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1. 下列各组的四条线段中，不能组成比例线段的是 （
A.$a=1,b=2,c=4,d=8$
B.$a=1,b=2,c=3,d=4$
C.$a=3,b=5,c=6,d=10$
D.$a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{2},d=2$
B
）A.$a=1,b=2,c=4,d=8$
B.$a=1,b=2,c=3,d=4$
C.$a=3,b=5,c=6,d=10$
D.$a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{2},d=2$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断四条线段是否为成比例线段，首先回忆成比例线段的判定方法：可先将四条线段按长度从小到大排序，再验证最长线段与最短线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积，若相等则为成比例线段，反之则不是。接下来我们逐个验证每个选项即可得出答案。
【解析】
判断成比例线段的常用方法：先将四条线段从小到大排列，若最长线段×最短线段 = 另外两条线段的乘积，则四条线段为成比例线段。
对各选项逐一分析：
A. 线段排序为1,2,4,8，计算得：$1×8=8$，$2×4=8$，乘积相等，是成比例线段，不符合题意；
B. 线段排序为1,2,3,4，计算得：$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，乘积不相等，不是成比例线段，符合题意；
C. 线段排序为3,5,6,10，计算得：$3×10=30$，$5×6=30$，乘积相等，是成比例线段，不符合题意；
D. 线段排序为$1,\sqrt{2},\sqrt{2},2$，计算得：$1×2=2$，$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，乘积相等，是成比例线段，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 成比例线段的判定
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查成比例线段的判断方法，掌握“排序后验证首尾乘积与中间两数乘积是否相等”的技巧，可快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断四条线段是否为成比例线段，首先回忆成比例线段的判定方法：可先将四条线段按长度从小到大排序，再验证最长线段与最短线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积，若相等则为成比例线段，反之则不是。接下来我们逐个验证每个选项即可得出答案。
【解析】
判断成比例线段的常用方法：先将四条线段从小到大排列，若最长线段×最短线段 = 另外两条线段的乘积，则四条线段为成比例线段。
对各选项逐一分析：
A. 线段排序为1,2,4,8，计算得：$1×8=8$，$2×4=8$，乘积相等，是成比例线段，不符合题意；
B. 线段排序为1,2,3,4，计算得：$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，乘积不相等，不是成比例线段，符合题意；
C. 线段排序为3,5,6,10，计算得：$3×10=30$，$5×6=30$，乘积相等，是成比例线段，不符合题意；
D. 线段排序为$1,\sqrt{2},\sqrt{2},2$，计算得：$1×2=2$，$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，乘积相等，是成比例线段，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 成比例线段的判定
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查成比例线段的判断方法，掌握“排序后验证首尾乘积与中间两数乘积是否相等”的技巧，可快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 如果$\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$，那么$\frac{a-b}{b}$的值为（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
B
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题已知a与b的比值，求含a、b的分式的值，可从两个角度思考解题：一是将所求分式拆分变形，转化为含$\frac{a}{b}$的式子，直接代入已知比值计算；二是利用设参数法，根据已知比例设a、b为含同一参数的代数式，再代入所求分式约分计算，两种方法均能快速得到结果。
【解析】
方法一：拆分分式法
对所求式变形可得：
$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{a}{b}-1$
已知$\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$，代入上式得：
$\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$
方法二：参数法
设$a=5k$，$b=2k$（$k≠0$），代入所求式：
$\frac{a-b}{b}=\frac{5k-2k}{2k}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，解题思路灵活，既可以通过变形所求式子直接代入已知条件求解，也可以通过设参数的方式简化计算，熟练掌握比例性质和分式运算法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题已知a与b的比值，求含a、b的分式的值，可从两个角度思考解题：一是将所求分式拆分变形，转化为含$\frac{a}{b}$的式子，直接代入已知比值计算；二是利用设参数法，根据已知比例设a、b为含同一参数的代数式，再代入所求分式约分计算，两种方法均能快速得到结果。
【解析】
