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1. 情境 中华优秀传统文化「2025江苏徐州中考」“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案. 图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈，图2为另一件连弧纹镜(残件)的示意图.
(1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“
(2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”.(保留作图痕迹，不写作法)
(1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“
七
连弧纹镜”.(2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”.(保留作图痕迹，不写作法)
答案
1.解析
(1)七.
(2)如图所示,先确定两个同心圆的圆心,补全两个同心圆,再依次找到等弧的圆心即可.
解析
【分析】
(1) 要确定连弧纹镜的连弧数量，首先明确连弧纹的核心特点：所有连弧为等弧，对应的圆心角相等，整个圆周角度为360°。观察残件可知，现有4个完整的等弧，对应残件部分的圆心角约占整个圆周的$\frac{4}{7}$，因此可推算总连弧数为7。
(2) 补全残缺弧的思路：首先补全内外两个同心圆，已知的两段圆弧属于同心圆，因此可通过作圆弧上弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为同心圆的圆心，再以该点为圆心补全两个同心圆；其次连弧为等弧，需将圆周按现有连弧对应的圆心角7等分，得到所有连弧的端点，最后以各端点为圆心、以现有连弧的半径为半径依次画弧即可完成补全。
【解析】
(1) 已知连弧纹的所有弧为等弧，每个弧对应的圆心角相等。观察残件可见4个完整的等弧，对应部分的圆心角占整个圆周的$\frac{4}{7}$，因此总连弧数为$4÷\frac{4}{7}=7$，故该铜镜为七连弧纹镜。
(2) 作图流程：①在两段已知的同心圆弧上分别取两条不同的弦，作各弦的垂直平分线，垂直平分线的交点即为同心圆的圆心；②以该圆心为中心，分别以外弧、内弧的半径为半径作圆，补全两个同心圆；③根据现有连弧端点的间隔，将圆周7等分，得到所有连弧的端点；④以各等分点为圆心，以现有连弧的半径为半径依次作弧，即可补全所有残缺的弧，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 七
(2)
【知识点】
圆的基本性质，尺规作图，等分圆周
【点评】
本题以中华传统文物连弧纹镜为背景，考查圆的性质与尺规作图的实际应用，既渗透了传统文化教育，又考查了学生的观察能力、推理能力和动手操作能力，贴合实际，趣味性较强。
【难度系数】
0.65
(1) 要确定连弧纹镜的连弧数量，首先明确连弧纹的核心特点：所有连弧为等弧，对应的圆心角相等，整个圆周角度为360°。观察残件可知，现有4个完整的等弧，对应残件部分的圆心角约占整个圆周的$\frac{4}{7}$，因此可推算总连弧数为7。
(2) 补全残缺弧的思路：首先补全内外两个同心圆，已知的两段圆弧属于同心圆，因此可通过作圆弧上弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为同心圆的圆心，再以该点为圆心补全两个同心圆；其次连弧为等弧，需将圆周按现有连弧对应的圆心角7等分，得到所有连弧的端点，最后以各端点为圆心、以现有连弧的半径为半径依次画弧即可完成补全。
【解析】
(1) 已知连弧纹的所有弧为等弧，每个弧对应的圆心角相等。观察残件可见4个完整的等弧，对应部分的圆心角占整个圆周的$\frac{4}{7}$，因此总连弧数为$4÷\frac{4}{7}=7$，故该铜镜为七连弧纹镜。
(2) 作图流程：①在两段已知的同心圆弧上分别取两条不同的弦，作各弦的垂直平分线，垂直平分线的交点即为同心圆的圆心；②以该圆心为中心，分别以外弧、内弧的半径为半径作圆，补全两个同心圆；③根据现有连弧端点的间隔，将圆周7等分，得到所有连弧的端点；④以各等分点为圆心，以现有连弧的半径为半径依次作弧，即可补全所有残缺的弧，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 七
(2)
【知识点】
圆的基本性质，尺规作图，等分圆周
【点评】
本题以中华传统文物连弧纹镜为背景，考查圆的性质与尺规作图的实际应用，既渗透了传统文化教育，又考查了学生的观察能力、推理能力和动手操作能力，贴合实际，趣味性较强。
【难度系数】
0.65
2.「2025河南中考」如图,四边形ABCD是平行四边形,以BC为直径的圆交AD于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若点E是AD的中点,连接OA,CE.求证:四边形AOCE是平行四边形.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若点E是AD的中点,连接OA,CE.求证:四边形AOCE是平行四边形.
答案
2.解析
(1)如图,点O即为所求.
(2)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD=BC,AD//BC,
∵ E是AD的中点,O是BC的中点,
∴ AE=DE=OC=OB,
∵ AE//OC,
∴ 四边形AOCE是平行四边形.
