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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$\sin B=\frac{3}{5}$，则$AB$的值为().
A.8
B.9
C.10
D.12
A.8
B.9
C.10
D.12
答案
C
解析
【分析】
本题是直角三角形中利用锐角三角函数求边长的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角正弦函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值；然后确定Rt△ABC中∠B的对边和斜边，将已知的sinB和AC的长度代入定义式，即可求出AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦函数的定义可知：
$\sin B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$
已知$AC=6$，$\sin B=\frac{3}{5}$，代入得：
$\frac{3}{5} = \frac{6}{AB}$
解得：$AB = \frac{6×5}{3} = 10$
【答案】
C
【知识点】
1. 正弦函数的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角正弦函数定义的理解与应用，解题关键是准确区分直角三角形中对应角的对边、邻边和斜边，是锐角三角函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中利用锐角三角函数求边长的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角正弦函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值；然后确定Rt△ABC中∠B的对边和斜边，将已知的sinB和AC的长度代入定义式，即可求出AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦函数的定义可知：
$\sin B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$
已知$AC=6$，$\sin B=\frac{3}{5}$，代入得：
$\frac{3}{5} = \frac{6}{AB}$
解得：$AB = \frac{6×5}{3} = 10$
【答案】
C
【知识点】
1. 正弦函数的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角正弦函数定义的理解与应用，解题关键是准确区分直角三角形中对应角的对边、邻边和斜边，是锐角三角函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
2. $△ ABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，则$\sin B$的值为().
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
C
解析
【分析】
首先观察△ABC的三边长，3、4、5是常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，确定直角的位置；再根据锐角正弦的定义，找到∠B的对边和斜边，代入比值计算即可得到结果。
【解析】
解：已知在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5
先验证三边关系：
∵ $AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$BC^2 = 5^2 = 25$
∴ $AB^2 + AC^2 = BC^2$
由勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ A = 90°$
根据锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值
对于$∠ B$，其对边为AC，斜边为BC
∴ $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$
故选C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，正弦的定义
【点评】
本题是基础类题型，解题的前提是先通过三边关系判断出三角形为直角三角形，核心是掌握锐角正弦对应的边的比值关系，解题时注意不要混淆角对应的对边、邻边即可。
【难度系数】
0.8
首先观察△ABC的三边长，3、4、5是常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，确定直角的位置；再根据锐角正弦的定义，找到∠B的对边和斜边，代入比值计算即可得到结果。
【解析】
解：已知在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5
先验证三边关系：
∵ $AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$BC^2 = 5^2 = 25$
∴ $AB^2 + AC^2 = BC^2$
由勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ A = 90°$
根据锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值
对于$∠ B$，其对边为AC，斜边为BC
∴ $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$
故选C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，正弦的定义
【点评】
本题是基础类题型，解题的前提是先通过三边关系判断出三角形为直角三角形，核心是掌握锐角正弦对应的边的比值关系，解题时注意不要混淆角对应的对边、邻边即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图，将$∠ AOB$放在正方形网格中，则$\cos∠ AOB$的值为().
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
要求∠AOB的余弦值，首先回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦是该角的邻边与所在直角三角形斜边的比值，因此我们需要将∠AOB放到直角三角形中计算。我们可以设每个小正方形边长为1，过点B作OA的垂线构造直角三角形，再分别计算∠AOB的邻边和斜边的长度，代入定义即可求出余弦值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点B作BC⊥OA，垂足为C。
由网格可得：$OC=2$，$BC=4$。
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
根据锐角余弦的定义：
$\cos∠ AOB=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OC}{OB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，锐角余弦的定义
【点评】
本题是网格背景下求锐角三角函数值的基础题，解题核心是构造直角三角形，结合勾股定理求出相关线段长度，再代入三角函数定义计算，熟练掌握基础定义就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要求∠AOB的余弦值，首先回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦是该角的邻边与所在直角三角形斜边的比值，因此我们需要将∠AOB放到直角三角形中计算。我们可以设每个小正方形边长为1，过点B作OA的垂线构造直角三角形，再分别计算∠AOB的邻边和斜边的长度，代入定义即可求出余弦值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点B作BC⊥OA，垂足为C。
由网格可得：$OC=2$，$BC=4$。
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
根据锐角余弦的定义：
$\cos∠ AOB=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OC}{OB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，锐角余弦的定义
【点评】
本题是网格背景下求锐角三角函数值的基础题，解题核心是构造直角三角形，结合勾股定理求出相关线段长度，再代入三角函数定义计算，熟练掌握基础定义就能快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图,已知:直线$l_1 // l_2 // l_3 // l_4$,相邻两条平行直线间的距离都是2 cm.如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,且边长为$2\sqrt{5}$,则$\sinα =$ , $\cosα =$ , $\tanα =$. 
