格数据中找到最大值（对应跑步距离最多的一天的超出量）和最小值（对应跑步距离最少的一天的不足量），根据有理数减法法则计算两者的差，即可得到多跑的距离。
(2) 先将表格中7个正负数相加，算出上周跑步距离和标准总距离的总偏差；再计算7天的标准总距离，加上总偏差得到上周跑步的总路程；最后根据“时间=路程÷速度”的关系，用总路程除以平均速度，就能求出累计跑步的时间。
【解析】
(1) 观察表格可知，跑步距离最多的一天超出标准200m，跑步距离最少的一天比标准少100m，多跑的距离为：
$200 - (-100) = 200 + 100 = 300\,\mathrm{m}$
(2) 先计算上周跑步距离的总偏差：
$(+140)+(+120)+(-65)+(-100)+(+80)+(+125)+(+200)$
$=140+120-65-100+80+125+200$
$=500\,\mathrm{m}$
上周跑步总距离为：
$7×1000 + 500 = 7500\,\mathrm{m}$
累计跑步时间为：
$7500÷250 = 30\,\mathrm{min}$
【答案】
(1) 小健同学跑步距离最多的一天比最少的一天多跑了300米；(2) 上周他累计用了30分钟跑步。
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加减混合运算、行程问题基本公式
【点评】
本题结合生活场景出题，解题核心是正确理解正负数的实际含义，掌握有理数加减运算规则，计算时注意符号避免出错，属于基础应用题，能较好考察学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 首先明确表格中正负数的含义：正数代表超过标准1000m的距离，负数代表不足1000m的距离。先从表格数据中找到最大值（对应跑步距离最多的一天的超出量）和最小值（对应跑步距离最少的一天的不足量），根据有理数减法法则计算两者的差，即可得到多跑的距离。
(2) 先将表格中7个正负数相加，算出上周跑步距离和标准总距离的总偏差；再计算7天的标准总距离，加上总偏差得到上周跑步的总路程；最后根据“时间=路程÷速度”的关系，用总路程除以平均速度，就能求出累计跑步的时间。
【解析】
(1) 观察表格可知，跑步距离最多的一天超出标准200m，跑步距离最少的一天比标准少100m，多跑的距离为：
$200 - (-100) = 200 + 100 = 300\,\mathrm{m}$
(2) 先计算上周跑步距离的总偏差：
$(+140)+(+120)+(-65)+(-100)+(+80)+(+125)+(+200)$
$=140+120-65-100+80+125+200$
$=500\,\mathrm{m}$
上周跑步总距离为：
$7×1000 + 500 = 7500\,\mathrm{m}$
累计跑步时间为：
$7500÷250 = 30\,\mathrm{min}$
【答案】
(1) 小健同学跑步距离最多的一天比最少的一天多跑了300米；(2) 上周他累计用了30分钟跑步。
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加减混合运算、行程问题基本公式
【点评】
本题结合生活场景出题，解题核心是正确理解正负数的实际含义，掌握有理数加减运算规则，计算时注意符号避免出错，属于基础应用题，能较好考察学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
14.(2026昆明西山区期中改编)先阅读下面的材料,再解答问题.
数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题.
数轴上,若A,B两点分别表示数$a,b$,那么A,B两点之间的距离与$a,b$两数的差有如下关系:
$AB=|a-b|$或$|b-a|$,如$|5-3|$表示5,3在数轴上对应的两点之间的距离.
(1)数轴上表示1和$-3$的两点之间的距离是;
(2)已知$|a+2|=4$,则$a=$;
(3)当$a$满足什么条件时,$|a+5|+|a-3|$的值最小?请求得最小值.
数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题.
数轴上,若A,B两点分别表示数$a,b$,那么A,B两点之间的距离与$a,b$两数的差有如下关系:
$AB=|a-b|$或$|b-a|$,如$|5-3|$表示5,3在数轴上对应的两点之间的距离.
(1)数轴上表示1和$-3$的两点之间的距离是;
(2)已知$|a+2|=4$,则$a=$;
(3)当$a$满足什么条件时,$|a+5|+|a-3|$的值最小?请求得最小值.
