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1. 下列命题中，是假命题的是().
A.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B.经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C.经过圆心且垂直于圆的切线的直线必经过切点
D.经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过圆心
A.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B.经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C.经过圆心且垂直于圆的切线的直线必经过切点
D.经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过圆心
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要熟练掌握圆的切线的判定定理和相关性质，明确切线判定的两个必备条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径，两个条件缺一不可。接下来我们逐一验证每个选项是否符合定理内容，不符合的就是假命题。
【解析】
首先回忆相关定理：
1. 圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
2. 圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
对各选项逐一分析：
A选项：半径的端点包括圆心端和外端，如果直线经过的是半径在圆心一侧的端点，即使垂直于这条半径，也不是圆的切线，该选项缺少“经过半径外端”的前提条件，是假命题；
B选项：直径的两个端点都是半径的外端，经过直径端点且垂直于直径的直线，完全符合切线的判定定理，是真命题；
C选项：根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此过圆心且垂直于切线的直线，就是过切点的半径所在的直线，必然经过切点，是真命题；
D选项：同理，过切点且垂直于切线的直线就是过切点的半径所在的直线，必然经过圆心，是真命题。
【答案】
A
【知识点】
圆的切线的判定；圆的切线的性质
【点评】
本题主要考查对圆的切线相关概念的理解，易错点是容易忽略切线判定定理中“经过半径外端”的前提条件，只有同时满足两个判定条件的直线才是圆的切线，学习相关定理时要记全核心要素。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要熟练掌握圆的切线的判定定理和相关性质，明确切线判定的两个必备条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径，两个条件缺一不可。接下来我们逐一验证每个选项是否符合定理内容，不符合的就是假命题。
【解析】
首先回忆相关定理：
1. 圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
2. 圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
对各选项逐一分析：
A选项：半径的端点包括圆心端和外端，如果直线经过的是半径在圆心一侧的端点，即使垂直于这条半径，也不是圆的切线，该选项缺少“经过半径外端”的前提条件，是假命题；
B选项：直径的两个端点都是半径的外端，经过直径端点且垂直于直径的直线，完全符合切线的判定定理，是真命题；
C选项：根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此过圆心且垂直于切线的直线，就是过切点的半径所在的直线，必然经过切点，是真命题；
D选项：同理，过切点且垂直于切线的直线就是过切点的半径所在的直线，必然经过圆心，是真命题。
【答案】
A
【知识点】
圆的切线的判定；圆的切线的性质
【点评】
本题主要考查对圆的切线相关概念的理解，易错点是容易忽略切线判定定理中“经过半径外端”的前提条件，只有同时满足两个判定条件的直线才是圆的切线，学习相关定理时要记全核心要素。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$\odot O$的半径为5，直线$l$经过$\odot O$上一点$P$，点$E$，$F$都在直线$l$上，下列条件能判定直线$l$与$\odot O$相切的是().
A.$OP=5$
B.$OE=OF$
C.点$O$到直线$l$的距离是4
D.$OP ⊥$直线$l$
A.$OP=5$
B.$OE=OF$
C.点$O$到直线$l$的距离是4
D.$OP ⊥$直线$l$
答案
D
解析
【分析】
要判断直线l是否为⊙O的切线，首先回忆切线的判定方法：1. 若圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切；2. 切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知P是⊙O上的点，因此OP就是⊙O的半径，P为半径的外端，此时只需验证OP是否垂直直线l，或圆心O到l的距离是否等于半径5即可。接下来逐个分析选项：
选项A：OP本身就是半径，长度恒为5，和直线l的倾斜角度无关，不能说明l与圆相切；
选项B：OE=OF只能说明O在EF的垂直平分线上，无法推出OP与l垂直，也不能证明O到l的距离等于半径；
选项C：O到l的距离是4，小于半径5，此时直线与圆相交，不符合相切要求；
选项D：OP是半径，且OP⊥l，完全满足切线判定定理的条件，可判定l是⊙O的切线。
【解析】
已知⊙O半径为5，点P在⊙O上，因此OP是⊙O的半径，长度为5。
对各选项逐一判断：
A. OP=5是半径的固有属性，无法说明直线l与OP的位置关系，不能判定l与⊙O相切，不符合要求；
B. OE=OF仅能说明点O在线段EF的垂直平分线上，无法推出OP⊥直线l，不能判定相切，不符合要求；
C. 点O到直线l的距离为4，4＜5，即圆心到直线的距离小于半径，此时直线l与⊙O相交，不是相切，不符合要求；
D. 因为OP是⊙O的半径，且OP⊥直线l，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线，可判定直线l与⊙O相切，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是切线判定的基础题，解题关键是明确切线判定的两个必要条件：直线经过半径外端、直线与该半径垂直，二者需同时满足，结合已知条件逐一排查选项即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断直线l是否为⊙O的切线，首先回忆切线的判定方法：1. 若圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切；2. 切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知P是⊙O上的点，因此OP就是⊙O的半径，P为半径的外端，此时只需验证OP是否垂直直线l，或圆心O到l的距离是否等于半径5即可。接下来逐个分析选项：
选项A：OP本身就是半径，长度恒为5，和直线l的倾斜角度无关，不能说明l与圆相切；
选项B：OE=OF只能说明O在EF的垂直平分线上，无法推出OP与l垂直，也不能证明O到l的距离等于半径；
选项C：O到l的距离是4，小于半径5，此时直线与圆相交，不符合相切要求；
选项D：OP是半径，且OP⊥l，完全满足切线判定定理的条件，可判定l是⊙O的切线。
【解析】
已知⊙O半径为5，点P在⊙O上，因此OP是⊙O的半径，长度为5。
对各选项逐一判断：
A. OP=5是半径的固有属性，无法说明直线l与OP的位置关系，不能判定l与⊙O相切，不符合要求；
B. OE=OF仅能说明点O在线段EF的垂直平分线上，无法推出OP⊥直线l，不能判定相切，不符合要求；
C. 点O到直线l的距离为4，4＜5，即圆心到直线的距离小于半径，此时直线l与⊙O相交，不是相切，不符合要求；
D. 因为OP是⊙O的半径，且OP⊥直线l，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线，可判定直线l与⊙O相切，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是切线判定的基础题，解题关键是明确切线判定的两个必要条件：直线经过半径外端、直线与该半径垂直，二者需同时满足，结合已知条件逐一排查选项即可得出结论。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot O$的半径为1,则直线$y=-2x+\sqrt{5}$与$\odot O$的位置关系是().