方法一：拆分分式法
对所求式变形可得：
$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{a}{b}-1$
已知$\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$，代入上式得：
$\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$
方法二：参数法
设$a=5k$，$b=2k$（$k≠0$），代入所求式：
$\frac{a-b}{b}=\frac{5k-2k}{2k}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，解题思路灵活，既可以通过变形所求式子直接代入已知条件求解，也可以通过设参数的方式简化计算，熟练掌握比例性质和分式运算法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.已知线段c是线段a、b的比例中项，如果$a=2\ \mathrm{cm}$，$b=8\ \mathrm{cm}$，那么$c=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$
答案
3.4
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆比例中项的定义，若线段c是线段a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$；其次代入已知的a、b的长度计算$c^2$的值；最后注意线段的长度是正数，因此对$c^2$开平方时只取正的算术平方根，即可得到c的长度。
【解析】
解：
∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴根据比例中项的性质可得：$c^2 = ab$，
将$a=2\ \mathrm{cm}$，$b=8\ \mathrm{cm}$代入得：
$c^2 = 2 × 8 = 16$，
又
∵线段的长度为正数，
∴$c = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
1. 比例中项的概念
2. 算术平方根的应用
【点评】
本题考查比例中项的基础应用，解题时需注意线段长度的非负性，避免错误取负根，是对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆比例中项的定义，若线段c是线段a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$；其次代入已知的a、b的长度计算$c^2$的值；最后注意线段的长度是正数，因此对$c^2$开平方时只取正的算术平方根，即可得到c的长度。
【解析】
解：
∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴根据比例中项的性质可得：$c^2 = ab$，
将$a=2\ \mathrm{cm}$，$b=8\ \mathrm{cm}$代入得：
$c^2 = 2 × 8 = 16$，
又
∵线段的长度为正数，
∴$c = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
1. 比例中项的概念
2. 算术平方根的应用
【点评】
本题考查比例中项的基础应用，解题时需注意线段长度的非负性，避免错误取负根，是对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
4.如图,在线段AB上找到一个点C,且AC＜BC,满足AC：CB=CB：AB,若AB=6,则BC=
$3\sqrt{5}-3$
。答案
4.$3\sqrt{5}-3$
解析
【分析】
本题给出了线段间的比例关系，我们可以通过设未知数的方式建立方程求解。首先设BC的长度为x，结合AB=6可表示出AC的长度，再将各线段长度代入已知的比例式，利用比例的基本性质转化为一元二次方程，最后求解方程并结合线段长度为正、AC＜BC的条件筛选出符合要求的根即可。
【解析】
设$BC=x$，
∵点C在线段AB上，$AB=6$，
∴$AC=AB-BC=6-x$，
又
∵$AC:CB=CB:AB$，
∴$\frac{6-x}{x}=\frac{x}{6}$，
根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，可得：
$x^2=6(6-x)$，
整理得：$x^2+6x-36=0$，
用求根公式解该一元二次方程：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4×1×(-36)}}{2×1}=\frac{-6\pm\sqrt{180}}{2}=\frac{-6\pm6\sqrt{5}}{2}=-3\pm3\sqrt{5}$，
∵线段长度为正数，且$AC＜BC$，
∴$x=-3+3\sqrt{5}=3\sqrt{5}-3$（负根$-3-3\sqrt{5}$不符合题意舍去）。
【答案】
$3\sqrt{5}-3$
【知识点】
成比例线段；比例的基本性质；一元二次方程的应用
【点评】
本题是黄金分割相关的基础计算题，解题关键是根据比例关系正确建立方程，求解后要注意结合线段的实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
本题给出了线段间的比例关系，我们可以通过设未知数的方式建立方程求解。首先设BC的长度为x，结合AB=6可表示出AC的长度，再将各线段长度代入已知的比例式，利用比例的基本性质转化为一元二次方程，最后求解方程并结合线段长度为正、AC＜BC的条件筛选出符合要求的根即可。
【解析】
设$BC=x$，
∵点C在线段AB上，$AB=6$，
∴$AC=AB-BC=6-x$，
又
∵$AC:CB=CB:AB$，
∴$\frac{6-x}{x}=\frac{x}{6}$，
根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，可得：
$x^2=6(6-x)$，
整理得：$x^2+6x-36=0$，
用求根公式解该一元二次方程：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4×1×(-36)}}{2×1}=\frac{-6\pm\sqrt{180}}{2}=\frac{-6\pm6\sqrt{5}}{2}=-3\pm3\sqrt{5}$，
