例1 如图，在某一时刻，阳光下身高1.2m的小明影长为2m，同时测得一棵大树的影长为10m，则这棵大树的高度是多少？

【思路导析】△ABC∽△A'B'C'，列比例式求解。
【请你解答】

解：由题意得，$AB⊥ BC$，$A'B'⊥ B'C'$，
$\therefore ∠ ABC=∠ A'B'C'=90°$，
又∵同一时刻的太阳光线互相平行，
$\therefore ∠ ACB=∠ A'C'B'$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$，
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$。
设这棵大树的高度为$x\ \mathrm{m}$，将$A'B'=1.2\ \mathrm{m}$，$B'C'=2\ \mathrm{m}$，$BC=10\ \mathrm{m}$代入比例式得：
$\frac{x}{1.2}=\frac{10}{2}$，
解得$x=6$。
答：这棵大树的高度是6m。

【分析】
这是相似三角形在实际测量物体高度中的典型应用题，解题思路可分为三步：首先，同一时刻太阳光线互相平行，且大树、小明均与地面垂直，因此△ABC和△A'B'C'都是直角三角形，且有一组锐角对应相等，可判定两个三角形相似；其次，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得大树高度与小明身高的比等于大树影长与小明影长的比；最后，设大树高度为未知数，代入已知数值列方程求解即可得到大树的高度。
【解析】
由题意得，$AB⊥ BC$，$A'B'⊥ B'C'$，
$\therefore ∠ ABC=∠ A'B'C'=90°$，
又
∵同一时刻的太阳光线互相平行，
$\therefore ∠ ACB=∠ A'C'B'$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$，
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$。
设这棵大树的高度为$x\ \mathrm{m}$，将$A'B'=1.2\ \mathrm{m}$，$B'C'=2\ \mathrm{m}$，$BC=10\ \mathrm{m}$代入比例式得：
$\frac{x}{1.2}=\frac{10}{2}$，
解得$x=6$。
答：这棵大树的高度是6m。
【答案】
6m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题属于基础的相似三角形实际应用题，核心是利用同一时刻太阳光平行的特点构造相似三角形，将实际问题转化为相似三角形的比例问题求解，解题时需注意找准相似三角形的对应边，避免列比例式时对应关系出错。
【难度系数】
0.8

例2 如图，测得$BD=120\ \mathrm{m}$，$DC=60\ \mathrm{m}$，$EC=50\ \mathrm{m}$，$B$，$D$，$C$在同一直线上，求河宽$AB$。
【思路导析】$△ ABD ∽ △ ECD$，列比例式求解。
【请你解答】

解：
∵ $AB⊥ BC$，$EC⊥ BC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，
又∵ $∠ ADB = ∠ EDC$，
∴ $△ ABD ∽ △ ECD$，
∴ $\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CD}$。
将$BD=120\ \mathrm{m}$，$DC=60\ \mathrm{m}$，$EC=50\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{AB}{50}=\frac{120}{60}$，
解得$AB=100\ \mathrm{m}$。
答：河宽$AB$为$100\ \mathrm{m}$。

【分析】
要计算无法直接测量的河宽AB，可通过构造相似三角形转化求解。首先观察图形，AB和EC均垂直于BC，可得两个直角相等，再结合对顶角相等，即可证明△ABD与△ECD相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长就能求出AB的长度。
【解析】
∵ $AB⊥ BC$，$EC⊥ BC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，
又
∵ $∠ ADB = ∠ EDC$（对顶角相等），
∴ $△ ABD ∽ △ ECD$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CD}$。
将$BD=120\ \mathrm{m}$，$DC=60\ \mathrm{m}$，$EC=50\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{AB}{50}=\frac{120}{60}$，
解得$AB=100\ \mathrm{m}$。
【答案】
河宽$AB$为$\boxed{100\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题的典型题目，解题关键是通过角的关系准确判定相似三角形，找准对应边列出比例式，将不可直接测量的长度转化为可测量线段的比例关系计算。
【难度系数】
0.8