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，可通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系判定：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题中⊙O是圆心在原点(0,0)、半径r=1的单位圆，只需先将直线解析式转化为一般式，再用点到直线的距离公式算出原点到直线的距离，最后和半径r=1比较即可得出结论。
【解析】
解：由图可知，⊙O的圆心为坐标原点(0,0)，半径$r=1$。
将直线$y=-2x+\sqrt{5}$整理为一般式：$2x + y - \sqrt{5}=0$。
根据点到直线的距离公式，原点(0,0)到直线$2x + y - \sqrt{5}=0$的距离为：
$d=\frac{|2×0 + 1×0 - \sqrt{5}|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$
可得$d=r=1$，因此直线与⊙O的位置关系是相切。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点到直线的距离计算；一次式变形
【点评】
本题是直线与圆位置关系的常规基础题，核心考查用“距离比较法”判定直线和圆的位置关系，解题时要注意准确转化直线的一般式，正确代入距离公式计算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要判断直线与圆的位置关系，可通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系判定：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题中⊙O是圆心在原点(0,0)、半径r=1的单位圆，只需先将直线解析式转化为一般式，再用点到直线的距离公式算出原点到直线的距离，最后和半径r=1比较即可得出结论。
【解析】
解：由图可知，⊙O的圆心为坐标原点(0,0)，半径$r=1$。
将直线$y=-2x+\sqrt{5}$整理为一般式：$2x + y - \sqrt{5}=0$。
根据点到直线的距离公式，原点(0,0)到直线$2x + y - \sqrt{5}=0$的距离为：
$d=\frac{|2×0 + 1×0 - \sqrt{5}|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$
可得$d=r=1$，因此直线与⊙O的位置关系是相切。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点到直线的距离计算；一次式变形
【点评】
本题是直线与圆位置关系的常规基础题，核心考查用“距离比较法”判定直线和圆的位置关系，解题时要注意准确转化直线的一般式，正确代入距离公式计算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$\odot O$中,过直径AB延长线上的点C作$\odot O$的一条切线,切点为D.若$AC=7$,$AB=4$,则$\sin C$的值为.
答案
$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先考虑切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此我们连接OD构造直角三角形ODC。要求$\sin C$的值，根据锐角正弦的定义，在直角三角形中是角的对边与斜边的比值，所以只需分别求出$∠ C$的对边OD和斜边OC的长度，代入计算即可。
【解析】
解：连接$OD$。
$\because CD$是$\odot O$的切线，切点为$D$，
$\therefore OD⊥ CD$，即$∠ ODC=90°$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$AB=4$，
$\therefore \odot O$的半径$OD=OA=\frac{1}{2}AB=2$。
$\because AC=7$，
$\therefore OC=AC-OA=7-2=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ODC$中，
$\sin C=\frac{OD}{OC}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
切线的性质，锐角三角函数的定义，圆的基本性质
【点评】
本题是基础的圆与三角函数结合的题目，解题的核心是通过连接过切点的半径构造直角三角形，将所求三角函数值转化为直角三角形边长的比值，难度较低。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题，首先考虑切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此我们连接OD构造直角三角形ODC。要求$\sin C$的值，根据锐角正弦的定义，在直角三角形中是角的对边与斜边的比值，所以只需分别求出$∠ C$的对边OD和斜边OC的长度，代入计算即可。
【解析】
解：连接$OD$。
$\because CD$是$\odot O$的切线，切点为$D$，
$\therefore OD⊥ CD$，即$∠ ODC=90°$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$AB=4$，
$\therefore \odot O$的半径$OD=OA=\frac{1}{2}AB=2$。
$\because AC=7$，
$\therefore OC=AC-OA=7-2=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ODC$中，
$\sin C=\frac{OD}{OC}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