答案
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要求角α的三角函数值，需先构造以α为锐角的直角三角形，结合已知条件求解：1. 过点D作l₁的垂线，垂足为H，得到Rt△AHD，α为该直角三角形的锐角；2. 根据平行线间距离的性质，得到直角边DH=2cm，正方形边长AD=2√5cm即直角三角形的斜边；3. 利用勾股定理算出另一条直角边AH的长度；4. 结合锐角三角函数的定义，分别计算sinα、cosα、tanα的值。
【解析】
过点D作$DH ⊥ l_1$，垂足为H，因此$∠ AHD = 90°$。
$\because l_1 // l_2$，相邻两条平行直线间的距离为2cm，且点D在$l_2$上，$\therefore DH=2\mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{5}\mathrm{cm}$，$\therefore AD=2\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AHD$中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AD^2 - DH^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2}=\sqrt{20 - 4}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sinα = \dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \dfrac{DH}{AD} = \dfrac{2}{2\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$；
$\cosα = \dfrac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \dfrac{AH}{AD} = \dfrac{4}{2\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；
$\tanα = \dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \dfrac{DH}{AH} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理；平行线间的距离
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题关键是构造包含所求角的直角三角形，结合平行线间距离的性质和勾股定理得到直角三角形各边长度，属于常规题型，掌握锐角三角函数的定义是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要求角α的三角函数值，需先构造以α为锐角的直角三角形，结合已知条件求解：1. 过点D作l₁的垂线，垂足为H，得到Rt△AHD，α为该直角三角形的锐角；2. 根据平行线间距离的性质，得到直角边DH=2cm，正方形边长AD=2√5cm即直角三角形的斜边；3. 利用勾股定理算出另一条直角边AH的长度；4. 结合锐角三角函数的定义，分别计算sinα、cosα、tanα的值。
【解析】
过点D作$DH ⊥ l_1$，垂足为H，因此$∠ AHD = 90°$。
$\because l_1 // l_2$，相邻两条平行直线间的距离为2cm，且点D在$l_2$上，$\therefore DH=2\mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{5}\mathrm{cm}$，$\therefore AD=2\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AHD$中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AD^2 - DH^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2}=\sqrt{20 - 4}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sinα = \dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \dfrac{DH}{AD} = \dfrac{2}{2\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$；
$\cosα = \dfrac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \dfrac{AH}{AD} = \dfrac{4}{2\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；
$\tanα = \dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \dfrac{DH}{AH} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理；平行线间的距离
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题关键是构造包含所求角的直角三角形，结合平行线间距离的性质和勾股定理得到直角三角形各边长度，属于常规题型，掌握锐角三角函数的定义是解题的核心。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点。若EF=2，BC=5，CD=3，则cos C = 。
A F D
A F D
答案