答案
解：
(1) 数轴上表示1和$-3$的两点之间的距离为$|1 - (-3)| = 4$。
答案：$4$
(2) $|a+2|=4$即$|a - (-2)|=4$，表示数轴上数$a$对应的点到数$-2$对应的点的距离为4，
所以$a = -2 + 4 = 2$或$a = -2 - 4 = -6$。
答案：$2$或$-6$
(3) $|a+5|$表示数轴上数$a$对应的点到数$-5$对应的点的距离，$|a-3|$表示数轴上数$a$对应的点到数$3$对应的点的距离，
因此$|a+5|+|a-3|$表示数轴上数$a$对应的点到$-5$和$3$两个点的距离之和。
当数$a$对应的点在$-5$和$3$之间（包含$-5$和$3$），即$-5 ≤ a ≤ 3$时，这个距离之和最小，
最小值为$3 - (-5) = 8$。
答：当$-5 ≤ a ≤ 3$时，$|a+5|+|a-3|$的值最小，最小值为8。
(1) 数轴上表示1和$-3$的两点之间的距离为$|1 - (-3)| = 4$。
答案：$4$
(2) $|a+2|=4$即$|a - (-2)|=4$，表示数轴上数$a$对应的点到数$-2$对应的点的距离为4，
所以$a = -2 + 4 = 2$或$a = -2 - 4 = -6$。
答案：$2$或$-6$
(3) $|a+5|$表示数轴上数$a$对应的点到数$-5$对应的点的距离，$|a-3|$表示数轴上数$a$对应的点到数$3$对应的点的距离，
因此$|a+5|+|a-3|$表示数轴上数$a$对应的点到$-5$和$3$两个点的距离之和。
当数$a$对应的点在$-5$和$3$之间（包含$-5$和$3$），即$-5 ≤ a ≤ 3$时，这个距离之和最小，
最小值为$3 - (-5) = 8$。
答：当$-5 ≤ a ≤ 3$时，$|a+5|+|a-3|$的值最小，最小值为8。
解析
【分析】
（1）根据材料给出的数轴两点距离公式$AB=|a-b|$，直接将两点对应的数1和$-3$代入计算即可；
（2）根据绝对值的代数意义，绝对值等于4的数有4和$-4$，因此$a+2=\pm4$，分别解两个一元一次方程即可得到a的取值；也可以结合绝对值的几何意义，即a到$-2$的距离为4，往$-2$的左右两侧找对应点得到结果；
（3）先明确两个绝对值的几何意义：$|a+5|$是a到$-5$的距离，$|a-3|$是a到3的距离，结合数轴分析可知，当a对应的点在$-5$和3之间（含端点）时，两个距离的和最小，最小值就是$-5$和3两点之间的距离。
【解析】
(1) 数轴上表示1和$-3$的两点之间的距离为$\vert1 - (-3)\vert = \vert1+3\vert=4$；
(2) 已知$\vert a+2\vert=4$，根据绝对值的意义可得：
$a+2=4$或$a+2=-4$，
当$a+2=4$时，解得$a=2$；
当$a+2=-4$时，解得$a=-6$；
(3) 由绝对值的几何意义可知：$\vert a+5\vert$表示数轴上数a对应的点到数$-5$对应的点的距离，$\vert a-3\vert$表示数轴上数a对应的点到数3对应的点的距离，因此$\vert a+5\vert + \vert a-3\vert$表示数a对应的点到$-5$、3两个点的距离之和。
结合数轴分析可得：当a对应的点位于$-5$和3之间（包含$-5$和3两个端点），即$-5≤ a≤3$时，这个距离之和最小，最小值就是$-5$和3两点之间的距离，即$3 - (-5)=8$。
【答案】
(1) $4$；(2) $2$或$-6$；(3) 当$-5≤ a≤3$时，$\vert a+5\vert + \vert a-3\vert$的值最小，最小值为$8$
【知识点】
数轴两点距离公式，绝对值的几何意义，绝对值方程求解
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，将代数中的绝对值问题转化为直观的数轴距离问题，比代数分类讨论的方法更简便高效，熟练掌握绝对值和数轴距离的对应关系是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）根据材料给出的数轴两点距离公式$AB=|a-b|$，直接将两点对应的数1和$-3$代入计算即可；
（2）根据绝对值的代数意义，绝对值等于4的数有4和$-4$，因此$a+2=\pm4$，分别解两个一元一次方程即可得到a的取值；也可以结合绝对值的几何意义，即a到$-2$的距离为4，往$-2$的左右两侧找对应点得到结果；
（3）先明确两个绝对值的几何意义：$|a+5|$是a到$-5$的距离，$|a-3|$是a到3的距离，结合数轴分析可知，当a对应的点在$-5$和3之间（含端点）时，两个距离的和最小，最小值就是$-5$和3两点之间的距离。
【解析】
(1) 数轴上表示1和$-3$的两点之间的距离为$\vert1 - (-3)\vert = \vert1+3\vert=4$；
(2) 已知$\vert a+2\vert=4$，根据绝对值的意义可得：
$a+2=4$或$a+2=-4$，
当$a+2=4$时，解得$a=2$；
当$a+2=-4$时，解得$a=-6$；
(3) 由绝对值的几何意义可知：$\vert a+5\vert$表示数轴上数a对应的点到数$-5$对应的点的距离，$\vert a-3\vert$表示数轴上数a对应的点到数3对应的点的距离，因此$\vert a+5\vert + \vert a-3\vert$表示数a对应的点到$-5$、3两个点的距离之和。
结合数轴分析可得：当a对应的点位于$-5$和3之间（包含$-5$和3两个端点），即$-5≤ a≤3$时，这个距离之和最小，最小值就是$-5$和3两点之间的距离，即$3 - (-5)=8$。
【答案】
(1) $4$；(2) $2$或$-6$；(3) 当$-5≤ a≤3$时，$\vert a+5\vert + \vert a-3\vert$的值最小，最小值为$8$
【知识点】
数轴两点距离公式，绝对值的几何意义，绝对值方程求解
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，将代数中的绝对值问题转化为直观的数轴距离问题，比代数分类讨论的方法更简便高效，熟练掌握绝对值和数轴距离的对应关系是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