∵线段长度为正数，且$AC＜BC$，
∴$x=-3+3\sqrt{5}=3\sqrt{5}-3$（负根$-3-3\sqrt{5}$不符合题意舍去）。
【答案】
$3\sqrt{5}-3$
【知识点】
成比例线段；比例的基本性质；一元二次方程的应用
【点评】
本题是黄金分割相关的基础计算题，解题关键是根据比例关系正确建立方程，求解后要注意结合线段的实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
5.若三条线段a、b、c的长满足$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则将这三条线段首尾顺次相连（
A.能围成锐角三角形
B.能围成直角三角形
C.能围成钝角三角形
D.不能围成三角形
D
）A.能围成锐角三角形
B.能围成直角三角形
C.能围成钝角三角形
D.不能围成三角形
答案
5.D
解析
【分析】要判断三条线段能否围成三角形，核心依据是三角形三边关系：较短两边之和大于最长边。本题已知三条线段的比例关系，我们可以先通过比例性质将a、c都用含b的式子表示，确定三条边的大小关系找到最长边，再计算较短两边的和与最长边比较大小即可得出结论。
【解析】设$ k=\frac{\sqrt{5}-1}{2} $，由题意得$\frac{a}{b}=k$，$\frac{b}{c}=k$，
则$ a = kb $，$ c = \frac{b}{k} $。
由$ k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618＜1 $，可得$ a ＜ b ＜ c $，即c为最长边。
计算较短两边之和$ a+b = kb + b = b(k+1) $，
将$ k=\frac{\sqrt{5}-1}{2} $代入得：
$ k+1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1=\frac{\sqrt{5}+1}{2} $，
对$\frac{1}{k}$分母有理化可得：
$ \frac{1}{k}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2} $，
因此$ k+1=\frac{1}{k} $，即$ a+b = b×\frac{1}{k}=c $。
因为两边之和等于第三边，不符合三角形三边关系，所以这三条线段不能围成三角形。
【答案】D
【知识点】比例的性质，三角形三边关系
【点评】本题将比例线段与三角形三边关系结合考查，解题时先通过比例关系统一三条边的表示形式，再通过代数化简验证三边大小关系，避免了近似计算的误差，是比例性质的基础应用题型。
【难度系数】0.6
【解析】设$ k=\frac{\sqrt{5}-1}{2} $，由题意得$\frac{a}{b}=k$，$\frac{b}{c}=k$，
则$ a = kb $，$ c = \frac{b}{k} $。
由$ k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618＜1 $，可得$ a ＜ b ＜ c $，即c为最长边。
计算较短两边之和$ a+b = kb + b = b(k+1) $，
将$ k=\frac{\sqrt{5}-1}{2} $代入得：
$ k+1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1=\frac{\sqrt{5}+1}{2} $，
对$\frac{1}{k}$分母有理化可得：
$ \frac{1}{k}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2} $，
因此$ k+1=\frac{1}{k} $，即$ a+b = b×\frac{1}{k}=c $。
因为两边之和等于第三边，不符合三角形三边关系，所以这三条线段不能围成三角形。
【答案】D
【知识点】比例的性质，三角形三边关系
【点评】本题将比例线段与三角形三边关系结合考查，解题时先通过比例关系统一三条边的表示形式，再通过代数化简验证三边大小关系，避免了近似计算的误差，是比例性质的基础应用题型。
【难度系数】0.6
6 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$D$为$AC$边上的黄金分割点，$AD＞CD$，$E$为$AB$边上一点，$DE⊥ AC$，连接$BD$，记$△ ADE$、$△ BCD$的面积分别为$S_1$、$S_2$，则 （
A.$S_1＞S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1=S_2$
D.无法比较
C
）A.$S_1＞S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1=S_2$
D.无法比较
答案
6.C 解析:
∵D为AC边上的黄金分割点,AD＞CD,
∴$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC$,
∴$CD=AC-AD=AC-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AC$.
∵$∠ACB=90°,AC=BC$,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴$∠A=45°$.
∵$DE⊥AC,∴∠ADE=90°$,
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴$ED=AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC$.
∵$S_1=\frac{1}{2}AD·ED=\frac{1}{2}AD^2=\frac{1}{2}×(\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC)^2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}AC^2,S_2=\frac{1}{2}CD·BC=\frac{1}{2}×\frac{3-\sqrt{5}}{2}AC ·AC=\frac{3-\sqrt{5}}{4}AC^2,∴S_1=S_2$.
