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1.计算$(a^2b)^3 · \frac{b^2}{a}$的结果是(
A.$a^5b^5$
B.$a^4b^5$
C.$ab^5$
D.$a^5b^6$
A
).A.$a^5b^5$
B.$a^4b^5$
C.$ab^5$
D.$a^5b^6$
答案
1.A
解析
【分析】
本题属于整式与分式的混合运算题，解题思路分为两步：第一步先利用积的乘方、幂的乘方法则计算整式的乘方部分，第二步将得到的结果与后面的分式相乘，结合同底数幂的乘除运算法则约分即可得到最终结果。运算时要注意幂的指数变化规则，避免指数计算错误。
【解析】
第一步：计算乘方部分，根据积的乘方法则$(xy)^n=x^n y^n$和幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$：
$(a^2b)^3=(a^2)^3 · b^3 = a^{2×3}b^3=a^6b^3$
第二步：计算分式乘法，将上式代入原式，根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减的规则运算：
原式$=a^6b^3 · \frac{b^2}{a} = \frac{a^6 · b^{3+2}}{a} = a^{6-1}b^5 = a^5b^5$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算；分式乘法运算；幂的运算法则
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考察幂的运算规则与分式乘法的结合，熟练掌握各运算法则，运算时细心核对指数即可得分。
【难度系数】
0.85
本题属于整式与分式的混合运算题，解题思路分为两步：第一步先利用积的乘方、幂的乘方法则计算整式的乘方部分，第二步将得到的结果与后面的分式相乘，结合同底数幂的乘除运算法则约分即可得到最终结果。运算时要注意幂的指数变化规则，避免指数计算错误。
【解析】
第一步：计算乘方部分，根据积的乘方法则$(xy)^n=x^n y^n$和幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$：
$(a^2b)^3=(a^2)^3 · b^3 = a^{2×3}b^3=a^6b^3$
第二步：计算分式乘法，将上式代入原式，根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减的规则运算：
原式$=a^6b^3 · \frac{b^2}{a} = \frac{a^6 · b^{3+2}}{a} = a^{6-1}b^5 = a^5b^5$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算；分式乘法运算；幂的运算法则
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考察幂的运算规则与分式乘法的结合，熟练掌握各运算法则，运算时细心核对指数即可得分。
【难度系数】
0.85
2.计算$(\dfrac{3m}{-2n})^2 · (\dfrac{2n}{3m})^3$的结果是(
A.$\dfrac{n}{3m}$
B.$-\dfrac{n}{3m}$
C.$\dfrac{2n}{3m}$
D.$-\dfrac{2n}{3m}$
C
).A.$\dfrac{n}{3m}$
B.$-\dfrac{n}{3m}$
C.$\dfrac{2n}{3m}$
D.$-\dfrac{2n}{3m}$
答案
2.C
解析
【分析】
这是分式乘方与乘法的混合运算题，解题遵循先乘方、再乘法的运算顺序即可。首先计算分式乘方时，要将分子、分母分别乘方，注意偶数次幂可消去负号，避免符号出错；再计算分式乘法时，把分子相乘的积作为积的分子、分母相乘的积作为积的分母，最后通过约分得到最简结果。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$(\dfrac{3m}{-2n})^2 = \dfrac{(3m)^2}{(-2n)^2} = \dfrac{9m^2}{4n^2}$
$(\dfrac{2n}{3m})^3 = \dfrac{(2n)^3}{(3m)^3} = \dfrac{8n^3}{27m^3}$
再计算乘法运算：
原式$=\dfrac{9m^2}{4n^2} · \dfrac{8n^3}{27m^3} = \dfrac{9m^2 × 8n^3}{4n^2 × 27m^3}$
对分子分母约分：9和27约分为1和3，8和4约分为2和1，$m^2$和$m^3$约分为1和$m$，$n^3$和$n^2$约分为$n$和1，
化简得：$\dfrac{1 × 2n}{1 × 3m} = \dfrac{2n}{3m}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘方运算，分式乘法运算，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是牢记运算顺序，计算乘方时注意符号的处理，约分时要准确识别分子分母的公因式，避免漏约、错约的失误。
【难度系数】
0.8
这是分式乘方与乘法的混合运算题，解题遵循先乘方、再乘法的运算顺序即可。首先计算分式乘方时，要将分子、分母分别乘方，注意偶数次幂可消去负号，避免符号出错；再计算分式乘法时，把分子相乘的积作为积的分子、分母相乘的积作为积的分母，最后通过约分得到最简结果。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$(\dfrac{3m}{-2n})^2 = \dfrac{(3m)^2}{(-2n)^2} = \dfrac{9m^2}{4n^2}$
$(\dfrac{2n}{3m})^3 = \dfrac{(2n)^3}{(3m)^3} = \dfrac{8n^3}{27m^3}$
再计算乘法运算：
原式$=\dfrac{9m^2}{4n^2} · \dfrac{8n^3}{27m^3} = \dfrac{9m^2 × 8n^3}{4n^2 × 27m^3}$
对分子分母约分：9和27约分为1和3，8和4约分为2和1，$m^2$和$m^3$约分为1和$m$，$n^3$和$n^2$约分为$n$和1，
化简得：$\dfrac{1 × 2n}{1 × 3m} = \dfrac{2n}{3m}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘方运算，分式乘法运算，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是牢记运算顺序，计算乘方时注意符号的处理，约分时要准确识别分子分母的公因式，避免漏约、错约的失误。
【难度系数】
0.8
3.计算$\frac{m^2 -6m +9}{m^2 -4} · \frac{m-2}{3 -m}$的结果是(