切线的性质，锐角三角函数的定义，圆的基本性质
【点评】
本题是基础的圆与三角函数结合的题目，解题的核心是通过连接过切点的半径构造直角三角形，将所求三角函数值转化为直角三角形边长的比值，难度较低。
【难度系数】
0.7
5. 如图，点A，B，D都在$\odot O$上，$∠ A = 25°$，OD的延长线交直线BC于点C，且$∠ OCB = 40°$，直线BC与$\odot O$的位置关系为。
答案
相切
解析
【分析】
要判断直线BC与$\odot O$的位置关系，已知点B在$\odot O$上，因此只需验证半径OB与直线BC是否垂直，若垂直则BC与$\odot O$相切。首先根据圆周角定理，求出弧BD所对的圆心角$∠ BOD$的度数，再在$△ OBC$中利用三角形内角和计算$∠ OBC$的度数，即可判定OB与BC的位置关系，最终得出直线BC与$\odot O$的位置关系。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
∵ $∠ A$是弧BD所对的圆周角，$∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，$∠ A=25°$
∴ $∠ BOD=2∠ A=2×25°=50°$
在$△ OBC$中，已知$∠ OCB=40°$，$∠ BOC=∠ BOD=50°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OBC=180°-∠ BOC-∠ OCB=180°-50°-40°=90°$
∴ $OB⊥ BC$
又
∵ OB是$\odot O$的半径
∴ 直线BC与$\odot O$相切。
【答案】
相切
【知识点】
圆周角定理；三角形内角和；切线的判定
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和切线的判定条件，通过角度计算证明半径与直线垂直即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断直线BC与$\odot O$的位置关系，已知点B在$\odot O$上，因此只需验证半径OB与直线BC是否垂直，若垂直则BC与$\odot O$相切。首先根据圆周角定理，求出弧BD所对的圆心角$∠ BOD$的度数，再在$△ OBC$中利用三角形内角和计算$∠ OBC$的度数，即可判定OB与BC的位置关系，最终得出直线BC与$\odot O$的位置关系。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
∵ $∠ A$是弧BD所对的圆周角，$∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，$∠ A=25°$
∴ $∠ BOD=2∠ A=2×25°=50°$
在$△ OBC$中，已知$∠ OCB=40°$，$∠ BOC=∠ BOD=50°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OBC=180°-∠ BOC-∠ OCB=180°-50°-40°=90°$
∴ $OB⊥ BC$
又
∵ OB是$\odot O$的半径
∴ 直线BC与$\odot O$相切。
【答案】
相切
【知识点】
圆周角定理；三角形内角和；切线的判定
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和切线的判定条件，通过角度计算证明半径与直线垂直即可得出结论。
【难度系数】
0.8
6. 如图，线段OA交$\odot O$于点B，且$OB=AB$，P是$\odot O$上的一个动点，那么$∠ OAP$的最大值是。
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
要求∠OAP的最大值，首先判断角取最大值的情况：当AP与⊙O相切时，∠OAP取得最大值，若AP与圆有两个交点，对应的∠OAP会更小。此时利用切线的性质得到直角三角形，再结合已知的边的倍数关系，即可求出角度。
【解析】
当AP与$\odot O$相切于点P时，$∠ OAP$最大，根据切线的性质可得$OP⊥ AP$，即$∠ OPA=90°$。
∵$OP$和$OB$都是$\odot O$的半径，
∴$OP=OB$。
又
∵$OB=AB$，
∴$OA=OB+AB=2OB=2OP$。
在$Rt△ OPA$中，$OP=\frac{1}{2}OA$，根据直角三角形的性质：直角边等于斜边的一半时，该直角边所对的锐角为$30°$，可得$∠ OAP=30°$。
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
切线的性质、直角三角形的性质、圆的基本性质
【点评】
本题的核心是确定$∠ OAP$取最大值的临界状态（AP与圆相切），再结合直角三角形的边角关系求解，能够锻炼学生对几何临界情况的分析能力。
【难度系数】
0.7
要求∠OAP的最大值，首先判断角取最大值的情况：当AP与⊙O相切时，∠OAP取得最大值，若AP与圆有两个交点，对应的∠OAP会更小。此时利用切线的性质得到直角三角形，再结合已知的边的倍数关系，即可求出角度。
【解析】
当AP与$\odot O$相切于点P时，$∠ OAP$最大，根据切线的性质可得$OP⊥ AP$，即$∠ OPA=90°$。
∵$OP$和$OB$都是$\odot O$的半径，
∴$OP=OB$。
又
∵$OB=AB$，
∴$OA=OB+AB=2OB=2OP$。
在$Rt△ OPA$中，$OP=\frac{1}{2}OA$，根据直角三角形的性质：直角边等于斜边的一半时，该直角边所对的锐角为$30°$，可得$∠ OAP=30°$。
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
切线的性质、直角三角形的性质、圆的基本性质
【点评】
本题的核心是确定$∠ OAP$取最大值的临界状态（AP与圆相切），再结合直角三角形的边角关系求解，能够锻炼学生对几何临界情况的分析能力。
【难度系数】
0.7