$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：E、F是AB、AD的中点，首先联想到三角形中位线定理，因此先连接辅助线BD，先求出BD的长度。得到BD长度后，查看△BCD的三边长度，通过勾股定理逆定理判断△BCD是直角三角形，最后根据锐角三角函数中余弦的定义计算cosC即可。
【解析】
1. 连接BD
∵ E、F分别是AB、AD的中点
∴ EF是△ABD的中位线
根据三角形中位线定理可得：$BD=2EF=2×2=4$
2. 在△BCD中，已知$CD=3$，$BD=4$，$BC=5$
计算得：$CD^2+BD^2=3^2+4^2=9+16=25$，$BC^2=5^2=25$
∴ $CD^2+BD^2=BC^2$，根据勾股定理逆定理可知△BCD是直角三角形，且$∠ BDC=90°$
3. 根据余弦的定义，在$Rt△ BCD$中：
$\cos C=\frac{∠ C的邻边}{斜边}=\frac{CD}{BC}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是通过连接辅助线BD，将分散的已知条件整合到同一个三角形中，再结合相关定理求解，对辅助线构造能力有基础要求。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：E、F是AB、AD的中点，首先联想到三角形中位线定理，因此先连接辅助线BD，先求出BD的长度。得到BD长度后，查看△BCD的三边长度，通过勾股定理逆定理判断△BCD是直角三角形，最后根据锐角三角函数中余弦的定义计算cosC即可。
【解析】
1. 连接BD
∵ E、F分别是AB、AD的中点
∴ EF是△ABD的中位线
根据三角形中位线定理可得：$BD=2EF=2×2=4$
2. 在△BCD中，已知$CD=3$，$BD=4$，$BC=5$
计算得：$CD^2+BD^2=3^2+4^2=9+16=25$，$BC^2=5^2=25$
∴ $CD^2+BD^2=BC^2$，根据勾股定理逆定理可知△BCD是直角三角形，且$∠ BDC=90°$
3. 根据余弦的定义，在$Rt△ BCD$中：
$\cos C=\frac{∠ C的邻边}{斜边}=\frac{CD}{BC}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是通过连接辅助线BD，将分散的已知条件整合到同一个三角形中，再结合相关定理求解，对辅助线构造能力有基础要求。
【难度系数】
0.7
6. 一等腰三角形的两边长分别为6 cm和8 cm，则其底角的余弦值为。
答案
解：分两种情况计算：
① 当腰长为6 cm，底边长为8 cm时，
作底边的高，根据等腰三角形三线合一的性质，底边被高平分，得底边的一半长为$\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$。
根据锐角三角函数的定义，底角的余弦值$=\frac{\mathrm{底边的一半}}{\mathrm{腰长}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
② 当腰长为8 cm，底边长为6 cm时，
同理可得底边的一半长为$\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}$，
底角的余弦值$=\frac{\mathrm{底边的一半}}{\mathrm{腰长}}=\frac{3}{8}$。
综上，该等腰三角形底角的余弦值为$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{8}$。
① 当腰长为6 cm，底边长为8 cm时，
作底边的高，根据等腰三角形三线合一的性质，底边被高平分，得底边的一半长为$\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$。
根据锐角三角函数的定义，底角的余弦值$=\frac{\mathrm{底边的一半}}{\mathrm{腰长}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
② 当腰长为8 cm，底边长为6 cm时，
同理可得底边的一半长为$\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}$，
底角的余弦值$=\frac{\mathrm{底边的一半}}{\mathrm{腰长}}=\frac{3}{8}$。
综上，该等腰三角形底角的余弦值为$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{8}$。
解析
【分析】
题目给出等腰三角形的两边长，但未明确哪条是腰、哪条是底边，因此需要分两种情况讨论：①腰长为6cm，底边长为8cm；②腰长为8cm，底边长为6cm。首先验证两种情况是否满足三角形三边关系（本题两种情况均满足），再利用等腰三角形“三线合一”的性质，作底边上的高将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，底角为直角三角形的一个锐角，根据余弦的定义（锐角的余弦=邻边÷斜边），代入对应边长计算即可得到结果。
【解析】
本题分两种情况计算：
① 当腰长为6 cm，底边长为8 cm时：
作底边的高，根据等腰三角形三线合一的性质，高平分底边，得底边的一半长为$\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$。
根据锐角三角函数的定义，底角的余弦值$=\frac{\mathrm{底边的一半}}{\mathrm{腰长}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
② 当腰长为8 cm，底边长为6 cm时：
同理可得底边的一半长为$\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}$，
底角的余弦值$=\frac{\mathrm{底边的一半}}{\mathrm{腰长}}=\frac{3}{8}$。