A.$\frac{3 -m}{m +2}$
B.$\frac{3 -m}{m -2}$
C.$\frac{3 +m}{m -2}$
D.$\frac{-3 +m}{m -2}$
A
).A.$\frac{3 -m}{m +2}$
B.$\frac{3 -m}{m -2}$
C.$\frac{3 +m}{m -2}$
D.$\frac{-3 +m}{m -2}$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道分式乘法运算题，解题思路分三步：第一步，先对两个分式中能因式分解的分子、分母分别因式分解；第二步，观察到分子分母中存在互为相反数的因式，先统一形式处理好符号；第三步，按照分式乘法法则，约掉分子分母的公因式，得到最简结果后匹配选项即可。
【解析】
解：先对各部分因式分解：
$m^2-6m+9=(m-3)^2$，$m^2-4=(m+2)(m-2)$，且$3-m=-(m-3)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(m-3)^2}{(m+2)(m-2)} · \frac{m-2}{3-m}\\&=\frac{(m-3)^2}{(m+2)(m-2)} · \frac{m-2}{-(m-3)}\\&=\frac{\cancel{(m-3)}^2 · \cancel{(m-2)}}{(m+2) · \cancel{(m-2)} · (-\cancel{(m-3)})}\\&=\frac{m-3}{-(m+2)}\\&=\frac{3-m}{m+2}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式乘法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘法的基础题型，解题核心是正确对分子分母因式分解，重点注意互为相反数的因式的符号处理，避免约分过程中忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道分式乘法运算题，解题思路分三步：第一步，先对两个分式中能因式分解的分子、分母分别因式分解；第二步，观察到分子分母中存在互为相反数的因式，先统一形式处理好符号；第三步，按照分式乘法法则，约掉分子分母的公因式，得到最简结果后匹配选项即可。
【解析】
解：先对各部分因式分解：
$m^2-6m+9=(m-3)^2$，$m^2-4=(m+2)(m-2)$，且$3-m=-(m-3)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(m-3)^2}{(m+2)(m-2)} · \frac{m-2}{3-m}\\&=\frac{(m-3)^2}{(m+2)(m-2)} · \frac{m-2}{-(m-3)}\\&=\frac{\cancel{(m-3)}^2 · \cancel{(m-2)}}{(m+2) · \cancel{(m-2)} · (-\cancel{(m-3)})}\\&=\frac{m-3}{-(m+2)}\\&=\frac{3-m}{m+2}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式乘法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘法的基础题型，解题核心是正确对分子分母因式分解，重点注意互为相反数的因式的符号处理，避免约分过程中忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.8
4.若三个分式$\frac{x^4 -16}{x^2 +4}$，$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x^2 +2x +4)}$，$\frac{x^2 +2x +4}{x^2 -4x +4}$的积为2025，则$x$的值为(
A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
B
).A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
答案
4.B
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先化简三个分式的乘积，再列方程求解x。首先需要明确分式有意义的条件，排除使分母为0的x值；接着对每个分式的分子、分母因式分解，再将三个分式相乘，约去分子分母的公因式得到最简结果；最后令最简结果等于2025，解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
首先确定分式有意义的条件：各分式分母不为0，可得$x≠2$。
1. 对第一个分式因式分解并化简：
$\frac{x^4 -16}{x^2 +4} = \frac{(x^2+4)(x^2-4)}{x^2+4} = x^2-4 = (x+2)(x-2)$
2. 对第二个分式化简（$x≠2$）：
$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x^2 +2x +4)} = \frac{x-2}{x^2+2x+4}$
3. 对第三个分式分母因式分解：
$\frac{x^2 +2x +4}{x^2 -4x +4} = \frac{x^2+2x+4}{(x-2)^2}$
4. 计算三个分式的乘积：
$\frac{x^4 -16}{x^2 +4} × \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x^2 +2x +4)} × \frac{x^2 +2x +4}{x^2 -4x +4}$
$=(x+2)(x-2) × \frac{x-2}{x^2+2x+4} × \frac{x^2+2x+4}{(x-2)^2}$
约去分子分母的公因式$(x-2)^2$和$x^2+2x+4$后，化简得乘积为$x+2$。
根据题意乘积为2025，列方程：
$x+2=2025$
解得$x=2023$，符合$x≠2$的条件。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和分式乘法的约分规则，注意计算前先确定分式有意义的取值范围，避免出现无意义的情况，化简后即可快速求解方程得到答案。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是先化简三个分式的乘积，再列方程求解x。首先需要明确分式有意义的条件，排除使分母为0的x值；接着对每个分式的分子、分母因式分解，再将三个分式相乘，约去分子分母的公因式得到最简结果；最后令最简结果等于2025，解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
首先确定分式有意义的条件：各分式分母不为0，可得$x≠2$。
1. 对第一个分式因式分解并化简：