∵D为AC边上的黄金分割点,AD＞CD,
∴$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC$,
∴$CD=AC-AD=AC-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AC$.
∵$∠ACB=90°,AC=BC$,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴$∠A=45°$.
∵$DE⊥AC,∴∠ADE=90°$,
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴$ED=AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC$.
∵$S_1=\frac{1}{2}AD·ED=\frac{1}{2}AD^2=\frac{1}{2}×(\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC)^2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}AC^2,S_2=\frac{1}{2}CD·BC=\frac{1}{2}×\frac{3-\sqrt{5}}{2}AC ·AC=\frac{3-\sqrt{5}}{4}AC^2,∴S_1=S_2$.
解析
【分析】
解题时首先利用黄金分割的定义得到AD与AC的数量关系，进而求出CD与AC的关系；再结合△ABC是等腰直角三角形、DE⊥AC的条件，可判定△ADE也是等腰直角三角形，得到ED=AD；最后分别将$S_1$、$S_2$用AC表示出来，计算后比较两者的大小即可得出结论。
【解析】
∵D为AC边上的黄金分割点，$AD＞CD$，
∴$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC$，
∴$CD=AC-AD=AC-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AC$。
∵$∠ACB=90°$，$AC=BC$，
∴△ABC是等腰直角三角形，$∠A=45°$。
∵$DE⊥AC$，
∴$∠ADE=90°$，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴$ED=AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC$。
分别计算两个三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}AD·ED=\frac{1}{2}AD^2=\frac{1}{2}×(\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC)^2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}AC^2$，
$S_2=\frac{1}{2}CD·BC=\frac{1}{2}×\frac{3-\sqrt{5}}{2}AC ·AC=\frac{3-\sqrt{5}}{4}AC^2$，
∴$S_1=S_2$。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是将两个三角形的面积用同一公共量AC表示，通过代数运算比较大小，既考查了几何性质的应用，也锻炼了代数式运算的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用黄金分割的定义得到AD与AC的数量关系，进而求出CD与AC的关系；再结合△ABC是等腰直角三角形、DE⊥AC的条件，可判定△ADE也是等腰直角三角形，得到ED=AD；最后分别将$S_1$、$S_2$用AC表示出来，计算后比较两者的大小即可得出结论。
【解析】
∵D为AC边上的黄金分割点，$AD＞CD$，
∴$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC$，
∴$CD=AC-AD=AC-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AC$。
∵$∠ACB=90°$，$AC=BC$，
∴△ABC是等腰直角三角形，$∠A=45°$。
∵$DE⊥AC$，
∴$∠ADE=90°$，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴$ED=AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC$。
分别计算两个三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}AD·ED=\frac{1}{2}AD^2=\frac{1}{2}×(\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC)^2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}AC^2$，
$S_2=\frac{1}{2}CD·BC=\frac{1}{2}×\frac{3-\sqrt{5}}{2}AC ·AC=\frac{3-\sqrt{5}}{4}AC^2$，
∴$S_1=S_2$。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是将两个三角形的面积用同一公共量AC表示，通过代数运算比较大小，既考查了几何性质的应用，也锻炼了代数式运算的能力。
【难度系数】
0.7
7. 已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$，则$\frac{x^2 - y^2}{y^2 + z^2}$的值为
$-\frac{1}{5}$
。答案
7.$-\frac{1}{5}$
解析
【分析】
遇到连等的比例式，常用“设参数法”求解，即设比例的比值为常数k，就可以用含k的代数式分别表示出x、y、z，再将其代入待求的分式中，化简后k会被约去，即可得到最终结果。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k(k≠0)$，则：
$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$
将上述表达式代入$\frac{x^2 - y^2}{y^2 + z^2}$计算：
分子：$x^2 - y^2=(2k)^2 - (3k)^2=4k^2 - 9k^2=-5k^2$
分母：$y^2 + z^2=(3k)^2 + (4k)^2=9k^2 + 16k^2=25k^2$
因此原式$=\frac{-5k^2}{25k^2}=-\frac{1}{5}$（$k≠0$，可约去）
【答案】
$-\frac{1}{5}$
【知识点】