两种情况均符合三角形三边关系，均有效。
【答案】
$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{8}$
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形未明确腰和底边时需分类讨论，解题时首先要对边长的身份进行分类，同时注意验证三边能否构成三角形，再结合基础性质和三角函数定义计算即可，主要考查学生思维的严谨性和知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
题目给出等腰三角形的两边长，但未明确哪条是腰、哪条是底边，因此需要分两种情况讨论：①腰长为6cm，底边长为8cm；②腰长为8cm，底边长为6cm。首先验证两种情况是否满足三角形三边关系（本题两种情况均满足），再利用等腰三角形“三线合一”的性质，作底边上的高将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，底角为直角三角形的一个锐角，根据余弦的定义（锐角的余弦=邻边÷斜边），代入对应边长计算即可得到结果。
【解析】
本题分两种情况计算：
① 当腰长为6 cm，底边长为8 cm时：
作底边的高，根据等腰三角形三线合一的性质，高平分底边，得底边的一半长为$\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$。
根据锐角三角函数的定义，底角的余弦值$=\frac{\mathrm{底边的一半}}{\mathrm{腰长}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
② 当腰长为8 cm，底边长为6 cm时：
同理可得底边的一半长为$\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}$，
底角的余弦值$=\frac{\mathrm{底边的一半}}{\mathrm{腰长}}=\frac{3}{8}$。
两种情况均符合三角形三边关系，均有效。
【答案】
$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{8}$
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形未明确腰和底边时需分类讨论，解题时首先要对边长的身份进行分类，同时注意验证三边能否构成三角形，再结合基础性质和三角函数定义计算即可，主要考查学生思维的严谨性和知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 在锐角$△ ABC$中，$AB=13$，$BC=14$，$S_{△ ABC}=84$，求：
（1）$\tan C$的值；（2）$\sin A$的值。
7. 在锐角$△ ABC$中，$AB=13$，$BC=14$，$S_{△ ABC}=84$，求：
（1）$\tan C$的值；（2）$\sin A$的值。
答案
解：
(1) 过点A作$AD⊥ BC$于点D，
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=84$，$BC=14$，
∴ $\frac{1}{2}×14× AD=84$，解得 $AD=12$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=13$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
∴ $CD=BC-BD=14-5=9$。
在$Rt△ ADC$中，
$\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$。
(2) 在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$。
过点B作$BE⊥ AC$于点E，
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BE=84$，
∴ $\frac{1}{2}×15× BE=84$，解得 $BE=\frac{56}{5}$。
在$Rt△ ABE$中，
$\sin A=\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{56}{5}}{13}=\frac{56}{65}$。
综上，(1) $\tan C=\frac{4}{3}$；(2) $\sin A=\frac{56}{65}$。
(1) 过点A作$AD⊥ BC$于点D，
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=84$，$BC=14$，
∴ $\frac{1}{2}×14× AD=84$，解得 $AD=12$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=13$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
∴ $CD=BC-BD=14-5=9$。
在$Rt△ ADC$中，
$\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$。
(2) 在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$。
过点B作$BE⊥ AC$于点E，
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BE=84$，
∴ $\frac{1}{2}×15× BE=84$，解得 $BE=\frac{56}{5}$。
在$Rt△ ABE$中，
$\sin A=\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{56}{5}}{13}=\frac{56}{65}$。