例3 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，
两人准备用测量影子的方法测算其楼高,但恰逢阴天,于是两人商定改用下面的方法:如图,亮亮蹲在地上,颖颖站在亮亮和楼之间,两人适当调整自己的位置,当楼的顶部$M$、颖颖的头顶$B$及亮亮的眼睛$A$恰好在一条直线上时,两人分别标定自己的位置$C,D$.然后测出两人之间的距离$CD=1.25\ \mathrm{m}$,颖颖与楼之间的距离$DN=30\ \mathrm{m}$($C,D,N$在同一条直线上),颖颖的身高$BD=1.6\ \mathrm{m}$,亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离$AC=0.8\ \mathrm{m}$.你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗?
【探究点拨】过点$A$作$CN$的平行线构造相似三角形求解.
【规范解答】过点$A$作$AG// CN$,交$BD$于点$H$,交$MN$于点$G$,则$AG=CN=CD+DN=1.25+30=31.25$,$AH=CD=1.25$,$BH=BD-AC=1.6-0.8=0.8$.
∵ $BH// MG$,∴ $△ ABH∽△ AMG$.
∴ $\frac{AH}{AG}=\frac{BH}{MG}$, $MG=\frac{AG· BH}{AH}=\frac{31.25×0.8}{1.25}=20$.
∴ $MN=MG+GN=20+0.8=20.8$.
答:住宅楼的高度为$20.8\ \mathrm{m}$.

解：过点A作$AG// CN$，交$BD$于点$H$，交$MN$于点$G$。
由题意可得：
$AG=CN=CD+DN=1.25+30=31.25\ \mathrm{m}$，
$AH=CD=1.25\ \mathrm{m}$，
$BH=BD-AC=1.6-0.8=0.8\ \mathrm{m}$，
$GN=AC=0.8\ \mathrm{m}$。
$\because BH// MG$，
$\therefore △ ABH ∽ △ AMG$。
$\therefore \dfrac{AH}{AG}=\dfrac{BH}{MG}$，
则$MG=\dfrac{AG· BH}{AH}=\dfrac{31.25×0.8}{1.25}=20\ \mathrm{m}$。
$\therefore MN=MG+GN=20+0.8=20.8\ \mathrm{m}$。
答：住宅楼的高度为$20.8\ \mathrm{m}$。

【分析】
本题属于利用相似三角形测量高度的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造相似三角形，过点A作CN的平行线，分别交BD、MN于H、G，此时可得到矩形ACDH和ACGN，进而推导出各对应线段的长度：AH等于两人间距CD，AG等于亮亮到楼的水平距离CN，BH是颖颖身高与亮亮眼高的差值；再根据平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似，判定△ABH∽△AMG；利用相似三角形对应边成比例的性质列等式求出MG的长度，最后加上GN（即亮亮眼高AC）即可得到住宅楼的总高度。
【解析】
过点A作$AG// CN$，交$BD$于点$H$，交$MN$于点$G$。
由题意可得：
$AG=CN=CD+DN=1.25+30=31.25\ \mathrm{m}$，
$AH=CD=1.25\ \mathrm{m}$，
$BH=BD-AC=1.6-0.8=0.8\ \mathrm{m}$，
$GN=AC=0.8\ \mathrm{m}$。
$\because BH// MG$，
$\therefore △ ABH ∽ △ AMG$。
$\therefore \dfrac{AH}{AG}=\dfrac{BH}{MG}$，
则$MG=\dfrac{AG· BH}{AH}=\dfrac{31.25×0.8}{1.25}=20\ \mathrm{m}$。
$\therefore MN=MG+GN=20+0.8=20.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
$20.8\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题的核心是通过作平行线构造相似三角形，将实际测量问题转化为几何求解问题，解题时需注意找准相似三角形的对应边，避免长度对应错误。
【难度系数】
0.7

1.如图，小明打网球时，他击球的高度(DE)为2.4 m，为使球刚好能过网(网高BC为0.8 m)，且球落在对方区域离网5 m的位置处(AC=5 m)，则他应站在离网()(球的运动路线为直线)

A.15 m处
B.10 m处
C.8 m处
D.7.5 m处

B

【分析】
首先观察图形特征，网BC和击球高度DE都垂直于地面AE，因此BC平行于DE，可推出△ABC与△ADE相似。利用相似三角形对应边成比例的性质，建立关于离网距离x的方程，求解即可得到结果。解题核心是识别图中的相似三角形，找准对应边的数量关系，通过列方程求解未知量。
【解析】
∵ BC⊥AE，DE⊥AE
∴ ∠ACB = ∠AED = 90°
又
∵ ∠A是△ABC和△ADE的公共角
∴ △ABC ∽ △ADE（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$
设他应站在离网$x$ m处，即$CE=x$，则$AE = AC + CE = 5 + x$
代入已知数据$AC=5\mathrm{m}$，$BC=0.8\mathrm{m}$，$DE=2.4\mathrm{m}$，得：
$\frac{5}{5+x} = \frac{0.8}{2.4}$
化简右侧得$\frac{0.8}{2.4}=\frac{1}{3}$，交叉相乘得：
$5+x = 15$
解得$x=10$
即他应站在离网10m处。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的应用类题型，解题关键是结合题意识别相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，掌握相似三角形的相关性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7