比例的性质，代数式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，设参数法是解决连比类问题的常用技巧，解题时注意平方运算的符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式，常用“设参数法”求解，即设比例的比值为常数k，就可以用含k的代数式分别表示出x、y、z，再将其代入待求的分式中，化简后k会被约去，即可得到最终结果。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k(k≠0)$，则：
$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$
将上述表达式代入$\frac{x^2 - y^2}{y^2 + z^2}$计算：
分子：$x^2 - y^2=(2k)^2 - (3k)^2=4k^2 - 9k^2=-5k^2$
分母：$y^2 + z^2=(3k)^2 + (4k)^2=9k^2 + 16k^2=25k^2$
因此原式$=\frac{-5k^2}{25k^2}=-\frac{1}{5}$（$k≠0$，可约去）
【答案】
$-\frac{1}{5}$
【知识点】
比例的性质，代数式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，设参数法是解决连比类问题的常用技巧，解题时注意平方运算的符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
8.如图，线段AB的长为1，在线段AB上取点$P_1$满足关系式$AP_1^2 = BP_1 · AB$，则线段$AP_1$的长度为
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
；在线段$AP_1$上取点$P_2$满足关系式$AP_2^2 = P_1P_2 · AP_1$，在线段$AP_2$上的点$P_3$满足关系式$AP_3^2 = P_2P_3 · AP_2$，依此类推，$AP_n$的长度为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$
。答案
8.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ $(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$
解析
【分析】
解题时先处理第一空：设$AP_1$的长度为$x$，结合$AB=1$可表示出$BP_1$的长度，再代入题中等量关系列一元二次方程，求解后取正根即可得到$AP_1$的长度。再处理第二空：观察后续取点的等量关系，发现和第一问的结构完全一致，每一个$AP_k$的长度都是前一个$AP_{k-1}$长度乘以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，属于等比规律，依次类推即可得到$AP_n$的表达式。
【解析】
1. 求$AP_1$的长度：
设$AP_1=x$，已知$AB=1$，则$BP_1=AB-AP_1=1-x$。
根据题意$AP_1^2 = BP_1 · AB$，代入得：
$x^2 = 1×(1-x)$，整理得$x^2 + x -1 = 0$。
解该一元二次方程：$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 + 4×1×1}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
因为线段长度为正数，故舍去负根，得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$AP_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
2. 求$AP_n$的长度：
同理，对$P_2$，满足$AP_2^2 = P_1P_2 · AP_1$，和第一问结构一致，可得$AP_2 = AP_1 · \frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$；
对$P_3$，可得$AP_3 = AP_2 · \frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3$；
依此类推，可得$AP_n=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$
【知识点】
黄金分割；一元二次方程应用；规律探究
【点评】
本题以线段上的分点为载体，既考察了利用方程思想求解线段长度的能力，又需要学生通过类比归纳得到通用规律，熟练掌握黄金分割的性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
解题时先处理第一空：设$AP_1$的长度为$x$，结合$AB=1$可表示出$BP_1$的长度，再代入题中等量关系列一元二次方程，求解后取正根即可得到$AP_1$的长度。再处理第二空：观察后续取点的等量关系，发现和第一问的结构完全一致，每一个$AP_k$的长度都是前一个$AP_{k-1}$长度乘以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，属于等比规律，依次类推即可得到$AP_n$的表达式。
【解析】
1. 求$AP_1$的长度：
设$AP_1=x$，已知$AB=1$，则$BP_1=AB-AP_1=1-x$。
根据题意$AP_1^2 = BP_1 · AB$，代入得：
$x^2 = 1×(1-x)$，整理得$x^2 + x -1 = 0$。
解该一元二次方程：$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 + 4×1×1}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
因为线段长度为正数，故舍去负根，得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$AP_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
2. 求$AP_n$的长度：
同理，对$P_2$，满足$AP_2^2 = P_1P_2 · AP_1$，和第一问结构一致，可得$AP_2 = AP_1 · \frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$；
对$P_3$，可得$AP_3 = AP_2 · \frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3$；
依此类推，可得$AP_n=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$
【知识点】
黄金分割；一元二次方程应用；规律探究
【点评】
本题以线段上的分点为载体，既考察了利用方程思想求解线段长度的能力，又需要学生通过类比归纳得到通用规律，熟练掌握黄金分割的性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