综上，(1) $\tan C=\frac{4}{3}$；(2) $\sin A=\frac{56}{65}$。
解析
【分析】
本题要求锐角的三角函数值，而锐角三角函数是在直角三角形中定义的，因此解题核心是通过作辅助线构造包含所求角的直角三角形：
1. 求解$\tan C$时，过点A作BC边上的高AD，先利用三角形面积公式求出高AD的长度，再在$Rt△ABD$中用勾股定理算出BD，进而得到CD的长度，最后根据正切的定义计算$\tan C$即可；
2. 求解$\sin A$时，先在$Rt△ADC$中用勾股定理求出AC的长度，再过点B作AC边上的高BE，再次利用三角形面积公式求出BE的长度，最后根据正弦的定义计算$\sin A$即可。
【解析】
(1) 过点A作$AD⊥ BC$于点D，
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=84$，$BC=14$，
∴ $\frac{1}{2}×14× AD=84$，解得 $AD=12$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=13$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
∴ $CD=BC-BD=14-5=9$。
在$Rt△ ADC$中，根据正切的定义：
$\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$。
(2) 在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$。
过点B作$BE⊥ AC$于点E，
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BE=84$，
∴ $\frac{1}{2}×15× BE=84$，解得 $BE=\frac{56}{5}$。
在$Rt△ ABE$中，根据正弦的定义：
$\sin A=\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{56}{5}}{13}=\frac{56}{65}$。
【答案】
(1) $\tan C=\frac{4}{3}$；(2) $\sin A=\frac{56}{65}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理；三角形面积公式
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题型，解题的关键是合理作高将所求锐角置于直角三角形中，结合面积公式、勾股定理求出直角三角形的对应边长，再代入三角函数定义计算即可，解题时要注意辅助线的正确构造和计算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题要求锐角的三角函数值，而锐角三角函数是在直角三角形中定义的，因此解题核心是通过作辅助线构造包含所求角的直角三角形：
1. 求解$\tan C$时，过点A作BC边上的高AD，先利用三角形面积公式求出高AD的长度，再在$Rt△ABD$中用勾股定理算出BD，进而得到CD的长度，最后根据正切的定义计算$\tan C$即可；
2. 求解$\sin A$时，先在$Rt△ADC$中用勾股定理求出AC的长度，再过点B作AC边上的高BE，再次利用三角形面积公式求出BE的长度，最后根据正弦的定义计算$\sin A$即可。
【解析】
(1) 过点A作$AD⊥ BC$于点D，
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=84$，$BC=14$，
∴ $\frac{1}{2}×14× AD=84$，解得 $AD=12$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=13$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
∴ $CD=BC-BD=14-5=9$。
在$Rt△ ADC$中，根据正切的定义：
$\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$。
(2) 在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$。
过点B作$BE⊥ AC$于点E，
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BE=84$，
∴ $\frac{1}{2}×15× BE=84$，解得 $BE=\frac{56}{5}$。
在$Rt△ ABE$中，根据正弦的定义：
$\sin A=\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{56}{5}}{13}=\frac{56}{65}$。
【答案】
(1) $\tan C=\frac{4}{3}$；(2) $\sin A=\frac{56}{65}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理；三角形面积公式
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题型，解题的关键是合理作高将所求锐角置于直角三角形中，结合面积公式、勾股定理求出直角三角形的对应边长，再代入三角函数定义计算即可，解题时要注意辅助线的正确构造和计算的准确性。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是边$BC$上的高，$AE$是边$BC$上的中线，$∠ C=45°$，$\sin B=\frac{1}{3}$，$AD=1$.求：
（1）$BC$的长；
（2）$\tan∠ DAE$的值.
（1）$BC$的长；
（2）$\tan∠ DAE$的值.