$\frac{x^4 -16}{x^2 +4} = \frac{(x^2+4)(x^2-4)}{x^2+4} = x^2-4 = (x+2)(x-2)$
2. 对第二个分式化简（$x≠2$）：
$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x^2 +2x +4)} = \frac{x-2}{x^2+2x+4}$
3. 对第三个分式分母因式分解：
$\frac{x^2 +2x +4}{x^2 -4x +4} = \frac{x^2+2x+4}{(x-2)^2}$
4. 计算三个分式的乘积：
$\frac{x^4 -16}{x^2 +4} × \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x^2 +2x +4)} × \frac{x^2 +2x +4}{x^2 -4x +4}$
$=(x+2)(x-2) × \frac{x-2}{x^2+2x+4} × \frac{x^2+2x+4}{(x-2)^2}$
约去分子分母的公因式$(x-2)^2$和$x^2+2x+4$后，化简得乘积为$x+2$。
根据题意乘积为2025，列方程：
$x+2=2025$
解得$x=2023$，符合$x≠2$的条件。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和分式乘法的约分规则，注意计算前先确定分式有意义的取值范围，避免出现无意义的情况，化简后即可快速求解方程得到答案。
【难度系数】
0.7
5. 下列计算正确的是(
A.$( \dfrac{x^2}{2y} )^3 = \dfrac{x^6}{2y^3}$
B.$( \dfrac{2a}{a+b} )^2 = \dfrac{4a^2}{a^2 + b^2}$
C.$( \dfrac{m+n}{m-n} )^3 = \dfrac{(m+n)^3}{(m-n)^3}$
D.$( \dfrac{x-y}{x+y} )^2 = \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$
C
).A.$( \dfrac{x^2}{2y} )^3 = \dfrac{x^6}{2y^3}$
B.$( \dfrac{2a}{a+b} )^2 = \dfrac{4a^2}{a^2 + b^2}$
C.$( \dfrac{m+n}{m-n} )^3 = \dfrac{(m+n)^3}{(m-n)^3}$
D.$( \dfrac{x-y}{x+y} )^2 = \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$
答案
5.C
解析
【分析】
本题考查分式乘方的运算，解题思路如下：首先回忆分式乘方的运算法则：分式乘方时，需将分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的乘方、完全平方公式等知识，逐一验证每个选项的计算是否正确，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
根据分式乘方法则：$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（$n$为正整数，$B≠0$），逐项分析：
选项A：$(\frac{x^2}{2y})^3=\frac{(x^2)^3}{(2y)^3}=\frac{x^6}{8y^3}≠\frac{x^6}{2y^3}$，计算错误；
选项B：$(\frac{2a}{a+b})^2=\frac{(2a)^2}{(a+b)^2}=\frac{4a^2}{a^2+2ab+b^2}≠\frac{4a^2}{a^2+b^2}$，计算错误；
选项C：$(\frac{m+n}{m-n})^3=\frac{(m+n)^3}{(m-n)^3}$，符合分式乘方法则，计算正确；
选项D：$(\frac{x-y}{x+y})^2=\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2}=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}≠\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$，计算错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘方、完全平方公式、幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点为计算时分母的系数漏乘方、展开完全平方时漏掉交叉项，解题时严格按照运算法则逐项核验即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题考查分式乘方的运算，解题思路如下：首先回忆分式乘方的运算法则：分式乘方时，需将分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的乘方、完全平方公式等知识，逐一验证每个选项的计算是否正确，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
根据分式乘方法则：$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（$n$为正整数，$B≠0$），逐项分析：
选项A：$(\frac{x^2}{2y})^3=\frac{(x^2)^3}{(2y)^3}=\frac{x^6}{8y^3}≠\frac{x^6}{2y^3}$，计算错误；
选项B：$(\frac{2a}{a+b})^2=\frac{(2a)^2}{(a+b)^2}=\frac{4a^2}{a^2+2ab+b^2}≠\frac{4a^2}{a^2+b^2}$，计算错误；
选项C：$(\frac{m+n}{m-n})^3=\frac{(m+n)^3}{(m-n)^3}$，符合分式乘方法则，计算正确；
选项D：$(\frac{x-y}{x+y})^2=\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2}=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}≠\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$，计算错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘方、完全平方公式、幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点为计算时分母的系数漏乘方、展开完全平方时漏掉交叉项，解题时严格按照运算法则逐项核验即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