解析
【分析】
(1) 已知BC是圆的直径，圆心是直径的中点，因此只需作出线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点即为所求的圆心O。
(2) 要证明四边形AOCE是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合E是AD中点、O是BC中点的条件，推出AE与OC平行且相等，即可完成证明。
【解析】
(1) 作线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点即为圆心O，保留垂直平分线的作图痕迹即可。
(2) 证明过程如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD//BC，
∵ E是AD的中点，O是BC的中点，
∴ AE=DE=$\frac{1}{2}$AD，OC=OB=$\frac{1}{2}$BC，
∴ AE=OC，
又
∵ AD//BC，即AE//OC，
∴ 四边形AOCE是平行四边形。
【答案】
(1) 如图，点O即为所求。
(2) 证明如上，四边形AOCE是平行四边形。
【知识点】
线段垂直平分线作图；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是尺规作图与平行四边形知识的综合基础题，既考查了基本的作图操作能力，又考查了平行四边形性质、判定定理的应用，要求学生具备基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知BC是圆的直径，圆心是直径的中点，因此只需作出线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点即为所求的圆心O。
(2) 要证明四边形AOCE是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合E是AD中点、O是BC中点的条件，推出AE与OC平行且相等，即可完成证明。
【解析】
(1) 作线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点即为圆心O，保留垂直平分线的作图痕迹即可。
(2) 证明过程如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD//BC，
∵ E是AD的中点，O是BC的中点，
∴ AE=DE=$\frac{1}{2}$AD，OC=OB=$\frac{1}{2}$BC，
∴ AE=OC，
又
∵ AD//BC，即AE//OC，
∴ 四边形AOCE是平行四边形。
【答案】
(1) 如图，点O即为所求。
(2) 证明如上，四边形AOCE是平行四边形。
【知识点】
线段垂直平分线作图；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是尺规作图与平行四边形知识的综合基础题，既考查了基本的作图操作能力，又考查了平行四边形性质、判定定理的应用，要求学生具备基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
3. 情境 中华优秀传统文化 学科 特色 教材变式 「2025甘肃平凉中考」如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一.图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用$\overset{\frown}{ACB}$表示，点O是$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高.现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图，如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a，作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取DC=a；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作$\overset{\frown}{ACB}$.
则$\overset{\frown}{ACB}$就是所要作的圆弧.
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图.(保留作图痕迹，不写作法)
已知：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取DC=a；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作$\overset{\frown}{ACB}$.
则$\overset{\frown}{ACB}$就是所要作的圆弧.
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图.(保留作图痕迹，不写作法)
已知：
线段AB，长度为a的线段
答案
3.解析
如图：
解析
【分析】
要完成月洞门的圆弧作图，核心是确定圆弧所在圆的圆心：圆心到圆弧上A、B、C三点的距离相等，因此圆心是AB、AC两条线段垂直平分线的交点。我们按照题目给出的步骤逐步操作即可：第一步先作AB的垂直平分线，既可以确定拱高的垂足D，也得到了圆心所在的一条直线；第二步在垂直平分线上截取拱高DC=a得到点C；第三步作AC的垂直平分线，与AB的垂直平分线交于点O，点O就是所求圆弧的圆心；最后以O为圆心，OC为半径画过A、B的弧即可，作图时注意保留所有尺规作图的痕迹。
【解析】
按照以下步骤作图：
1. 分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线MN即AB的垂直平分线，MN与AB的交点记为D；
2. 在射线DM上截取线段DC，使$DC=a$，确定点C的位置；
3. 连接AC，分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作AC的垂直平分线，该线与CD的交点记为O；
4. 以O为圆心，OC的长为半径画弧，使弧经过A、B两点，得到$\overset{\frown}{ACB}$。
全程保留所有作图的弧痕即可。
【答案】
【知识点】
尺规作图；线段垂直平分线性质；圆的基本性质
【点评】
本题结合中国传统建筑文化考查尺规作图的实际应用，将几何作图知识和古建筑智慧结合，既考查了线段垂直平分线的作法与性质的掌握程度，也要求学生理解确定圆心的方法，注重作图的规范性。
【难度系数】
0.7
要完成月洞门的圆弧作图，核心是确定圆弧所在圆的圆心：圆心到圆弧上A、B、C三点的距离相等，因此圆心是AB、AC两条线段垂直平分线的交点。我们按照题目给出的步骤逐步操作即可：第一步先作AB的垂直平分线，既可以确定拱高的垂足D，也得到了圆心所在的一条直线；第二步在垂直平分线上截取拱高DC=a得到点C；第三步作AC的垂直平分线，与AB的垂直平分线交于点O，点O就是所求圆弧的圆心；最后以O为圆心，OC为半径画过A、B的弧即可，作图时注意保留所有尺规作图的痕迹。
【解析】
按照以下步骤作图：
1. 分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线MN即AB的垂直平分线，MN与AB的交点记为D；
2. 在射线DM上截取线段DC，使$DC=a$，确定点C的位置；
3. 连接AC，分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作AC的垂直平分线，该线与CD的交点记为O；
4. 以O为圆心，OC的长为半径画弧，使弧经过A、B两点，得到$\overset{\frown}{ACB}$。
全程保留所有作图的弧痕即可。
【答案】
【知识点】
尺规作图；线段垂直平分线性质；圆的基本性质
【点评】
本题结合中国传统建筑文化考查尺规作图的实际应用，将几何作图知识和古建筑智慧结合，既考查了线段垂直平分线的作法与性质的掌握程度，也要求学生理解确定圆心的方法，注重作图的规范性。
【难度系数】
0.7