答案
解：
(1) ∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$AD=1$，
∴ $AB=3$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。
在Rt△ADC中，$∠ C=45°$，
∴ △ADC为等腰直角三角形，
∴ $DC=AD=1$，
∴ $BC=BD+DC=2\sqrt{2}+1$。
(2) ∵ AE是边BC上的中线，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$，
∴ $ED=EC-DC=\frac{2\sqrt{2}+1}{2}-1=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
在Rt△ADE中，$∠ ADE=90°$，
∴ $\tan∠ DAE=\frac{ED}{AD}=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
答：(1) $BC$的长为$2\sqrt{2}+1$；(2) $\tan∠ DAE$的值为$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
(1) ∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$AD=1$，
∴ $AB=3$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。
在Rt△ADC中，$∠ C=45°$，
∴ △ADC为等腰直角三角形，
∴ $DC=AD=1$，
∴ $BC=BD+DC=2\sqrt{2}+1$。
(2) ∵ AE是边BC上的中线，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$，
∴ $ED=EC-DC=\frac{2\sqrt{2}+1}{2}-1=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
在Rt△ADE中，$∠ ADE=90°$，
∴ $\tan∠ DAE=\frac{ED}{AD}=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
答：(1) $BC$的长为$2\sqrt{2}+1$；(2) $\tan∠ DAE$的值为$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
解析
【分析】
这道题可拆分问题逐步求解：
1. 求BC的长：观察图形可得BC=BD+DC，AD是BC边上的高，因此△ABD和△ADC均为直角三角形。先在Rt△ABD中，利用正弦的定义求出AB的长度，再通过勾股定理算出BD的长；接着在Rt△ADC中，结合∠C=45°的特点得到DC=AD，最后将BD和DC相加即可得到BC的长度。
2. 求$\tan∠DAE$的值：正切值为直角三角形中对应角的对边与邻边的比值，$∠DAE$在Rt△ADE中，对边是ED，邻边AD=1，因此只需算出ED的长度即可。AE是BC边上的中线，先根据中线的性质求出EC的长，再用EC减去DC得到ED，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
(1)
∵ AD是边BC上的高，
∴ $∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$AD=1$，
∴ $AB=3$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=45°$，
∴ $△ ADC$为等腰直角三角形，
∴ $DC=AD=1$，
∴ $BC=BD+DC=2\sqrt{2}+1$。
(2)
∵ AE是边BC上的中线，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$，
∴ $ED=EC-DC=\frac{2\sqrt{2}+1}{2}-1=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=90°$，
∴ $\tan∠ DAE=\frac{ED}{AD}=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$2\sqrt{2}+1$；
(2) $\tan∠DAE$的值为$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，三角形中线性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础综合题，结合了三角形高、中线的性质，解题核心是将待求的线段、角度放到直角三角形中，结合三角函数与几何图形性质逐步推导计算，是锐角三角函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
这道题可拆分问题逐步求解：
1. 求BC的长：观察图形可得BC=BD+DC，AD是BC边上的高，因此△ABD和△ADC均为直角三角形。先在Rt△ABD中，利用正弦的定义求出AB的长度，再通过勾股定理算出BD的长；接着在Rt△ADC中，结合∠C=45°的特点得到DC=AD，最后将BD和DC相加即可得到BC的长度。
2. 求$\tan∠DAE$的值：正切值为直角三角形中对应角的对边与邻边的比值，$∠DAE$在Rt△ADE中，对边是ED，邻边AD=1，因此只需算出ED的长度即可。AE是BC边上的中线，先根据中线的性质求出EC的长，再用EC减去DC得到ED，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
(1)
∵ AD是边BC上的高，
∴ $∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$AD=1$，
∴ $AB=3$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=45°$，
∴ $△ ADC$为等腰直角三角形，
∴ $DC=AD=1$，
∴ $BC=BD+DC=2\sqrt{2}+1$。
(2)
∵ AE是边BC上的中线，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$，
∴ $ED=EC-DC=\frac{2\sqrt{2}+1}{2}-1=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=90°$，
∴ $\tan∠ DAE=\frac{ED}{AD}=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$2\sqrt{2}+1$；
(2) $\tan∠DAE$的值为$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$。
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，三角形中线性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础综合题，结合了三角形高、中线的性质，解题核心是将待求的线段、角度放到直角三角形中，结合三角函数与几何图形性质逐步推导计算，是锐角三角函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
